4.2.3 Intervalos de Confiança na Regressão Logística Múltipla

Discutimos intervalos de confiança para os parâmetros, logito, valores ajustados e odds ratio no modelo de regressão logística simples. Os métodos utilizados no caso de apenas uma covariável são os mesmos no caso da regressão múltipla.

4.2.2.1 Intervalo de Confiança para os parâmetros

O intervalo de confiança para um parâmetro $\beta_j$ é baseado em seu respectivo teste de Wald. O intervalo de confiança de $100(1-\alpha)$% para o parâmetro $\beta_j$ é:
$$IC(\beta_j,1-\alpha)= [\hat{\beta_j}-z_{1-\alpha/2}DP[(\hat{\beta_j})];~~~\hat{\beta_j}+z_{1-\alpha/2}DP[(\hat{\beta_j})]].$$

Em que a obtenção da estimativa do parâmetro $\beta_j$ e de seu desvio padrão é mostrado em 4.2.1. 

Exemplo 4.2.2.1

O modelo proposto é: $$\mbox{Probabilidade de refugo}=\pi_i=\frac{e^{\beta_0 + \beta_1 \, x_1 +\beta_2 \, x_2+\beta_3 \,x^2_1 + \beta_4 \, x^2_2 + \beta_5 \, x_1x_2}}{1+e^{\beta_0 + \beta_1 \, x_1 +\beta_2 \,x_2+\beta_3 \,x^2_1 + \beta_4 \, x^2_2 + \beta_5 \, x_1x_2}},$$

em que $x_1$ é a variável Volatilidade e $x_2$ é a variável RFV.

Assim, vamos construir intervalo de confiança de Wald para os parâmetros considerando as estimativas dos parâmetros e dos seus desvios padrão já calculados nos exemplos 4.2.1.1 e 4.2.1.1.1.

- Para $\beta_0$ 

$$IC(\beta_0,0,95)= [30,339-1,96*3,67;~~~30,339 + 1,96*3,67],$$
$$IC(\beta_0,0,95)= [30,339-7,1932;~~~30,339+7,1932],$$
$$IC(\beta_0,0,95)= [23,14;~~~37,53].$$

- Para $\beta_1$

$$IC(\beta_1,0,95)= [-14,1496-1,96*1,35514;~~~-14,1496 + 1,96*1,35514],$$
$$IC(\beta_1,0,95)= [-14,1496-2,65607;~~~-14,1496+2,65607],$$
$$IC(\beta_1,0,95)= [-16,8;~~~-11,50].$$  

- Para $\beta_2$

$$IC(\beta_2,0,95)= [-6,26927-1,96*0,855191;~~~-6,26927+1,96*0,855191],$$
$$IC(\beta_2,0,95)= [-6,26927-1,67617;~~~-6,26927+1,67617],$$
$$IC(\beta_2,0,95)= [-7,94;~~~-4,59].$$

- Para $\beta_3$

$$IC(\beta_3,0,95)= [1,10101-1,96*0,101994;~~~1,10101 + 1,96*0,101994],$$
$$IC(\beta_3,0,95)= [1,10101- 0,199908;~~~1,10101+0,199908],$$
$$IC(\beta_3,0,95)= [0,90;~~~1,30].$$

- Para $\beta_4$

$$IC(\beta_4,0,95)= [0,2819-1,96*0,046355;~~~0,2819+1,96*0,046355],$$
$$IC(\beta_4,0,95)= [0,2819-0,090855;~~~0,2819+0,090855],$$
$$IC(\beta_4,0,95)= [0,19;~~~0,37].$$

- Para $\beta_5$

$$IC(\beta_5,0,95)= [1,53769 - 1,96*0,18197;~~~1,53769 + 1,96*0,18197],$$
$$IC(\beta_5,0,95)= [1,53769 - 0,35666;~~~1,53769 +0,35666],$$
$$IC(\beta_5,0,95)= [1,18;~~~1,89].$$

4.2.2.2 Intervalo de Confiança para Logito

A logito é a parte linear do modelo de regressão logística. O estimador para logito é: $$\hat{g}(X)=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X_1+\hat{\beta}_2 X_2 + \ldots +\hat{\beta}_p X_p~~~~~~~~~~~(4.2.2.2.1)$$

O estimador da variância do estimador da logito requer a obtenção da variância da soma. O caso geral é: $$\hat{Var}[\hat{g}(x)]=\sum_{j=0}^{p}x_j^{2}\hat{Var}(\hat{\beta}_j)+\sum_{j=0}^{p}\sum_{k=j+1}^{p}2x_{j}x_{k}\hat{Cov}(\hat{\beta}_j,\hat{\beta}_k).~~~~~~~~~(4.2.2.2.2)$$

O intervalo de confiança para a logito é: $$IC(g(x),1-\alpha)= [\hat{g}(x)-z_{1-\alpha/2}DP[\hat{g}(x)];~~~\hat{g}(x)+z_{1-\alpha/2}DP[\hat{g}(x)]],$$

em que $DP[\hat{g}(x)]$ é a raiz quadrada de 4.2.2.2.2 e $z_{1-\alpha/2}$ é o ponto da normal padrão.

