3.1 Diagnóstico de Normalidade

A normalidade dos resíduos é uma suposição essencial para que os resultados do ajuste do modelo de regressão linear sejam confiáveis. Podemos verificar essa suposição por meio do gráfico de Papel de Probabilidade e por meio de testes tais como Shapiro-Wilk, Anderson-Darling e Kolmogorov-Smirnov. Para maiores detalhes, ver Testes de Normalidade no conteúdo de Inferência.

Exemplo 3.1.1

• Motivação 1:

Considerando o ajuste do modelo linear simples para os dados do exemplo na "Motivação 1", vamos fazer o gráfico de Papel de Probabilidade e os testes de Shapiro-Wilk, Anderson-Darling e Kolmogorov-Smirnov para testar a normalidade dos resíduos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Solução:

• Papel de Probabilidade

O vetor com os resíduos ordenados em ordem crescente, considerando o ajuste do modelo linear, é dado por  $$e=(-2,82; -2,66; -2,14; -1,14; -0,82; -0,82; -0,14; -0,14; -0,14; 0,02; 0,34; 0,34; 0,34; 0,34; $$ $$\quad 1,02; 1,02; 1,02; 1,18; 2,18; 3,02).$$

O vetor com os valores de $\Phi^{-1}(d_i)^\prime s$ é dado por  $$\Phi^{-1}(d)=(-1,82; -1,38; -1,12; -0,91; -0,74; -0,58; -0,44; -0,31; -0,19; -0,06; 0,06; 0,19; 0,31;$$ $$\quad 0,44; 0,58; 0,74; 0,91; 1,12; 1,38; 1,82),$$

em que $d_i=(i-0,3)/(n+0,4)$ para $i=1,\dots,n$ e $\Phi^{-1}(d_{(i)})$ é o quantil da distribuição normal padrão calculado em $d_{(i)}$. Neste exemplo, $n=20$. Assim, desenhando os pontos $(e_i,\Phi^{-1}(d_i))$, $i=1,\dots,20$, obtemos o gráfico de Papel de Probabilidade. Se a suposição de normalidade for adequada, esperamos um comportamento linear dos pontos.

Usando o software Action temos o seguinte resultado:

Figura 3.1.1: Gráfico de Papel de Probabilidade para os resíduos do modelo linear simples ajustado - Motivação 1.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Como os pontos seguem o comportamento da reta (não estão distantes dela), temos indícios de que os erros são normalmente distribuídos.

Testes de Normalidade

Em relação aos Testes de Normalidade, precisamos encontrar os valores de $F_{n}(e_i)$ e $F(e_i),$ $i=1,\dots,n.$ $F_{n}(e_{(i)})$ representa a função de distribuição acumulada empírica dos dados e é dada pela razão entre a posição i e o valor total de resíduos, isto é,  $$F_{n}(e_{(i)})=i/n \mbox{~~(distribuição~empírica~acumulada)}.$$

$F(e_{(i)})$ representa a função de distribuição acumulada assumida para os dados e seu valor é obtido da tabela da distribuição normal padrão após transformarmos os dados pela relação

\[Z_{(i)}=\dfrac{e_{(i)}-\overline{e}}{s},\]

em que $\overline{e}$ é a média aritmética e s é o desvio padrão dos resíduos. Na tabela 3.1.1 apresentamos os valores de $F_{n}(e_{(i)})$ e $F(e_{(i)})$ para os resíduos analisados.

