3.2 - RR Não-Replicável (Método Hierárquico)

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Neste módulo, vamos analisar a variabilidade (estudo de RR) de sistemas de medição não replicáveis. Ao realizarmos o estudo de RR de um sistema de medição replicável, obtemos um arranjo experimental conforme a Tabela 3.2.1. Entretanto, para um sistema de medição não replicável este arranjo não é possível, pois não podemos medir a mesma peça várias vezes. Como exemplo, considere o teste  destrutivo de solda onde uma porca soldada é arrancada de uma peça e a quantidade máxima de força antes do arrancamento é medida. A solda é destruída no processo, portanto não pode ser avaliada novamente. Portanto, não podemos medir a mesma peça mais de uma vez e neste caso, o arranjo descrito na Tabela 3.2.1 não se aplica.

 

  Operador 1 Operador 2
Peça Parte I Parte II Parte III Parte I Parte II Parte III
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6
7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9
10 10 10 10 10 10 10

Tabela 3.2.1: Leituras.

 

A primeira medida a ser feita antes de abordar um estudo RR não replicável é garantir que todas as condições que englobam o teste sejam definidas, padronizadas e controladas - operadores devem ser similarmente qualificados e treinados, a iluminação deve ser adequada e sempre controlada, instruções de trabalho devem ser detalhadas e operacionalmente definidas, condições ambientais devem ser controladas dentro de um grau adequado, equipamentos devem ser calibrados e receber manutenção adequada, etc. Em segundo lugar, antes de fazer um estudo de um sistema de medição  não replicável, é necessário verificar se o processo de produção é estável e capaz.

Depois disto, uma vez que a peça não pode ser reavaliada devido à alterações em sua estrutura (ou destruição), diversas peças semelhantes (homogêneas) devem ser escolhidas para o estudo e deve ser feita a suposição de que as peças são idênticas (ou similares). Os conjuntos de peças homogêneas são denominados lotes. Neste caso, temos o arranjo experimental definido na Tabela 3.2.2, no qual a peça 1 é tratada como lote 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, isto é, são peças distintas que são tratadas como se fossem uma mesma peça. Desta forma, as peças devem ser amostradas consecutivamente (dentro de um mesmo lote de produção) sendo idênticas (ou similares) o suficiente para que elas possam ser tratadas como se fossem a mesma peça. Se o processo de interesse não satisfizer esta suposição, este método não irá funcionar. Geralmente se estas peças são tiradas da produção de modo consecutivo, sob condições de produção semelhantes o máximo possível, esta exigência é cumprida.

 

Estudo da variabilidade do sistema de medição de tração

 

  OPERADOR 1 OPERADOR 2
Lote Parte 1 Parte 2 Parte 3 Parte 1 Parte 2 Parte 3
1A. . . 1F 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2A. . . 2F 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3A. . . 3F 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4A. . . 4F 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5A. . . 5F 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6A. . . 6F 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
7A. . . 7F 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6
8A. . . 8F 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6
9A. . . 9F 9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6
10A. . . 10F 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6

Tabela 3.2.2: Leituras

No arranjo experimental definido para sistemas replicáveis (ver Tabela 3.2.1), todas as combinações  de níveis entre os fatores (peça e operador) estão bem definidas. Neste caso, temos o cruzamento entre todos os  níveis de todos os fatores (experimentos fatoriais cruzados).
Por outro lado, no arranjo experimental definido para sistemas não replicáveis (ver Tabela 3.2.2), os níveis do fator lote (peças similares) ocorrem em combinação com os níveis do fator operador, por exemplo, a peça 1-1 foi medida apenas pelo operador A. Tais arranjos experimentais são denominados  hierárquicos ("nested''). Na figura 3.2.1, apresentamos um esquema hierárquico aplicado a um sistema de medição não replicável.

 

Figura 3.2.1:Croqui de um experimento hierárquico.

 

Modelo Estatístico

 
Denotamos por $ Y_{ijk} $ o valor da medida da k-ésima parte, do operador i para a peça j.

$ \begin{equation*}Y_{ijk}=\mu + \alpha_{i}+\beta_{j(i)}+ \epsilon_{(ij)k} \end{equation*} $

em que,

$ \mu $ = constante

$ \alpha_{i} $ = efeito aleatório devido ao operador, $ i = 1,\dots,a $ (número de operadores).Assumimos que $ \alpha_i $ tem distribuição normal com média zero e variância $ \sigma_{\alpha}^2 $.

$ \beta_{j(i)} $ = efeito aleatório devido ao j-ésimo lote hierarquizado sob o i-ésimo operador,$  j = 1, \dots, b  $ (número de lotes).

$ \epsilon_{(ij)k} $ = erro associado a cada observação, hierarquizado em relação aos operadores e lotes, $ k = 1,\dots, r $ (número de partes, réplicas).

