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A multicolinearidade é um problema no ajuste do modelo que pode causar impactos na estimativa dos parâmetros. Podemos diagnosticar Multicolinearidade por meio do VIF (Variance Inflation Factor).
Os elementos da diagonal principal de $(X^\prime X)^{-1}$ são também úteis para detectar multicolinearidade. O j-ésimo elemento da diagonal principal $(X^\prime X)^{-1}$, $C_{jj}$ pode ser escrito como $$C_{jj}=(1-R^2_j)^{-1},~~~~~~~~j=1,...,p.$$
em que $R_j^2$ é o coeficiente de determinação da regressão de $X_j$ sobre as outras variáveis explicativas.
$C_{jj}$ é chamado de fator de inflação da variância e outra notação usada é $VIF_j$. Assim, o $VIF_j$ é dado por $$VIF_j=\frac{1}{1-R^2_j}.$$
Verificamos que $VIF_j$ mede o quanto a variância do coeficiente $\hat{\beta}_j$ é inflacionada por sua colinearidade.
Geralmente, o VIF é indicativo de problemas de multicolinearidade se VIF>10.
Ainda considerando o exemplo na "Motivação 2", vamos calcular o VIF das variáveis Dose e Tempo.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
O $R^2$ da variável Tempo considerando Dose de íons como variável explicativa é 0,000007. Assim, o VIF da variável Tempo é $$VIF=\frac{1}{1-0,000007}=1,000007.$$
O $R^2$ da variável Dose de íons considerando Tempo como variável explicativa é 0,000007. Assim, o VIF da variável Dose de íons é $$VIF=\frac{1}{1-0,000007}=1,000007.$$
Observe que os valores do VIF para as duas variáveis é o mesmo. Isso acontece pois o VIF mede a correlação da variável com todas as outras do modelo. Como temos apenas essas duas variáveis no modelo ajustado, obviamente o VIF das duas é o mesmo.
Como o VIF é menor do que 10, não temos o problema de multicolinearidade no exemplo da "Motivação 2".
Usando o software Action temos os seguintes resultados:
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