$e$	$F(e)$	$F_n(e)$	$F_n(e)-F(e)$	$F(e)-F_n(e-1)$	$ln(F(e))$	$ln(1-F(e))$
-2,82	0,028	0,05	0,022	0,028	-3,587	-0,028
-2,66	0,035	0,1	0,065	-0,015	-3,342	-0,036
-2,14	0,073	0,15	0,077	-0,027	-2,618	-0,076
-1,14	0,219	0,2	-0,019	0,069	-1,517	-0,248
-0,82	0,289	0,25	-0,039	0,089	-1,242	-0,341
-0,82	0,289	0,3	0,011	0,039	-1,242	-0,341
-0,14	0,462	0,35	-0,112	0,162	-0,772	-0,620
-0,14	0,462	0,4	-0,062	0,112	-0,772	-0,620
-0,14	0,462	0,45	-0,012	0,062	-0,772	-0,620
0,02	0,505	0,5	-0,005	0,055	-0,682	-0,704
0,34	0,591	0,55	-0,041	0,091	-0,525	-0,895
0,34	0,591	0,6	0,009	0,041	-0,525	-0,895
0,34	0,591	0,65	0,059	-0,009	-0,525	-0,895
0,34	0,591	0,7	0,109	-0,059	-0,525	-0,895
1,02	0,756	0,75	-0,006	0,056	-0,280	-1,410
1,02	0,756	0,8	0,044	0,006	-0,280	-1,410
1,02	0,756	0,85	0,094	-0,044	-0,280	-1,410
1,18	0,789	0,9	0,111	-0,061	-0,237	-1,554
2,18	0,931	0,95	0,019	0,031	-0,072	-2,670
3,02	0,980	1	0,020	0,030	-0,020	-3,90

Tabela 3.1.1: Valores para cálculo das estatísticas de teste de Normalidade no exemplo da "Motivação1".

• Kolmogorov-Smirnov

A estatística de teste para o teste de Kolmogorov-Smirnov é dada por  \[D_n=\max(0,11;0,162)=0,162.\]

Considerando $\alpha = 0,05$ e n = 20, encontramos pela tabela de valores críticos que o valor crítico neste caso é de aproximadamente 0,29. Como Dn = 0,162 < 0,29, não temos evidências para rejeitar a hipótese de normalidade dos resíduos.

• Anderson-Darling

Utilizando a fórmula $(\star)$ no teste de Anderson-Darling no conteúdo de Inferência, temos que \[D=\sum_{i=1}^n[(2i-1)\ln(F(e_i))+(2(n-i)+1)\ln(1-F(e_i))]=-408,11.\]

Assim,  \[\displaystyle A^2=-n-\frac{D}{n}=-20-\frac{(-408,11)}{20}=0,405.\]

Para o cálculo do p-valor, precisamos encontrar a estatística de Anderson Darling modificada. Considerando μ e σ desconhecidos, temos que \[A_m^2=A^2\times(1+(0,75/n)+(2,25/n^2))=0,405\times(1+(0,75/20)+(2,25/20^2))=0,405\times 1,043=0,422.\]

Desta forma, obtemos o p-valor aproximado analisamos a Tabela com quantis e valores da estatística de Anderson Darling. Como $A_m^2=0,422~\textless~0,56$ temos que p_valor é maior do que 15%. No R um valor aproximado do p-valor é encontrado por meio de interpolação.

Como p_valor é maior do que 15%, existe forte evidência pelo teste de Anderson-Darling de que os resíduos são normalmente distribuídos.

• Shapiro-Wilk

Para o cálculo da estatística teste de Shapiro-Wilk, precisamos dos valores contidos na Tabela 3.2.1.2, conforme apresentamos no teste de Shapiro-Wilk no conteúdo de Inferência.

$i$	$n-i+1$	$a$	$e_{n-i+1}$	$e_i$	$a(e_{n-i+1}-e_i)$
1	20	0,4734	3,02	-2,82	2,76
2	19	0,3211	2,18	-2,66	1,55
3	18	0,2565	1,18	-2,14	0,85
4	17	0,2085	1,02	-1,14	0,45
5	16	0,1686	1,02	-0,82	0,31
6	15	0,1334	1,02	-0,82	0,25
7	14	0,1013	0,34	-0,14	0,05
8	13	0,0711	0,34	-0,14	0,03
9	12	0,0422	0,34	-0,14	0,02
10	11	0,014	0,34	0,02

