3.3 Diagnóstico de Independência

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Para verificar se os resíduos são independentes, podemos utilizar técnicas gráficas e testes. A seguir, temos o diagnóstico de independência por essas duas formas.

3.3.1 Gráfico dos Resíduos versus a Ordem de Coleta

Uma análise gráfica para verificar a hipótese de independência dos resíduos pode ser feita por meio do gráfico dos resíduos versus a ordem da coleta dos dados. Se ao avaliar o gráfico, percebemos uma tendência dos pontos, ou seja, se os pontos tiverem um comportamento que se repete em determinado ponto do gráfico, temos indícios de dependência dos resíduos.

Exemplo 3.3.1.1

Para os dados do exemplo na "Motivação 1", fazer o gráfico dos resíduos do modelo ajustado versus a ordem da coleta e avaliar a suposição de independência dos resíduos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Usando o software Action temos o seguinte resultado:

Figura 3.3.1.1: Gráfico dos resíduos versus a ordem da coleta considerando os dados do exemplo na Motivação 1.

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Analisando o gráfico vemos que os pontos não parecem ter uma tendência e por isso temos indícios de independência dos erros.

Exemplo 3.3.1.2

Considerando os dados transformados do exemplo na "Motivação 2", fazer o gráfico dos resíduos do modelo ajustado versus a ordem da coleta e avaliar a suposição de independência dos resíduos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Usando o software Action temos o seguinte resultado:

Figura 3.3.1.2: Gráfico dos resíduos versus a ordem da coleta para os dados do exemplo na Motivação 2.

 Para entender como executar essa função do Software Action Stat, você pode consultar o manual do usuário.

Novamente, verificamos pelo gráfico que os pontos não parecem ter uma tendência e por isso temos indícios de independência dos erros.

 

3.3.2 Teste de Durbin-Watson

O teste de Durbin-Watson é utilizado para detectar a presença de autocorrelação (dependência) nos resíduos de uma análise de regressão. Este teste é baseado na suposição de que os erros no modelo de regressão são gerados por um processo autoregressivo de primeira ordem, de acordo com 

$$\varepsilon_i=\rho\varepsilon_{i-1}+a_i,$$

em que $ \varepsilon_i $ é o termo do erro do modelo na i-ésima observação, $ a_i\overset{iid}{\sim}N(0,\sigma_{a}^2) $ e $ \rho $ ($ |\rho|\textless 1 $) é o parâmetro de autocorrelação. Testamos a presença de autocorrelação por meio das hipóteses 

\rho \neq 0.\\\end{array} \right.$$

Sendo $ e_i $ o resíduo associado à i-ésima observação, temos que a estatística do teste de Durbin-Watson é dada por 

$$dw=\frac{\sum\limits_{i=2}^n(e_i-e_{i-1})^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}e_i^2},$$

em que 0 dw ≤ 4. A distribuição de dw depende da matriz X. Entretanto, podemos tomar a decisão comparando o valor de dw com os valores críticos dL e dU da Tabela de Durbin-Watson (Tabela 3.3.2.1). Assim,

  • se 0 dw < dL então rejeitamos H0 (dependência);
  • se dL dw dU então o teste é inconclusivo;
  • se dU < dw < 4-dU então não rejeitamos H0 (independência);
  • se 4-dU dw 4-dL então o teste é inconclusivo;
  • se 4-dL < dw 4 então rejeitamos H0 (dependência).

Quando $ 0~\leq~dw~\textless~d_L $ temos evidência de uma correlação positiva. Já quando $ 4-d_L ~\textless~dw~\leq~4 $, a correlação é negativa. No caso em que não rejeitamos $ H_0 $, temos que não existe autocorrelação, ou seja, os resíduos são independentes. Podemos também tomar a decisão pelo p-valor.

Os valores críticos tabelados apresentados na Tabela 3.3.2.1 são geralmente utilizados para testar $ \rho~=~0 $ versus $ \rho~\textgreater~0 $. Desta forma, se para um determinado $ \alpha $ utilizarmos os valores da Tabela 3.3.2.1 para testar $ \rho~=~0 $ versus $ \rho~\neq~0 $, o erro tipo I do teste em questão será $ 2\alpha $

