3.6.1 Colinearidade

Algumas características no ajuste do modelo podem indicar problema de colinearidade. São elas:

  • $ \hat{\beta}_i $ com sinal oposto ao esperado;
  • grandes mudanças em $ \hat{\beta}_i $ quando adicionamos ou excluímos variáveis ou observações;
  • $ \hat{\beta}_i $ não significante para um $ X_i $ teoricamente importante.

Para diagnosticar colinearidade, temos a seguinte opção:

  • verificar se a matriz de correlações das variáveis explicativas apresenta altas correlações. Se a correlação de duas variáveis for próxima de 1, indica problema.

 

3.6.1.1 Matriz de Correlação

A matriz de correlação apresenta a correlação das variáveis com todas as outras em consideração. Vamos supor que temos três variáveis: $ X_1,X_2 $ e $ X_3. $ A matriz de correlação é dada por


$$r=\left[ \begin{array}{ccc}r_{(x_1,x_1)}~~r_{(x_1,x_2)}~~r_{(x_1,x_2)}\\ r_{(x_2,x_1)}~~r_{(x_2,x_2)}~~r_{(x_2,x_3)}\\r_{(x_3,x_1)}~~r_{(x_3,x_2)}~~r_{(x_3,x_3)}\\\end{array}\right],$$

em que


$$r_{x_j,x_k}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_{ji}-\bar{x}_j)(x_{ki}-\bar{x}_k)}{(n-1)s_{x_j}s_{x_k}}.$$

$ s_{x_j} $ e $ s_{x_k} $ são os desvios padrão de $ X_j $ e $ X_k $, respectivamente.

Se a correlação de duas variáveis é maior de 0,9, é indicativo de correlação forte entre elas.

Exemplo 3.6.1.1

No exemplo na "Motivação 2" vamos verificar se existe correlação entre as variáveis Tempo e Dose de íons.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Sejam $ \bar{x}_1 $ e $ s_{x}_1 $ a média e desvio padrão da variável Tempo, respectivamente e sejam $ \bar{x}_2 $ e $ s_{x}_2 $ a média e o desvio padrão da variável Dose de íons. A correlação é dada por


$$r_{x_1,x_2}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_{1i}-\bar{x}_1)(x_{2i}-\bar{x}_2)}{(n-1)s_{x_1}s_{x_2}},$$

em que $ \bar{x}_1 $, $ =225,36 $, $ \bar{x}_2=4,34 $, $ s_{x_1}=20,42 $ e $ s_{x_2}=0,26 $.


$$r_{x_1,x_2}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_{1i}-225,36)(x_{2i}-4,34)}{(14-1)(20,42)(0,26)}.$$


$$r_{x_1,x_2}= -0,00265.$$

A matriz de correlação é


$$r=\left[\begin{array}{ccc}1~~~~~-0,002\\-0,002~~~~~~~1\\\end{array}\right].$$

Assim, a correlação entre as variáveis Tempo e Dose de íons é baixa.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Análise de Regressão

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