Tabela 3.1.2: Medidas para o cálculo da estatística de Shapiro-Wilk

A estatística de teste é dada por \[W=\dfrac{b^2}{\sum\limits_{i=1}^n(e_i-\bar{e})^2},\]

em que \[b=\sum_{i=1}^{n/2}a_{n-i+1}\times (e_{n-i+1}-e_i).\]

Assim, segue que \[W=\dfrac{(6,2839)^2}{41,16}=\dfrac{39,4872}{41,16}=0,959.\]

Como $W_{calc}=0,959 \textgreater W_{(0,05;20)}=0,905$, em que $W_{(0,05;20)}$ é obtido na tabela de valores críticos, dizemos que os resíduos são normalmente distribuídos com nível de significância de 5%.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

• Motivação 2:

Considerando agora os dados na "Motivação 2", verificamos se os resíduos obtidos pelo ajuste do modelo de regressão linear múltipla segue distribuição normal utilizando o gráfico de Papel de Probabilidade e os testes de normalidade, como citados acima.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

• Papel de Probabilidade

Para o gráfico de Papel de Probabilidade, devemos primeiramente ordenar os resíduos $e_i$, encontrar os valores de $\Phi^{-1}(d_i)$ e então apresentar no gráfico os pontos $(e_i,\Phi^{-1}(d_i))$, $i=1,\dots,n.$ Se a suposição de normalidade for adequada, esperamos um comportamento linear dos pontos no gráfico. O vetor com os resíduos ordenados, para os dados na "Motivação 2" é  $$e=(-44,58; -37,09; -30,36; -25,01; -23,23; -19,88; -11,87; 5,34; 15,48; 15,65; 24,56; 30,35;$$

$$37,46; 63,20).$$

Já o vetor com os valores de $\Phi^{-1}(d_i)$ é dado por   $$\Phi^{-1}(d)=(-1,66;-1,18;-0,89;-0,65;-0,45;-0,26;-0,09; 0,09; 0,26; 0,45; 0,65; 0,89; 1,18; 1,66),$$

em que $d_i=(i-0,3)/(n+0,4)$ para $i=1,\dots,n$ e $\Phi^{-1}(d_{(i)})$ é o quantil da distribuição normal padrão calculado no ponto $d_{(i)}$.

Usando o software Action temos o seguinte resultado:

Figura 3.1.2: Gráfico de Papel de Probabilidade para os resíduos do modelo linear simples ajustado - Motivação 2.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Como os pontos seguem o comportamento da reta (não estão distantes dela), temos indícios de que os erros são normalmente distribuídos.

Testes de Normalidade

Em relação aos testes de normalidade, precisamos obter os valores de $F_{n}(e_{(i)})$ e de $F(e_{(i)})$. O primeiro é calculado fazendo a razão entre a posição i e o valor total de resíduos, no caso $n=14$ (distribuição empírica acumulada). O segundo é encontrado na tabela da distribuição normal padrão, considerando a transformação dos dados dada pela relação \[Z_{(i)}=\frac{e_{(i)}-\overline{e}}{s},\]

em que $\overline{e}$ é a média aritmética e s é o desvio padrão dos resíduos. Resumimos na tabela 3.1.3 os valores utilizados no cálculo das estatísticas de teste de normalidade.

$e$	$F(e_i)$	$F_n(e)$	$F_n(e_i)-F(e_i)$	$F(e_i)-F_n(e_{i-1})$	$ln(F(e_i))$	$ln(1-F(e_i))$
-44,58	0,0826	0,0714	-0,0112	0,0826	-2,493	-0,086
-37,08	0,1242	0,1428	0,0187	0,0528	-2,086	-0,132
-30,36	0,1723	0,2143	0,0419	0,0295	-1,758	-0,189
-25	0,2181	0,2857	0,0675	0,0038	-1,5224	-0,246
-23,23	0,2348	0,3571	0,1223	-0,0509	-1,449	-0,267
-19,87	0,268	0,4286	0,1605	-0,0891	-1,316	-0,312
-11,87	0,3558	0,5	0,1441	-0,0728	-1,033	-0,439
5,34	0,5660	0,5714	0,0054	0,066	-0,569	-0,835
15,47	0,685	0,6428	-0,0421	0,1136	-0,378	-1,155
15,65	0,6869	0,7142	0,0274	0,0441	-0,376	-1,161
24,55	0,7776	0,7857	0,0081	0,0634	-0,251	-1,503
30,34	0,8275	0,8571	0,0296	0,0418	-0,189	-1,757
37,45	0,8781	0,9286	0,0504	0,021	-0,129	-2,105
63,2	0,9754	1	0,0246	0,0468	-0,0249	-3,705

