4. Regressão Logística

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O modelo de regressão logística é semelhante ao modelo de regressão linear. No entanto, no modelo logístico a variável resposta $Y_i$ é binária. Uma variável binária assume dois valores, como por exemplo, $Y_i=0$ e $Y_i=1,$ denominados "fracasso" e "sucesso", respectivamente. Neste caso, "sucesso" é o evento de interesse.

No modelo linear temos

$$Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i.$$

Assumindo que $E(\varepsilon_i)=0$, obtemos que

$$E(Y_i)=\beta_0+\beta_1x_i.~~~~(4.1)$$

A variável resposta $Y$ tem distribuição Bernoulli $(1, \pi)$, com probabilidade de sucesso $P(Y_i=1)=\pi_i$ e de fracasso $P(Y_i=0)=1 - \pi_i.$ Desta forma

$$E(Y_i) = \pi_i.~~~~(4.2)$$

Igualando (4.2) e (4.1), temos

$$E(Y_i) = \pi_i = \beta_0+\beta_1x_i.$$

Essa igualdade viola as suposições do modelo linear. De fato,

i) Os erros não são normais, pois:

  • $y_i=1 ~~\Rightarrow~~\varepsilon_i=1-\beta_0-\beta_1x_1$
  • $y_i=0 ~~\Rightarrow~~\varepsilon_i=0-\beta_0-\beta_1x_1$

Assim não faz sentido assumirmos a normalidade dos erros.

ii) Não homogeneidade da variância.

Temos que $\text{Var}(Y_1)=\pi_i(1-\pi_i)=(\beta_0+\beta_1x_1)(1-\beta_0-\beta_1 x_1)$ então a variância de $Y_i$ depende de $x_i$, e consequentemente, não é constante.

iii) Restrição para a resposta média $E(Y_i).$ Como a resposta média é obtida em probabilidades temos que $0 \leq \beta_0+\beta_1x_1\leq 1$. Entretanto, esta restrição é inapropriada para resposta em um modelo linear, que assume valores no intervalo $(-\infty, \infty).$ Uma forma de resolver esse problema é utilizar o modelo logístico.

Muitas funções foram propostas para a análise de variáveis com respostas dicotômicas. Dentre elas a mais simples é a que dá origem ao modelo logístico. Do ponto de vista estatístico este modelo é bastante flexível e de fácil interpretação.

 

Análise de Regressão

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