1.1 - Modelo

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O modelo estatístico para este planejamento é 

$$y_{ijk} = \mu + S_{ik} + \pi_j + \tau_d{}_{[i,j]} +\lambda_d{}_{[i,j-1]}~+~ \varepsilon_{ijk} ~~~~~\left\{\begin{array}{c}i = 1, \cdots, s~~\mbox{(Sequência)} \\j = 1, \cdots, p~~\mbox{(Período)} \\k = 1, \cdots,n_i~~\mbox{(Indivíduo)}\end{array} \right.$$

Em que:

$ y_{ijk} $ representa a resposta do k-ésimo indivíduo na i-ésima sequência no j-ésimo período;

$ \mu $ é uma média geral;

$ S_{ik} $ é o efeito aleatório do k-ésimo indivíduo na sequência $ i $;

$ \pi_j $ é o efeito do período $ j $, com $ \sum_{j=1}^{p}\pi_j=0 $;

$ \tau_d{}_{[i,j]} $ é o efeito direto do tratamento administrado no período $ j $ da sequência $ i $ (Efeito da Formulação), com $ \sum\tau_d{}_{[i,j]}=0 $;

$ \lambda_d{}_{[i,j-1]} $ é o efeito direto do tratamento administrado no período $ j-1 $ da sequência $ i $ (Efeito Carry-over), com $ \sum \tau_d{}_{[i,j-1]}=0 $;

$ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório para o k-ésimo indivíduo no j-ésimo período na i-ésima sequência.

O efeito $ S_{ik} $ será considerado aleatório pois, a partir da população dos possíveis indivíduos que podem receber os tratamentos, selecionamos uma amostra de forma aleatória, onde assumimos que:

  • $ S_{ik} $ e $ \varepsilon_{ijk} $ são variáveis aleatórias com densidade normal, independentes e identicamente distribuídos com média zero e variâncias $ \sigma^2_S $ e $ \sigma^2 $, respectivamente;
  • $ S_{ik} $ e $ \varepsilon_{ijk} $ são mutuamente independentes.

Podemos interpretar os parâmetros de variabilidade inter e intra na forma:

  • $ \sigma^2_S $, explica a variabilidade inter-individual (entre indivíduos);
  • $ \sigma^2 $, explica a variabilidade intra-individual (dentro do indivíduo) para a t-ésima formulação.

A componente inter-individual descreve à variação entre os indivíduos nos grupos, já a componente intra-individual descreve as mudanças individuais ao longo das observações, ou seja, as mudanças dentro de cada indivíduo.

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ANOVA

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