  Nível de significância Número de variáveis explicativas 
1 2 3 4 5
n   $ d_L $ $ d_U $ $ d_L $ $ d_U $ $ d_L $ $ d_U $ $ d_L $ $ d_U $ $ d_L $ $ d_U $
  0,01 0,81 1,07 0,7 1,25 0,59 1,46 0,49 1,7 0,39 1,96
15 0,025 0,95 1,23 0,83 1,4 0,71 1,61 0,59 1,84 0,48 2,09
  0,05 1,08 1,36 0,95 1,54 0,82 1,75 0,69 1,97 0,56 2,21
  0,01 0,95 1,15 0,86 1,27 0,77 1,41 0,63 1,57 0,6 1,74
20 0,025 1,08 1,28 0,99 1,41 0,89 1,55 0,79 1,7 0,7 1,87
  0,05 1,2 1,41 1,1 1,54 1 1,68 0,9 1,83 0,79 1,99
  0,01 1,05 1,21 0,98 1,3 0,9 1,41 0,83 1,52 0,75 1,65
25 0,025 1,13 1,34 1,1 1,43 1,02 1,54 0,94 1,65 0,86 1,77
  0,05 1,2 1,45 1,21 1,55 1,12 1,66 1,04 1,77 0,95 1,89
  0,01 1,13 1,26 1,07 1,34 1,01 1,42 0,94 1,51 0,88 1,61
30 0,025 1,25 1,38 1,18 1,46 1,12 1,54 1,05 1,63 0,98 1,73
  0,05 1,35 1,49 1,28 1,57 1,21 1,65 1,14 1,74 1,07 1,83
  0,01 1,25 1,34 1,2 1,4 1,15 1,46 1,1 1,52 1,05 1,58
40 0,025 1,35 1,45 1,3 1,51 1,25 1,57 1,2 1,63 1,15 1,69
  0,05 1,44 1,54 1,39 1,6 1,34 1,66 1,29 1,72 1,23 1,79
  0,01 1,32 1,4 1,28 1,45 1,24 1,49 1,2 1,54 1,16 1,59
50 0,025 1,42 1,5 1,38 1,54 1,34 1,59 1,3 1,64 1,26 1,69
  0,05 1,5 1,59 1,46 1,63 1,42 1,67 1,38 1,72 1,34 1,7

Tabela 3.3.2.1: Valores críticos do teste de Durbin-Watson.

Exemplo 3.3.2.1

Utilizando o teste de Durbin Watson, verificar se os resíduos do modelo ajustado do exemplo na "Motivação 1" são independentes.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para calcular a estatística de Durbin Watson, precisamos dos valores da Tabela 3.3.2.2.

$ e $ $ e_{t}-e_{t-1} $ $ {(e_{t}-e_{t-1})}^2 $ $ e_t^2 $       
-0,14 - -   0,0196
-0,14 0 0 0,0196
-0,14 0 0 0,0196
-1,14 -1 1 1,2996
-2,14 -1 1 4,5796
3,02 5,16 26,62 9,1204
1,02 -2 4 1,0404
0,02 -1 1 0,0004
1,02 1 1 1,0404
1,02 0 0 1,0404
1,18 0,16 0,0256 1,3924
-2,82 -4 16 7,9524
-0,82 2 4 0,6724
2,18 3 9 4,7524
-0,82 -3 9 0,6724
0,34 1,16 1,34 0,1156
0,34 0 0 0,1156
0,34 0 0 0,1156
-2,66 -3 9 7,0756
0,34 3 9 0,1156
  Soma:  91,99 41,16

Tabela 3.3.2.2: Medidas para o cálculo da estatística de Durbin-Watson.

A estatística de teste é dada por 

$$dw=\frac{91,99}{41,16}=2,235.$$

Para encontrar os valores críticos $ d_L $ e $ d_U $ na Tabela 3.3.2.1, devemos considerar $ \alpha=\alpha^{*}/2 $, em que $ \alpha^{*} $ é o nível de significância do teste. Para $ \alpha^{*}=0,05 $ temos que $ \alpha=0,025 $. Assim, com $ n=20 $ e $ k=1 $ variável explicativa, temos que $ d_L=1,08 $ e $ d_U=1,28 $. Como $ d_U~=~1,28~\textless~2,235~\leq~4-d_U~=~2,72 $, não rejeitamos $ H_0 $ e portanto, podemos afirmar que com um nível de confiança de 95%, os resíduos são independentes.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Exemplo 3.3.2.2

Analogamente ao exemplo 3.3.2.1, vamos testar pelo teste de Durbin Watson se os resíduos do modelo ajustado do exemplo na "Motivação 2" são independentes.

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Para o cálculo da estatística, precisamos dos valores da Tabela 3.3.2.3.

$ e $

$ e_t-e_{t-1} $ $ {(e_t-e_{t-1})}^2 $ $ e_t^2 $
30,3464 - - 920,9
15,4769 -14,8695 221,1 239,53
-30,3643 -45,8412 2101,42 921,99
-23,2338 7,1305 50,84 539,81
5,3414 28,5752 816,54 28,53
-11,8735 -17,2149 296,35 140,98
63,201 75,0744 5636,17 3994,36
-25,009 -88,2099 7780,99 625,45
-19,8784 5,1305 26,32 395,15
-37,0884 -17,2099 296,18 1375,55
-44,5841 -7,4958 56,19 1987,75
24,5563 69,1405 4780,4 603,01
37,4588 12,9025 166,48 1403,16
15,6505 -21,8083 475,6 244,94
  Soma   22704,58  13421,11

Tabela 3.3.2.3: Medidas para o cálculo da estatística de Durbin-Watson

A estatística de teste é dada por 

$$dw=\frac{22704,58}{13421,11}=1,6917.$$

Analisando a Tabela 3.3.2.1 vemos que não há valores críticos $ d_U $ e $ d_L $ para $ n=14 $. Desta forma, consideramos os valores aproximados para n=15. Com um nível de significância $ \alpha^{*}=0,05 $$ (\alpha=0,025) $ e $ k=2 $ variáveis explicativas, temos que $ d_L~\approx~0,83 $ e $ d_U~\approx~1,40 $. Como $ d_L~\approx~1,40~\textless~1,69~\textless~2,60~\approx4-d_L $, com um nível de significância de 5%, não rejeitamos $ H_0 $. Assim, dizemos que os resíduos são independentes.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Análise de Regressão

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