4.2.1.1 Estimativa do desvio padrão

O método de estimar as variâncias e covariâncias dos coeficientes estimados segue a teoria da estimação de máxima verossimilhança. Essa teoria assegura que os estimadores são obtidos da matrix de derivadas segunda parciais da função log de verossimilhança. Essas derivadas parciais tem a seguinte forma geral:

$$\frac{\partial^2L(\beta)}{\partial\beta_j^2}=-\sum_{i=1}^nm_ix_{ij}^{2}\pi_i(1-\pi_i).~~~~~~~~~~~(4.2.1.1.1)$$
$$\frac{\partial^2L(\beta)}{\partial\beta_j\partial\beta_l}=-\sum_{i=1}^nm_ix_{ij}x_{il}\pi_i(1-\pi_i),~~~~~~~~ (4.2.1.1.2)$$

para j,l=0,1,...,p em que $ \pi_i $ simplifica $ \pi(x_i) $. Seja a matriz (p+1)x(p+1) que contém os termos negativos de (4.2.1.1.1) e (4.2.1.1.2) denotada por $ I(\beta) $ que é matriz de informação de Fisher. As variâncias e covariâncias dos coeficientes estimados são obtidos da inversa da matriz: $ Var(\beta)=I^{-1}(\beta) $. A variância de $ \beta_j $, $ Var(\beta_j) $, é o $ j^{th} $ elemento da diagonal da matriz e a $ Cov(\beta_j,\beta_l) $ é obtida através do elemento da matriz referente a linha de $ \beta_j $ e coluna de $ \beta_l $ ou vice-versa, já que $ Cov(\beta_j,\beta_l)=Cov(\beta_l,\beta_j). $ Os estimadores das variâncias e covariâncias, $ \hat{Var}(\hat{\beta}) $, são obtidos de $ Var(\beta) $ em $ \hat{\beta} $.

Ainda, a matriz de informação de Fisher estimada pode ser obtida por: $ \hat{I}(\hat{\beta})=X^\prime VX $.  

$$X=\begin{bmatrix}1~~~x_{11}~~~\ldots~~~x_{1p}\\1~~~x_{21}~~~\ldots~~~x_{2p}\\\vdots \\1~~~x_{n1}~~~\ldots~~~x_{np}\\\end{bmatrix}_{n \times (p+1)} $$

e

$$V= \begin{bmatrix}m_1\widehat{\pi}_1(1-\widehat{\pi}_1)~~~~~0~~~~~\ldots~~~~~0\\0~~~~~ m_2\widehat{\pi}_2(1-\widehat{\pi}_2)~~~~~\ldots~~~~~0\\ \vdots~~~~~\vdots~~~~~\ddots~~~~~\vdots\\0~~~~~0~~~~~\ldots~~~~~m_n\widehat{\pi}_n(1-\widehat{\pi}_n)\\\end{bmatrix}_{n \times n}$$

Dessa forma, o desvio padrão do coeficiente $ \beta_j $ é:

$$\hat{DP}(\hat{\beta}_j)=\sqrt{\hat{Var}(\hat{\beta_j})}.~~~~~~~~~~~~~~~~(4.2.1.1.3)$$

Exemplo 4.2.1.1.1

Para os dados do Exemplo 4.2.1.1, vamos calcular a estimativa do desvio padrão de cada parâmetro considerado no exemplo em questão.

