6. Exercícios

Exercício 6.1: Regressão Linear Simples

Queremos saber como a propaganda influencia no lucro de uma determinada empresa. Temos os dados do quanto se investiu em propaganda e o retorno desse investimento.

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Questões:

• Modelo Estatístico: Interpretação dos parâmetros do modelo, suposições para o modelo;
• Estimação dos parâmetros; 
• Testes e intervalos de confiança para os parâmetros;
• Análise de Variância;
• Medidas de associação;
•  Intervalo de Confiança para Resposta Média e Predição;
•  Análise de resíduos.

 

Exercício 6.2: Regressão Linear Simples

Uma frota de veículos de mesmo modelo de uma empresa foi abastecida com o mesmo tipo de combustível. Queremos saber a relação entre a quantidade de quilômetros percorridos pelo veículo e o gasto em litros do combustível.

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Questões:

• Modelo Estatístico: Interpretação dos parâmetros do modelo, suposições para o modelo;
• Estimação dos parâmetros; 
• Testes e intervalos de confiança para os parâmetros;
•  Análise de Variância;
•  Medidas de associação;
•  Intervalo de Confiança para Resposta Média e Predição;
•  Análise de resíduos.

 

Exercício 6.3: Regressão Linear Múltipla

Um banco pretende estudar a relação entre o volume de vendas de seguros efetuadas durante um dado período de tempo por seus vendedores, considerando seus anos de experiência e seu score num teste de inteligência. 

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Questões:

• Propor o modelo estatístico: Interpretação dos parâmetros do modelo, efeito das interações, suposições para o modelo;
•  Estimação dos Parâmetros do Modelo;

• Análise de Variância;
• Medidas de associação: Coeficiente de determinação múltipla;
• Testes Individuais e Intervalos de Confiança para os Parâmetros;
• Intervalo de Confiança para Resposta Média e Predição;
• Seleção de Variáveis;
• Seleção Todos os Modelos Possíveis;
• Análise de resíduos.

 

Exercício 6.4: Regressão Linear Múltipla

Uma empresa pretende analisar os gastos de manutenção com sua frota de veículos de um  mesmo modelo considerando  a quilometragem inicial  do veículo e a diferença  dessa quilometragem desde a aquisição do automóvel.

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Questões: 

• Propor o modelo estatístico: Interpretação dos parâmetros do modelo, efeito das interações, suposições para o modelo;
• Estimação dos Parâmetros do Modelo;
• Análise de Variância;
• Medidas de associação: Coeficiente de determinação múltipla
• Testes Individuais e Intervalos de Confiança para os Parâmetros;
• Intervalo de Confiança para Resposta Média e Predição;
• Seleção de Variáveis;
• Seleção Todos os Modelos Possíveis;
• Análise de resíduos.

 

Exercício 6.5: Regressão Linear Múltipla

Uma empresa pretende analisar o tempo médio do processo  de atendimento observando  o turno de entrada dos funcionários e o tempo de experiência deles. Os turnos de trabalho analisados foram  manhã e tarde e o tempo de experiência é dado em dias.

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Questões:

• Propor o modelo estatístico: Interpretação dos parâmetros do modelo, efeito das interações, suposições para o modelo;
• Estimação dos Parâmetros do Modelo;
• Análise de Variância;
• Medidas de associação: Coeficiente de determinação múltipla
• Testes Individuais e Intervalos de Confiança para os Parâmetros;
• Intervalo de Confiança para Resposta Média e Predição;
• Seleção de Variáveis;
• Seleção Todos os Modelos Possíveis;
• Análise de resíduos.

 

Exercício 6.6: Regressão Linear

Consideremos os valores diários do retorno de um portfólio e o retorno do índice S&P 500 analisados em 12 períodos. Temos interesse em estimar o parâmetro $\beta$ e verificar a relação entre os retornos diários do portfólio e os retornos diários do índice S&P 500.

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Questões:

• Modelo Estatístico: Interpretação dos parâmetros do modelo, suposições para o modelo;
• Estimação dos parâmetros; 
• Testes e intervalos de confiança para os parâmetros;
• Análise de Variância;
• Medidas de associação;
•  Intervalo de Confiança para Resposta Média e Predição;
•  Análise de resíduos.

 

Beta

O Modelo de Precificação de Ativos Financeiros (MPAF), foi um dos primeiros modelos em finanças. Tem sido amplamente usado na estimação de custo de capital na medição da performance de fundos manejados. O coeficiente beta é um parâmetro chave para este modelo. O beta de um portfólio é um número que descreve a relação do seu retorno com a do retorno do mercado. Um ativo com beta zero significa que seu preço não está de todo correlacionado com o mercado. Um beta positivo significa que o ativo em geral segue o mercado. Um beta negativo mostra que o ativo segue o mercado inversamente.

