4.2.1 Estimativas dos parâmetros do modelo

Para obter as estimativas para vetor $\beta=(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p)$ dos parâmetros do modelo e a matriz de covariâncias será utilizado o método de máxima verossimilhança, da seguinte forma: $$\L~(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p|(x_i;m_i;y_i))=\sum^n_{i=1} \left[ y_i~ g(X) -m_i \, \ln (1+e^{g(X)})\right],~~~~(4.2.1.1)$$

em que g(X) é dado por 4.2.1.

Derivando (4.2.1.1) em relação aos parâmetros, temos: $$\frac{\partial}{\partial\beta_0} \L(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p) = \sum^n_{i=1} y_i - \sum^n_{i=1} m_i \, \frac{e^{g(X)}}{1 + e^{g(X)}}.$$ $$\frac{\partial}{\partial\beta_j} ~\L(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p)=\sum^n_{i=1} y_i~x_j - \sum^n_{i=1} m_i \, x_j \, \frac{e^{g(X)}}{1 + e^{g(X)}}.$$

Igualando a zero e substituindo os parâmetros pelos estimadores tem-se as seguintes equações: $$\sum^n_{i=1}~y_i~(1+ e^{g(X)}) - \sum^n_{i=1}m_i~e^{g(X)} = 0$$ $$\sum^n_{i=1}~y_i~x_i~(1+ e^{g(X)})-\sum^n_{i=1}m_i~x_i~e^{g(X)} = 0$$

A solução dessas equações fornece as estimativas dos parâmetros do modelo, utilizando processos iterativos, análoga à estimação dos parâmetros do modelo de regressão logística simples.

Após obter as estimativas dos parâmetros do modelo podemos calcular as probabilidades ajustadas: $$\widehat{\pi}_i = \frac{e^{\hat{g}(X_i)}}{1 + e^{\hat{g}(X_i)}},$$

em que $$\hat{g}(X_i)=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X_{1i} + \ldots + \hat{\beta_p} X_{pi}.$$

Exemplo 4.2.1.1:

Em uma empresa são fabricadas peças de ferro que são moldadas em moldes de areia. Entre as peças produzidas as que apresentam uma grande quantidade de areia incrustada são consideradas Refugo. A Volatilidade da Areia e o coeficiente RFV (Resistência ao Fluido Verde) influenciam na quantidade de areia incrustada. A partir dos dados da Tabela (4.2.1.1) avaliar a significância das variáveis e interação entre elas.

Tabela 4.2.1.1: Dados do molde de areia.

O seguinte modelo é proposto para o exemplo $$\mbox{Probabilidade de refugo}=\pi_i=\frac{e^{\beta_0 + \beta_1 \, x_1 +\beta_2 \, x_2+\beta_3 \,x^2_1 + \beta_4 \, x^2_2 + \beta_5 \, x_1x_2}}{1+e^{\beta_0 + \beta_1 \, x_1 +\beta_2 \,x_2+\beta_3 \,x^2_1 + \beta_4 \, x^2_2 + \beta_5 \, x_1x_2}}$$

As estimativas dos parâmetros do modelo são:

$\widehat{\beta}_0$ = 30,3389   (Intercepto)
$\widehat{\beta}_1$ = -14,1496  (Volatilidade)
$\widehat{\beta}_2$ = -6,26927  (RFV)
$\widehat{\beta}_3$ = 1,101     (Efeito quadrático da Volatilidade)
$\widehat{\beta}_4$ = 0,2819    (Efeito quadrático do RFV)
$\widehat{\beta}_5$ = 1,5376    (Interação entre a Volatilidade e o RFV)

E as estimativas do odds ratio, como mostradas no caso do modelo de regressão logística simples, são:

$OR(\widehat{\beta}_1)$ = $\exp(-14,1496) = 0,00$
$OR(\widehat{\beta}_2)$ = $\exp(-6,26927) = 0,00$
$OR(\widehat{\beta}_3)$ = $\exp(1,101) = 3,01$
$OR(\widehat{\beta}_4)$ = $\exp(0,2819) = 1,33$
$OR(\widehat{\beta}_5)$ = $\exp(1,5376) = 4,65$

O vetor de probabilidade ajustada é $$\widehat{\pi} = (0,076; 0,128; 0,131; 0,075; 0,076; 0,061; 0,072; 0,071; 0,068; 0,101; 0,061; 0,081;$$

$ 0,062; 0,040; 0,044; 0,044; 0,043; 0,079).$