O primeiro passo é obter a matriz de informação de Fisher, conforme 4.1.2.3

$$X=\begin{bmatrix}1~~~~1,91~~~~5,64~~~~3,63~~~~31,83~~~~10,75 \\1~~~~1,77~~~~7,63~~~~3,12~~~~58,22~~~~13,47 \\1~~~~1,67~~~~5,25~~~~2,80~~~~27,59~~~~8,79 \\1~~~~1,98~~~~5,22~~~~3,93~~~~27,28~~~~10,35 \\1~~~~2,00~~~~5,06~~~~4,00~~~~25,64~~~~10,13 \\1~~~~2,12~~~~5,39~~~~4,49~~~~29,11~~~~11,44 \\1~~~~2,08~~~~6,14~~~~4,35~~~~37,68~~~~12,80 \\1~~~~1,97~~~~5,82~~~~3,88~~~~33,87~~~~11,47 \\1~~~~2,15~~~~4,50~~~~4,62~~~~20,23~~~~9,67 \\1~~~~2,37~~~~6,48~~~~5,62~~~~41,96~~~~15,35 \\1~~~~2,37~~~~5,83~~~~5,62~~~~33,94~~~~13,81 \\1~~~~2,60~~~~6,05~~~~6,74~~~~36,63~~~~15,72 \\1~~~~2,44~~~~5,84~~~~5,95~~~~34,09~~~~14,25 \\1~~~~2,47~~~~5,08~~~~6,12~~~~25,81~~~~12,56 \\1~~~~2,49~~~~5,31~~~~6,22~~~~28,23~~~~13,25 \\1~~~~2,43~~~~5,21~~~~5,90~~~~27,14~~~~12,66 \\1~~~~3,42~~~~5,04~~~~11,70~~~~25,40~~~~17,24 \\1~~~~3,61~~~~5,22~~~~13,01~~~~27,27~~~~18,84 \\\end{bmatrix}_{18 \times 6} $$


$$V=\begin{bmatrix}832\times 0,079518 \times (1 - 0,079518)~~~~~~0~~~~\ldots~~~~0\\0~~~~996\times 0,118598 \times (1-0,118598)~~~~\ldots~~~~0\\\vdots ~~~~~~\vdots~~~~\ddots \\0~~~~0~~~~\ldots~~~~1405\times 0,047904 \times (1-0,047904)\\\end{bmatrix}_{18 \times 18}$$

ou 

$$V= \begin{bmatrix}58,71~~~~0~~~~\ldots~~~~0\\0~~~~111,16~~~~\ldots~~~~0\\\vdots~~~~\vdots~~~~\ddots~~~~\vdots\\0~~~~0~~~~\ldots~~~~101,81\\\end{bmatrix}_{18 \times 18}$$


$$\Sigma(\beta) = (X' \, V \, X)^{-1} =\left[ \begin{array}{ccc}13,47~~~~~-4,57~~~~~-3,05~~~~~ 0,23~~~~~ 0,15~~~~~ 0,63 \\-4,57~~~~~1,84~~~~~ 0,93~~~~~-0,11~~~~~-0,04~~~~~-0,23 \\-3,05~~~~~ 0,93~~~~~0,73~~~~~-0,04~~~~~-0,04~~~~~-0,14 \\0,23~~~~~-0,11~~~~~-0,04~~~~~0,01~~~~~ 0,00~~~~~ 0,01 \\0,15~~~~~-0,04~~~~~-0,04~~~~~ 0,00~~~~~0,00~~~~~ 0,01 \\0,63~~~~~-0,23~~~~~-0,14~~~~~ 0,01~~~~~ 0,01~~~~~0,03 \\\end{array} \right]$$

Para $ \beta_0=\sqrt{\sigma^2(\widehat{\beta}_0)}=\sqrt{13,46607} =3,67 $
Para $ \beta_1=\sqrt{\sigma^2(\widehat{\beta}_1)}=\sqrt{1,836394}=1,36 $
Para $ \beta_2=\sqrt{\sigma^2(\widehat{\beta}_2)}=\sqrt{0,731351}= 0,86 $
Para $ \beta_3=\sqrt{\sigma^2(\widehat{\beta}_3)} = \sqrt{0,0104028}=0,10 $
Para $ \beta_4=\sqrt{ \sigma^2(\widehat{\beta}_4)}=\sqrt{0,0021488}=0,05 $
Para $ \beta_5=\sqrt{\sigma^2(\widehat{\beta}_5)}=\sqrt{0,0331131}=0,18 $

Análise de Regressão

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