4.1.2.1 Interpretação dos parâmetros do modelo

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A interpretação dos parâmetros de um modelo de regressão logística é obtida comparando a probabilidade de sucesso com a probabilidade de fracasso, usando a função odds ratio - OR (razão de chances). Essa função é obtida a partir da função odds. 

$$g(x)=\displaystyle\frac{\pi(x)}{[1-\pi(x)]}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^{\beta_0+\beta_1x_i}}{1+e^{\beta_0+\beta_1x_i}}}{1-\displaystyle\frac{e^{\beta_0+\beta_1x_i}}{1+e^{\beta_0+\beta_1x_i}}}= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{e^{\beta_0+\beta_1x_i}}{1+e^{\beta_0+\beta_1x_i}}}{\displaystyle\frac{1}{1+e^{\beta_0+\beta_1x_i}}}= e^{\beta_0+\beta_1x_i}.$$

Assim, ao tomarmos dois valores distintos da variável explicativa, $ x_j $ e $ x_{j+1} $, obtemos 

$$OR=\frac{g(x_{j+1})}{g(x_{j})}=\frac{e^{\beta_0+\beta_1~x_{j+1}}}{e^{\beta_0+\beta_1~x_{j}}}.~~~(4.1.2.1.1)$$

Temos ainda que: 

$$\ln(OR)=\ln\left[\frac{g(x_{j+1})}{g(x_{j+1})} \right]=\ln\left[g(x_{j+1}) \right]-\ln\left[g(x_{j}) \right]$$


$$=\beta_0 + \beta_1 x_{j+1} -\beta_0 -\beta_1 x_{j} = \beta_1(x_{j+1}-x_j).$$

Fazendo $ x_{j+1}-x_j=1 $ unidade, então 

$$\ln(OR) = \ln(e^{{\beta}_1})={\beta}_1. $$

Assim, temos o quão provável o resultado ocorrerá entre os indivíduos $ x_{j+1} $ em relação aos indivíduos $ x_j $, fazendo, portanto, algumas análises: 

$$\beta_1\textgreater 0~~\Rightarrow~~ OR\textgreater 1 \Rightarrow ~~ \pi(x_{j+1})~~\textgreater~~\pi(x_{j})$$


$$\beta_1\textless 0~~\Rightarrow~~ OR\textless 1 \Rightarrow ~~ \pi(x_{j+1})~~ \textless~~\pi(x_{j})$$

Veja "variáveis independentes categóricas" quando a variável explicativa é categórica.

Exemplo 4.1.2.1.1

Considerando os dados e a estimativa de $ \beta_1 $ do Exemplo 4.2.1.1, vamos calcular o Odds Ratio. Assim, temos: 

$$\text{OR}~(\hat{\beta}_1) = e^{-0,0663} = 0,936.$$

Como o Odds Ratio é menor que 1, a probabilidade de cometer Erros de Montagem tende a diminuir quando aumentam as Horas de Treinamento.

Análise de Regressão

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