2.1 Modelo Estatístico

Como visto na "Motivação 2", supor a construção de um modelo para relacionar a variável ganho (em íons) com as variáveis explicativas emissor de tempo e emissor da dose é razoável. Assim, definimos o modelo de regressão linear múltipla dado por $$Y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\varepsilon,~~~~(2.1)$$

em que $Y$ representa a variável resposta (o ganho em íons), $x_1$ e $x_2$ representam as variáveis explicativas (o emissor de tempo e o emissor de dose, respectivamente) e $\varepsilon$ representa o erro experimental. Esse é um modelo de regressão linear múltipla com duas variáveis independentes ou explicativas ($x_1$ e $x_2$). O termo linear é usado pois a equação (2.1) é uma função linear de parâmetros desconhecidos $\beta_0,\beta_1$ e $\beta_2,$ denominados coeficientes da regressão.

Interpretação dos parâmetros do modelo

• O parâmetro $\beta_0$ corresponde ao intercepto do plano com o eixo z. Se $x=(x_1, x_2)=(0,0)$ o parâmetro $\beta_0$ fornece a resposta média nesse ponto. Caso contrário, não é possível interpretar o parâmetro $\beta_0$.

• O parâmetro $\beta_1$ indica uma mudança na resposta média a cada unidade de mudança em $x_1$, quando as demais variáveis são mantidas fixas.

• De forma semelhante é a interpretação para o parâmetro $\beta_2,$ que indica uma mudança na resposta média a cada unidade de mudança em $x_2$, quando $x_1$ é mantido constante.

Supondo $E(\varepsilon)=0$, temos $E(Y|x)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2, $ que descreve um plano bidimensional, denominado superfície de resposta.

De maneira geral, a variável resposta $Y$ pode ser relacionada a um número $p$ de variáveis de entrada. O modelo de regressão linear múltipla (MRLM) com $p$ variáveis explicativas é dado por $$Y_i=\beta_{0}+\beta_{1}x_{i1}+\beta_{2}x_{i2}+...+\beta_{p}x_{ip}+\epsilon_i,~~~i=1,...,n,~~~~(2.2)$$

em que

• $x_{i1},x_{i2},...,x_{ip}$ são valores das variáveis explicativas, constantes conhecidas;

• $\beta_{0},\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{p}$ são parâmetros ou coeficientes da regressão;

• $\epsilon_i$ são erros aleatórios independentes.

Este modelo descreve um hiperplano p-dimensional referente às variáveis explicativas.

Efeito das interações

Modelos mais complexos do que o "Modelo 2.2" também são analisados usando técnicas de regressão linear múltipla. Consideremos o modelo de regressão linear múltipla com duas variáveis regressoras, $x_1$ e $x_2$, dado por $$ Y=\beta_0+\beta_1 x_{1}+\beta_2 x_{2}+\beta_{3}\underbrace{x_{1}\,x_{2}}_{\mbox{interação}} + \varepsilon.$$

Neste caso, $x_1x_2$ representa a interação existente entre as variáveis $x_1$ e $x_2$. Se a interação está presente e é significativa, o efeito de $x_{1}$ na resposta média depende do nível de $x_{2}$ e analogamente o efeito de $x_{2}$ na resposta média depende do nível de $x_{1}.$

Sabendo que $E(\varepsilon)=0$, tem-se que $$E(Y|x)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_3x_1x_2.$$

A interpretação para os parâmetros $\beta_1$ e $\beta_2,$ no modelo com interação, não é o mesmo visto anteriormente.

Suposições para o modelo

As suposições necessárias para o Modelo de Regressão Linear Múltipla são:

i) O erro tem média zero e variância $\sigma^2$, desconhecida;

ii) Os erros são não correlacionados;

iii) Os erros têm distribuição normal;

iv) As variáveis regressoras $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}$ assumem valores fixos.

As suposições (i)-(iii), simbolicamente, podem ser representadas por  $$\varepsilon_{i} \overset{\text{iid}}{\sim} N(0, \sigma^2).$$

Se as suposições do MRLM se verificam, então a variável $Y$ tem distribuição normal com variância $\sigma^2$ e média $$E(Y\mid x)=\beta_0+\beta_1 x_{1}+\beta_2 x_{2}+\ldots+\beta_p x_{p}.$$

Neste caso, os parâmetros $\beta_j,$ $j=1,\dots,p$ representam a variação (média) esperada na variável resposta ($Y$) quando a variável $x_j$ sofre um acréscimo unitário, enquanto todas as outras variáveis $x_i~~(i\neq j)$ são mantidas constantes. Por esse motivo os $\beta_j$ são chamados de coeficientes parciais.

Se os valores de $x_j$ incluem os valores $x_j=0,j=1,\dots,p$ então $\beta_0$ é a média de $Y$ quando $x_j=0.$ Em caso contrário não existe interpretação prática.