 Tabela 3.1.3: Valores para cálculo das estatísticas de teste de Normalidade

• Kolmogorov-Smirnov

Para o teste de Kolmogorov-Smirnov, temos que a estatística de teste é dada por \[D_n=\max(0,1605;0,1136)=0,1605.\]

Considerando $\alpha=0,05$ e n = 14, encontramos pela tabela de valores críticos que o valor crítico é de aproximadamente 0,34. Como Dn = 0,1605 < 0,34, não temos evidências para rejeitar a hipótese de normalidade dos resíduos.

• Anderson-Darling

Utilizando a fórmula $(\star)$ no teste de Anderson-Darling no conteúdo de Inferência, temos que \[D=\sum_{i=1}^n[(2i-1)\ln(F(e_i))+(2(n-i)+1)\ln(1-F(e_i))]= -200,3.\]

Assim, segue que \[\displaystyle A^2=-n-\frac{D}{n}=-14-\frac{(-200,3)}{14}=0,308.\]

Para o cálculo do p-valor, precisamos encontrar a estatística de Anderson Darling modificada. Considerando μ e σ desconhecidos, temos que a estatística modificada é dada por \[A_m^2=A^2\times(1+(0,75/n)+(2,25/n^2))=0,308^2\times(1+(0,75/14)+(2,25/14^2))=0,308\times 1,065=0,328.\]

Novamente, para obter o P-valor aproximado analisamos a Tabela com quantis e valores da estatística de Anderson Darling. Como $A_m^2=0,328~\textless~0,56$ temos que p_valor é maior do que 15%. No R um valor aproximado do p-valor é obtido fazendo interpolação.

Como p_valor é maior do que 15%, existe forte evidência pelo teste de Anderson-Darling de que os resíduos são normalmente distribuídos.

• Shapiro Wilk

Para o cálculo da estatística de teste, precisamos dos valores contidos na Tabela 3.1.4.

$i$	$n-i+1$	$a$	$e_{n-i+1}$	$e_i$	$a(e_{n-i+1}-e_i)$
1	14	0,5251	63,201	-44,5841	56,59796
2	13	0,3318	37,4588	-37,0884	24,73476
3	12	0,246	30,3464	-30,3643	14,93483
4	11	0,1802	24,5563	-25,009	8,931667
5	10	0,124	15,6505	-23,2338	4,821653
6	9	0,0727	15,4769	-19,8784	2,57033
7	8	0,024	5,3414	-11,8735	0,413158

Tabela 3.1.4: Medidas para cálculo da estatística de Shapiro-Wilk da Motivação 2

A estatística do teste de Shapiro-Wilk é dada por \[W=\frac{b^2}{\sum\limits_{i=1}^n(e_i-\bar{e})^2},\]

em que \[b=\sum_{i=1}^{n/2}a_{n-i+1}\times (e_{n-i+1}-e_i).\]

Assim, temos que \[W=\frac{113,0043^2}{13.421,12}=0,9515,\]

Como $W_{calc}=0,9515 \textgreater W_{(0,05;14)}=0,874$, em que $W_{(0,05;14)}$ é dada pela tabela de valores críticos, não rejeitamos a suposição de normalidade. Portanto, concluímos que com um nível de significância de 5%, os resíduos são normalmente distribuídos.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.