A soma dos quadrados dos resíduos (SQE) da regressão linear, no modelo logístico é denominada deviance (D), definida como: 

$$d(y_j,\widehat{\pi}_j)=\pm\left[2\left[y_j~\ln \left(\frac{y_j}{m_j\widehat{\pi}_j} \right)+(m_j - y_j) ~\ln \left(\frac{(m_j -y_j)}{m_j\widehat{\pi}_j(1-\widehat{\pi}_j)} \right) \right]\right]^{1/2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~(4.3.2.1)$$

Em que o sinal + ou - é o mesmo sinal que $ (y_j-m_j\hat{\pi}_j) $. Além disso, $ m_j $ é o número de observações na Covariate Pattern j, $ \hat{\pi}_j $ é a probabilidade ajustada dos indivíduos no grupo j e
$ y_j $ o número de indivíduos em j com y=1.

A estatística teste é: 

$$D=\sum_{j=1}^J{d(y_j,\hat{\pi}_j)}^2.$$

A estatística D, sob a suposição que o modelo ajustado é correto, tem distribuição assintótica $ \chi^2 $ com $ J-(p+1) $ graus de liberdade.

 Restrições do teste Qui-Quadrado de Pearson e Deviance

Quando os resultados assintóticos são baseados no fato em que n cresce mantendo os $ m_j $ pequenos (ou tornando os $ m_j $ pequenos), chamamos de n-assintótico.

Quando $ J\textless n $ é fixado e n cresce fazendo com que os $ m_j $ também cresçam, os resultados assintóticos baseados no $ m_j $ são chamados de m-assintótico.

Assim, quando $ J\approx n $, sob n-assintótico, os p-valores calculados dos testes Deviance e qui-quadrado de Pearson, usando a distribuição $ \chi^2 $ com $ (J-p-1) $ graus de liberdade estão incorretos.

Uma saída é criar agrupamentos que permite o uso de resultados m-assintóticos.

Vale ressaltar que para a realização do teste de qualidade de ajuste de Hosmer e Lemeshow não é necessário existir Covariate Pattern.  

Exemplo 4.3.2.1

Para obtermos a estatística Deviance para testar se o modelo ajustado é adequado, temos que calcular pela equação (4.3.2.1), para cada grupo (como são dados resumidos, a primeira "observação"), o resíduo Deviance.

Assim, temos os valores dos resíduos Deviance:

Grupos (observações) Resíduos Deviance
1 -0,93425
2 -0,93425
3 -0,93425
4 -1,05002
5 -0,58267
6 -0,19086
7 0,146409
8 0,146409
9 0,440923
10 0,288473
11 0,929236
12 0,418699
13 0,418699
14 0,418699
15 0,228179
16 0,228179
17 0,56749
18 0,372416
19 0,495682
20 0,079443
21 0,169152
22 -0,0524
23 -0,0524
24 0,240936
25 0,012201
26 0,012201
27 -0,22097
28 -0,45869
29 -0,18041
30 -0,92968

Tabela 4.3.2.1.1: Resíduos Deviance

Com os valores dos resíduos da Tabela 4.3.2.1.1, temos que a estatística Deviance é:  

$$D=\sum_{j=1}^{30}{d(y_j,\hat{\pi}_j)}^2=7,8722.$$

O p-valor $ P(\chi^2_{28} \textgreater 7,8722)=0,99 $. Assim, não rejeitamos a hipótese de que o modelo é adequado.

Para obtermos a estatística Deviance para testar se o modelo ajustado é adequado, temos que calcular pela equação (4.3.2.1) os resíduos Deviance.

Assim, os valores dos resíduos são:

Grupos (observações) Resíduos Deviance
1 20,72168
2 2,26703
3 9,965709
4 -9,65112
5 -15,6351
6 -3,83042
7 -8,40627
8 -17,3252
9 -2,89436
10 -10,7692
11 -6,8788
12 12,25469
13 -0,44928
14 8,503884
15 6,305022
16 4,730169
17 2,818639
18 -5,68624

Tabela 4.3.2.1.2: Resíduos Deviance

Com os valores dos resíduos da Tabela 4.3.2.1.2, temos que a estatística Deviance é: 

$$D=\sum_{j=1}^{18}{d(y_j,\hat{\pi}_j)}^2=1753,714.$$

O p-valor $ P(\chi^2_{12} \textgreater 1753,714)=0 $. Assim, rejeitamos a hipótese de que o modelo é adequado.

Análise de Regressão

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