A análise de variância para o modelo estatístico acima é obtida pela decomposição da variação total $ Y_{ijk} - \overline{Y}_{...} $ como segue

$ \begin{equation*}\underbrace{Y_{ijk} -\overline{Y}_{...}}_{\text{Variação Total}}=\underbrace{\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...}}_{\text{Efeito devido ao operador}}+\underbrace{\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}}_{\text{Efeito específico da peça quando o operador está no i-ésimo nível}}+\underbrace{\overline{Y}_{ijk}- \overline{Y}_{ij.}}_{\text{Repetitividade}}\end{equation*} $

Desta forma a quebra da variabilidade é definida por:

$$SQTotal = SQA + SQB(A) + SQE$$

em que

$$SQTotal = \sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{...})^{2}$$

$$SQA = br\sum_{i}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^{2}$$

$$SQB(A)=r\sum_{i}\sum_{j}(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..})^{2}$$

$$SQE = \sum_{i}\sum_{j}\sum_{k}(\overline{Y}_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^{2}=\sum_{i}\sum_{j}\sum_{k} \epsilon^{2}_{ijk}$$

Neste caso, a tabela da ANOVA fica da seguinte forma:

Fator GL Soma de Quadrados Quadrados Médios F
Operador $ a-1 $ $ SQA $ $ QMO=\frac{SQA}{a-1} $  
Lote Hierárquico ao Operador $ a(b-1) $ $ SQB(A) $ $ QML(O)=\frac{SQB(A)}{a(b-1)} $  
Repetitividade $ ab(r-1) $ $ SQE $ $ \frac{SQE}{ab(r-1)} $  
Total $ abr-1 $ $ SQT $    

No modelo hierárquico com fatores aleatórios (operador e peça), temos os seguintes valores para a esperança dos quadrados médios e as estatísticas associados ao testes de influência dos fatores.

E(QM) A: Aleatório
B: Aleatório
E(QMO) $ \sigma^{2}+r\sigma^{2}_{\beta}+br\sigma^{2}_{\alpha} $
E(QML(O)) $ \sigma^{2}+r\sigma^{2}_{\beta} $
E(QME) $ \sigma^{2} $
  Testes Estatísticos Apropriados
Teste para A: Aleatório
B: Aleatório
Fator A $ \frac{QMA}{QMB(A)} $
Fator B(A) $ \frac{QMB(A)}{QME} $

Aqui, realizamos os seguintes testes

  • Teste do efeito do lote hierarquizado ao operador:

\sigma^{2}_{\beta(\alpha)}\textgreater 0\end{array}\right.$$

a estatística de teste apropriada é

$$F^{*}=\frac{QML(O)}{QME}$$

e a regra de decisão ao nível de significância $ \alpha $ é

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{Se}~~F^{*}\leq F[1-\alpha;a-1;a(b-1)],~~~~\mbox{não rejeita-se}H_{0}\\ \mbox{Se}~~F^{*}\textgreater F[1-\alpha;a-1;a(b-1)],~~~~\mbox{rejeita-se}H_{0}\end{array}\right.$$

  • Teste do efeito do  operador:

\sigma^{2}_{\alpha}\textgreater 0\end{array}\right.$$

a estatística de teste apropriada é

$$F^{*} = \frac{QMO}{QME}$$

e a regra de decisão ao nível de significância $ \alpha $ é

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{Se}~~F^{*}~~\leq F[1-\alpha;a(b-1);(r-1)ab],~~~\mbox{não rejeita-se}H_{0}\\ \mbox{Se}~~F^{*}\textgreater F[1-\alpha;a(b-1);(r-1)ab],~~~\mbox{rejeita-se}H_{0}\end{array}\right.$$

A seguir, apresentamos os cálculos dos componentes de variância:

1. Repetitividade

$$VE=\sqrt{QME}$$

 

2. Variação devido ao operador

$$VO=\sqrt{\frac{QMO-QML(O)}{br}}$$

3. Variação dos lotes hierarquizados ao operador

$$VP =\sqrt{\frac{QML(O)-QME}{r}}$$

4. Repetitividade e Reprodutibilidade

$$RR=\sqrt{VE^2 + VO^2}$$

5. Variação total

$$VT=\sqrt{VP^2 + RR^2}$$

6. Tabela dos índices

Fonte de Variação Desvio Padrão % de Variação %Tolerância
Repetitividade VE $ \frac{VE}{VT}*100 $ $ (6*\frac{VE}{TOL})*100 $
Reprodutibilidade VO $ \frac{VO}{VT}*100 $ $ (6*\frac{VO}{TOL})*100 $
Peça  VP $ \frac{VP}{VT}*100 $ $ (6*\frac{VP}{TOL})*100 $
RR RR $ \frac{RR}{VT}*100 $ $ (6*\frac{RR}{TOL})*100 $

 

Exemplo 3.2.1

Considere a característica resistência à tração realizada com corpos-de-prova de aço.

