4.2.1 Estimativas dos parâmetros do modelo

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Para obter as estimativas para vetor $ \beta=(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p) $ dos parâmetros do modelo e a matriz de covariâncias será utilizado o método de máxima verossimilhança, da seguinte forma: 

$$\L~(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p|(x_i;m_i;y_i))=\sum^n_{i=1} \left[ y_i~ g(X) -m_i \, \ln (1+e^{g(X)})\right],~~~~(4.2.1.1)$$

em que g(X) é dado por 4.2.1.

Derivando (4.2.1.1) em relação aos parâmetros, temos: 

$$\frac{\partial}{\partial\beta_0} \L(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p) = \sum^n_{i=1} y_i - \sum^n_{i=1} m_i \, \frac{e^{g(X)}}{1 + e^{g(X)}}.$$

 

$$\frac{\partial}{\partial\beta_j} ~\L(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p)=\sum^n_{i=1} y_i~x_j - \sum^n_{i=1} m_i \, x_j \, \frac{e^{g(X)}}{1 + e^{g(X)}}.$$

Igualando a zero e substituindo os parâmetros pelos estimadores tem-se as seguintes equações: 

$$\sum^n_{i=1}~y_i~(1+ e^{g(X)}) - \sum^n_{i=1}m_i~e^{g(X)} = 0$$

 

$$\sum^n_{i=1}~y_i~x_i~(1+ e^{g(X)})-\sum^n_{i=1}m_i~x_i~e^{g(X)} = 0$$

A solução dessas equações fornece as estimativas dos parâmetros do modelo, utilizando processos iterativos, análoga à estimação dos parâmetros do modelo de regressão logística simples.

Após obter as estimativas dos parâmetros do modelo podemos calcular as probabilidades ajustadas: 

$$\widehat{\pi}_i = \frac{e^{\hat{g}(X_i)}}{1 + e^{\hat{g}(X_i)}},$$

em que

$$\hat{g}(X_i)=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X_{1i} + \ldots + \hat{\beta_p} X_{pi}.$$

Exemplo 4.2.1.1:

Em uma empresa são fabricadas peças de ferro que são moldadas em moldes de areia. Entre as peças produzidas as que apresentam uma grande quantidade de areia incrustada são consideradas Refugo. A Volatilidade da Areia e o coeficiente RFV (Resistência ao Fluido Verde) influenciam na quantidade de areia incrustada. A partir dos dados da Tabela (4.2.1.1) avaliar a significância das variáveis e interação entre elas.

Observação Quantidade Produzida Refugo Volatilidade RFV
1 832 270 1,906 5,642
2 996 152 1,766 7,63
3 1224 289 1,673 5,253
4 712 2 1,982 5,223
5 2072 11 2 5,064
6 544 14 2,12 5,395
7 700 5 2,085 6,138
8 3840 47 1,97 5,82
9 1940 101 2,15 4,498
10 1005 17 2,37 6,478
11 1260 26 2,37 5,826
12 1815 308 2,597 6,052
13 1340 79 2,44 5,839
14 1485 134 2,473 5,08
15 1585 127 2,493 5,313
16 1095 83 2,43 5,21
17 1370 81 3,42 5,04
18 1405 58 3,607 5,2222

Tabela 4.2.1.1: Dados do molde de areia.

O seguinte modelo é proposto para o exemplo 

$$\mbox{Probabilidade de refugo}=\pi_i=\frac{e^{\beta_0 + \beta_1 \, x_1 +\beta_2 \, x_2+\beta_3 \,x^2_1 + \beta_4 \, x^2_2 + \beta_5 \, x_1x_2}}{1+e^{\beta_0 + \beta_1 \, x_1 +\beta_2 \,x_2+\beta_3 \,x^2_1 + \beta_4 \, x^2_2 + \beta_5 \, x_1x_2}}$$

As estimativas dos parâmetros do modelo são:

$ \widehat{\beta}_0 $ = 30,3389   (Intercepto)
$ \widehat{\beta}_1 $ = -14,1496  (Volatilidade)
$ \widehat{\beta}_2 $ = -6,26927  (RFV)
$ \widehat{\beta}_3 $ = 1,101     (Efeito quadrático da Volatilidade)
$ \widehat{\beta}_4 $ = 0,2819    (Efeito quadrático do RFV)
$ \widehat{\beta}_5 $ = 1,5376    (Interação entre a Volatilidade e o RFV)

E as estimativas do odds ratio, como mostradas no caso do modelo de regressão logística simples, são:

$ OR(\widehat{\beta}_1) $ = $ \exp(-14,1496) = 0,00 $
$ OR(\widehat{\beta}_2) $ = $ \exp(-6,26927) = 0,00 $
$ OR(\widehat{\beta}_3) $ = $ \exp(1,101) = 3,01 $
$ OR(\widehat{\beta}_4) $ = $ \exp(0,2819) = 1,33 $
$ OR(\widehat{\beta}_5) $ = $ \exp(1,5376) = 4,65 $

O vetor de probabilidade ajustada é 

$$\widehat{\pi} = (0,076; 0,128; 0,131; 0,075; 0,076; 0,061; 0,072; 0,071; 0,068; 0,101; 0,061; 0,081;$$

$  0,062; 0,040; 0,044; 0,044; 0,043; 0,079). $
 

Análise de Regressão

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