O Modelo de Precificação de Ativos Financeiros Zero-Beta prediz que

$$E(R_{i}) = \gamma_{0} + \gamma_{1}\beta_{i}, \quad i=1,\ldots,N ~~(1)$$

em que
(i) $N$: total de ativos;

(ii) $\beta_{i}$: é o coeficiente beta do i-ésimo ativo e é dado por $$\beta_{i} = \frac{Cov(R_{i},R_{M})}{Var(R_{M})};$$

(iii) $\gamma_{0}$: é o retorno esperado do portfólio, que tem uma covariância zero com o portfólio do mercado. Quando um ativo livre de risco existe, $\gamma_{0}$ será o retorno livre de risco, e esta é a forma tradicional do MPAF;

(iv) $\gamma_{1}$: é o prêmio de mercado ou prêmio de risco. A maioria dos estudos têm adotado a metodologia de regressão de dois passos para avaliar se existe um prêmio de risco positivo significativo em beta. No primeiro passo, $\beta_{i}$ é estimado a partir do modelo de regressão

$$R_{i,t} = \alpha_{i} + \beta_{i}R_{M,t} + \epsilon_{i,t}, ~~(2)$$

em que $R_{i,t}$ é o retorno no ativo $i$ no período $t$; $R_{M,t}$ é o retorno sobre o mercado proxy no portfólio no período t; $\epsilon_{i,t}$ é um termo de erro aleatório; $\beta_{i}$ é o beta estimado para o ativo $i$. Assume-se que os termos de erro na equação acima são independentes e identicamente  distribuídos com média zero e matriz de covariância estacionária, e $R_{M,t}$ é gerada de uma distribuição estacionária.

No segundo estágio, a equação de regressão cross-sectional é estimada em cada período (mês) como

 

 

$$R_{i,t} = \gamma_{0,t} + \gamma_{1,t}\beta_{i,t} + u_{i,t}, ~~(3)$$ 

em que $\beta_{i}$ é estimado da equação (2), e $u_{i,t}$ é um termo de erro aleatório. A equação (3) é estimada por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) que fornece estimativas $\widehat{\gamma}_{0,t}$ e $\widehat{\gamma}_{1,t}$ para cada mês no período de amostra. A média de valores para os coeficientes mensais ($\overline{\gamma}_{0,t}, \overline{\gamma}_{1,t}$) são calculados, e o valor médio pode ser testado para verificar se é significantemente diferente de zero usando o teste t.

Por definição, o mercado tem um beta de 1.0 e ações individuais são classificadas de acordo com a maneira que elas desviam do mercado macro (S & P 500). Uma ação que oscila mais que o mercado (i.e. mais volátil) ao longo do tempo tem um beta cujo valor absoluto é maior do que 1.0. Se uma ação se movimenta menos que o mercado, o valor absoluto do beta da ação é menor do que 1.0.

Mais especificamente, uma ação que tem um beta de 1.5 segue o mercado em um declínio geral ou crescimento, mas o faz para um fator de 1.5, significando que quando o mercado tem um declínio geral de 3% uma ação com beta de 1.5 cairá 4.5%. Os valores de beta também podem ser negativos, significando que a ação se move na direção oposta do mercado: uma ação com beta de -2 cairia 6% quando o mercado vai para 3% e reciprocamente, cresceria 9% se o mercado caísse para 3%. 

Ações com valores altos de beta significam maior volatilidade e são portanto consideradas mais arriscadas. Por sua vez é esperado que elas forneçam maior potencial de retorno. Ações com valores baixos de beta geram menores riscos, porém menores retornos.

 

Exercício 6.7: Regressão Logística Simples

Realizou-se um treinamento com 100 funcionários de um determinado setor de  um banco para utilização de um novo sistema operacional. O objetivo do treinamento foi determinar o menor número de horas de treinamento necessários para ocorrência do menor número de erros ao utilizar esse novo  sistema.

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Questões:

• Propor o modelo estatístico;

• Estimação dos parâmetros do modelo;

• Fazer inferência em um modelo de regressão logística simples: Teste de Wald, Teste da razão de Verossimilhança, Teste de Score;

• Intervalos de confiança: para os parâmetros, para  Logito, para valores ajustados, para a Odds Ratio.

 

Exercício 6.8: Regressão Logística Múltipla

Com o objetivo de  determinar se algumas diferenças nas características dos clientes podem distinguir entre os bons e os maus pagadores de empréstimos bancários foi empregada a técnica de regressão logística. Analisamos 300 clientes e adotamos como características as variáveis sexo e faixa salarial.

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Questões:

• Propor o modelo estatístico;

• Estimação dos parâmetros do modelo;

• Fazer inferência em um modelo de regressão logística múltipla: Teste de Wald, Teste da razão de Verossimilhança;

• Intervalos de confiança: para os parâmetros, para Logito, para valores ajustados, para a Odds Ratio;

• Seleção de Variáveis;

• Análise de resíduos.

 

Exercício 6.9: Regressão Linear Múltipla

Considere um experimento, em que foi medida a degradação de uma droga para 3 lotes (G0001, G0002, G0003). Para cada lote, medimos em diferentes níveis de tempo para um produto com duração de 4 anos. Os níveis selecionados para o experimento foram (Tempo=0, 3, 6, 9, 12, 18, 24 e 36 meses). O objetivo é avaliar a estabilidade da concentração de uma droga e avaliar a similaridade entre as curvas de degradação entre os lotes ensaiados.

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Questões:

• Propor o modelo estatístico;

• Estimação dos parâmetros do modelo;

• Fazer inferência em um modelo de regressão linear múltipla;

• Intervalos de confiança: para os parâmetros, para valores ajustados;

• Análise de resíduos.