4.2.2.3 Intervalo de Confiança para os valores ajustados

O estimador do logito e seu intervalo de confiança fornece o estimador dos valores ajustados. O intervalo de confiança dos valores ajustados é dado por: $$IC(\pi,1-\alpha)= \left[\frac{e^{\hat{g}(x)-z_{1-\alpha/2}DP[\hat{g}(x)]}}{1+e^{\hat{g}(x)-z_{1-\alpha/2}DP[\hat{g}(x)]}};~~~\frac{e^{\hat{g}(x)+z_{1-\alpha/2}DP[\hat{g}(x)]}}{1+e^{\hat{g}(x)+z_{1-\alpha/2}DP[\hat{g}(x)]}}\right].~~~~~~~~(4.2.2.3.1)$$

Exemplo 4.2.2.3

Vamos calcular o intervalo de confiança para o valor predito para a primeira observação que tem os seguintes valores das variáveis explicativas: Volatilidade=1,906, RFV=5,64, Volatilidade ao quadrado=3,6328, RFV ao quadrado=31,832, Interação Volatilidade e RFV=10,7536. $$\hat{g}(x)=30,3389-14,1496*1,906-6,2693*5,64+1,1010*3,6328+$$

$$+0,2819*31,832+1,5377 *10,7536=-2,49.$$

$$DP[\hat{g}(x)]=0,003.$$

Assim, para a primeira observação, o intervalo de 95% de confiança dos valores preditos é: $$IC(\pi,0,95)= \left[\frac{e^{-2,49-(1,96*0,003)}}{1+e^{-2,49-(1,96*0,003}};~~~\frac{e^{-2,49+(1,96*0,003)}}{1+e^{-2,49+(1,96*0,003)}}\right].$$

$$IC(\pi,0,95)=[0,07; 0,08].$$

De maneira análoga para as outras observações, o Intervalo de 95% de Confiança para os valores ajustados estão na Tabela 4.2.2.3.

Tabela 4.2.2.3: Intervalo de Confiança dos Valores Ajustados

4.2.2.4 Intervalo de Confiança para a Odds Ratio 

Sejam os limites do intervalo de confiança para $\beta_j$: 

$\beta_{I}=\hat{\beta_j}-z_{1-\alpha/2}DP[(\hat{\beta_j})]$ e $\beta_{S}=\hat{\beta_j}+z_{1-\alpha/2}DP[(\hat{\beta_j})],$

em que j=1,2,...p.

O intervalo de confiança para a Odds Ratio é: $$IC(Odds~Ratio,1-\alpha)= [e^{\beta_{I}}; ~~~~e^{\beta_{S}}].~~~~~(4.2.2.4.1)$$

Exemplo 4.2.2.4

Vamos calcular o intervalo de confiança para os dados do exemplo 4.2.1.1.

- Para Volatilidade

$$\left[\exp(-14,1496-1,96*1,35514) \right.~;~~\left.\exp(-14,1496 + 1,96*1,35514)\right]$$

$$\left[\exp(-14,1496- 2,65607)\right.~;~~\left.\exp(-14,1496+ 2,65607)\right]$$

$$\left[5,027942e-08\right.~;~~\left.1,019585e-05\right].$$

- Para RFV

$$\left[\exp(-6,26927-1,96*0,855191)\right.~;~~\left.\exp(-6,26927+1,96*0,855191)\right]$$

$$\left[\exp(-6,26927-1,67617)\right.~;~~\left.\exp(-6,26927+1,67617)\right]$$

$$\left[0,00035427\right.~;~~\left.0,010121\right].$$

- Para o Efeito quadrático da Volatilidade

$$\left[\exp(1,10101-1,96*0,101994)\right.~ ~;~~\left.\exp(1,10101 + 1,96*0,101994) \right]$$

$$\left[\exp(1,10101- 0,199908)\right.~~;~~\left.\exp(1,10101+0,199908)\right]$$

$$\left[2,4623\right.~~;~~\left. 3,6726 \right].$$

- Para o Efeito quadrático do RFV

$$\left[\exp(0,2819-1,96*0,046355)\right.~~;~~\left.\exp(0,2819+1,96*0,046355)\right]$$

$$\left[\exp(0,2819-0,090855)\right.~~;~~\left.\exp(0,2819+0,090855)\right]$$

$$\left[1,2105 \right.~~;~~\left.1,4517\right].$$

- Para a Interação entre a Volatilidade e o RFV

$$\left[\exp(1,53769 - 1,96*0,18197) \right.~~;~~\left.\exp(1,53769 + 1,96*0,18197)\right]$$

$$\left[\exp(1,53769 - 0,35666) \right.~~;~~\left. \exp(1,53769 +0,35666)\right]$$

$$\left[3,2577\right.~~;~~\left.6,64822\right].$$