Objetivo:

Avaliar a reprodutibilidade e a repetitividade do sistema de medição.

Descrição do experimento

  • Selecionar 5 corridas de aço (p = 5), com pouca variabilidade dentro das corridas e a variabilidade natural do processo (de produção) entre as corridas;
  • De cada corrida foi processado uma barra ;
  • Cada barra foi dividido em seis partes;
  • As partes do corpo de prova foram submetidas ao sistema de medição, onde foram medidas a Resistência (2 avaliadores (o = 2); 3 partes por avaliador ( r = 3 )).
  • Unidade: MPA;
  • Tolerância: 130 MPA

Os resultados estão abaixo:

  • Avaliador 1 : Aval. 1.
  • Avaliador 2 : Aval. 2.
Corrida Avaliador Resistência
1 1 1168
1 1 1170
1 1 1171
2 1 1179
2 1 1155
2 1 1159
3 1 1161
3 1 1179
3 1 1170
4 1 1190
4 1 1182
4 1 1197
5 1 1135
5 1 1150
5 1 1130
1 2 1142
1 2 1164
1 2 1177
2 2 1173
2 2 1175
2 2 1148
3 2 1184
3 2 1159
3 2 1182
4 2 1190
4 2 1188
4 2 1188
5 2 1139
5 2 1137
5 2 1151

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Aplicação

A soma dos quadrados é dada pelas seguintes fórmulas

$$SQTotal = (1168-1166,433)^{2}+(1170-1166,433)^2+\dots+(1151-1166,433)^{2}=10017,37$$

$$SQO = 5.3[(1166,4-1166,433)^{2}+(1166,467-1166,433)^{2}]=0,033$$

$$SQL(O) = 3[(1169,667-1166,4)^2 +(1164,333-1166,4)^{2}+\dots+(1142,333-1166,467)^{2}]=7608,667$$

$$SQE = (1168-1169,667)^{2}+(1170-1169,667)^{2}+\dots+(1151-1142,333)^{2}=2408,667$$

Desta forma, temos a tabela da ANOVA

Considerando que os fatores são aleatórios, vamos analisar se existe diferença significativa entre os avaliadores, para isso usamos a estatística de teste

$$F^{*}=\frac{QMO}{QML(O)}=\frac{0,033}{951,083}=0,00003469$$

Ao nível $ \alpha $ = 0,05 de significância temos

$$F[0,95;1;8]=5.317655$$

Como $ F^{*}\textless F $, não rejeitamos a hipótese $ H_{0} $, portanto concluímos que não existe diferença entre os avaliadores.

Avaliamos agora, a variabilidade entre as corridas, através da estatística de teste

$$F^{*}=\frac{QML(O)}{QME}=\frac{951,083}{120,433}=7,897$$

Ao nível $ \alpha $ = 0,05 de significância temos

$$F[0,95;8;20]=2,447064$$

Como $ F^{*}\textgreater F $, rejeitamos a hipótese $ H_{0} $, portanto concluímos que existe variabilidade entre as corridas analisadas.

  • Repetitividade

$$VE=\sqrt{QME}=10,97$$

  • Variação devido ao operador

$$VO=\sqrt{\frac{QMO-QML(O)}{br}}=0$$

  •  Variação dos lotes hierarquizados ao operador

$$VP=\sqrt{\frac{QML(O)-QME}{r}}=16,64$$

  • Repetitividade e Reprodutibilidade

$$RR=\sqrt{VE^2 + VO^2}=10,97$$

  •  Variação total

$$VT=\sqrt{VP^2 + RR^2}=19,93$$

  • Desvio padrão entre as corridas: 16,64 MPA;
  •  Repetitividade: variabilidade devido ao Sistema de Medição mais a variabilidade da barra (falta de homogeneidade da barra);
  •  Repetitividade do sistema de medição: 10,97 MPA;
  •  Os avaliadores não influenciam de forma significativa na variabilidade do sistema de medição;
  •  A variabilidade entre as corridas é significativa com relação a repetitividade.

 

Conclusões

 

O sistema de medição apresenta uma repetitividade alta e uma reprodutibilidade desprezível. A repetividade do sistema de medição apresenta um índice de 55% com relação à variação total. Além disso, através do gráfico da média (Xbarra), observamos que a dispersão dos pontos e as linhas de controle (linhas vermelhas) estão muito próximas (a maioria dos pontos estão dentro das linhas de controle). Com isso, concluímos que a repetitividade do sistema de medição e a variação do processo produtivo (variabilidade entre as barras) são similares, como consequência não conseguimos realizar melhoria contínua através dos dados gerados por este sistema de medição. Portanto, o sistema de medição não está adequado para controlar o processo.

Resultados obtidos pelo Action:

 

 

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