2.1 Modelo Estatístico

Como visto na "Motivação 2", supor a construção de um modelo para relacionar a variável ganho (em íons) com as variáveis explicativas emissor de tempo e emissor da dose é razoável. Assim, definimos o modelo de regressão linear múltipla dado por 

em que representa a variável resposta (o ganho em íons), e representam as variáveis explicativas (o emissor de tempo e o emissor de dose, respectivamente) e representa o erro experimental. Esse é um modelo de regressão linear múltipla com duas variáveis independentes ou explicativas ( e ). O termo linear é usado pois a equação (2.1) é uma função linear de parâmetros desconhecidos e denominados coeficientes da regressão.

Interpretação dos parâmetros do modelo

• O parâmetro corresponde ao intercepto do plano com o eixo z. Se o parâmetro fornece a resposta média nesse ponto. Caso contrário, não é possível interpretar o parâmetro .

• O parâmetro indica uma mudança na resposta média a cada unidade de mudança em , quando as demais variáveis são mantidas fixas.

• De forma semelhante é a interpretação para o parâmetro que indica uma mudança na resposta média a cada unidade de mudança em , quando é mantido constante.

Supondo , temos que descreve um plano bidimensional, denominado superfície de resposta.

De maneira geral, a variável resposta pode ser relacionada a um número de variáveis de entrada. O modelo de regressão linear múltipla (MRLM) com variáveis explicativas é dado por 

em que

• são valores das variáveis explicativas, constantes conhecidas;

• são parâmetros ou coeficientes da regressão;

• são erros aleatórios independentes.

Este modelo descreve um hiperplano p-dimensional referente às variáveis explicativas.

Efeito das interações

Modelos mais complexos do que o "Modelo 2.2" também são analisados usando técnicas de regressão linear múltipla. Consideremos o modelo de regressão linear múltipla com duas variáveis regressoras, e , dado por 

Neste caso, representa a interação existente entre as variáveis e . Se a interação está presente e é significativa, o efeito de na resposta média depende do nível de e analogamente o efeito de na resposta média depende do nível de

Sabendo que , tem-se que 

A interpretação para os parâmetros e no modelo com interação, não é o mesmo visto anteriormente.

Suposições para o modelo

As suposições necessárias para o Modelo de Regressão Linear Múltipla são:

i) O erro tem média zero e variância , desconhecida;

ii) Os erros são não correlacionados;

iii) Os erros têm distribuição normal;

iv) As variáveis regressoras assumem valores fixos.

As suposições (i)-(iii), simbolicamente, podem ser representadas por  

Se as suposições do MRLM se verificam, então a variável tem distribuição normal com variância e média 

Neste caso, os parâmetros representam a variação (média) esperada na variável resposta () quando a variável sofre um acréscimo unitário, enquanto todas as outras variáveis são mantidas constantes. Por esse motivo os são chamados de coeficientes parciais.

Se os valores de incluem os valores então é a média de quando Em caso contrário não existe interpretação prática.