4.1.2.2 Estimativa dos desvios padrão

No modelo de regressão logístico o desvio padrão dos estimadores é obtido a partir da matriz de informação de Fisher. Podemos ainda obter a  matriz de informação de Fisher $I(\widehat{\beta})$ para o modelo logístico a partir dos dados, da seguinte forma, $I(\widehat{\beta}) = X^{^\prime }\,V\,X,$ sendo que $$X=\begin{bmatrix}1~~x_{1}\\1~~x_{2}\\\vdots~~\vdots\\1~~x_{n}\\\end{bmatrix}, \, \, {V} = \text{diag}[m_1 \hat{\pi}_1 (1 - \hat{\pi}_1),\ldots, m_n\hat{\pi}_n (1 - \hat{\pi}_n)],$$

$m_i$ é o número de repetições para cada elemento da amostra, $i=1,\ldots,n.$

As variâncias e covariâncias dos estimadores $\widehat{\beta}=(\widehat{\beta}_0, \widehat{\beta}_1)$ são obtidos, invertendo a matriz de informação de Fisher, isto é, calculando $\widehat{\Sigma} = I^{-1}(\widehat{\beta}).$

O $j$-ésimo elemento da diagonal principal da matriz $\widehat{\Sigma}$ é a variância do estimador $\widehat{\beta}_j,$ denominada $\widehat{\sigma}^2(\widehat{\beta}_j).$ Os demais elementos da matriz $\widehat{\Sigma}$ são as covariâncias entre $(\widehat{\beta}_j;\widehat{\beta}_u),$ $j\neq u.$

Desta forma o desvio padrão é definido como: $$\widehat{DP}(\widehat{\beta}_j)= \sqrt{\widehat{\sigma}^2(\widehat{\beta}_j)}.$$

Exemplo 4.1.2.2.1

Vamos considerar os dados e as estimativas do Exemplo 4.2.1.1.

Para o cálculo dos desvios padrão, primeiramente é preciso obter a matriz $\widehat{\Sigma}=I(\widehat{\beta})^{-1}=(X^\prime \,V\,X)^{-1}$ $$X^{^\prime } = \begin{bmatrix}1~~~1~~~1~~~1~~~1 \ldots 1\\30~~~30~~~30~~~30~~~29\ldots 5\\\end{bmatrix}_{(2\,\times\,30)} \quad \text{e}$$

$${V} = \text{diag}[200*0,01806045*0,9819395; \ldots; 200*0,08801434* 0,9119857]$$

$$=\begin{bmatrix}3,546855~~~0~~~\ldots~~~0\\0~~~3,546855~~~\ldots~~~0\\\vdots~~~\vdots ~~~\ddots~~~\vdots\\0~~~0~~~\ldots~~~16,053563\\\end{bmatrix}_{(30\,\times\,30)}$$

portanto a matriz de informação de Fisher será: $$I(\widehat{\beta})=\begin{bmatrix}244,5157~~~3641,87\\3641,8697~~~66337,09\\\end{bmatrix}$$

e a matriz de variâncias e covariâncias: $$\Sigma=\begin{bmatrix}0,022432~~~-0,001232\\-0,001232~~~0,000083\\\end{bmatrix}$$

Da matriz $\Sigma$ concluímos que as estimativas dos desvios padrão dos estimadores $\widehat{\beta}=(\widehat{\beta}_0,\widehat{\beta}_1),$ são:
$$\widehat{\mbox{DP}}(\widehat{\beta}_0) = \sqrt{\widehat{\sigma}^2(\widehat{\beta}_0)}= \sqrt{0,022432}=0,1498$$
$$\widehat{\mbox{DP}}(\widehat{\beta}_1)=\sqrt{\widehat{\sigma}^2(\widehat{\beta}_1)} = \sqrt{0,000083} =0,0091.$$