1.1 - Modelo

O modelo estatístico para este planejamento é $$y_{ijk} = \mu + S_{ik} + \pi_j + \tau_d{}_{[i,j]} +\lambda_d{}_{[i,j-1]}~+~ \varepsilon_{ijk} ~~~~~\left\{\begin{array}{c}i = 1, \cdots, s~~\mbox{(Sequência)} \\j = 1, \cdots, p~~\mbox{(Período)} \\k = 1, \cdots,n_i~~\mbox{(Indivíduo)}\end{array} \right.$$Em que:

$y_{ijk}$ representa a resposta do k-ésimo indivíduo na i-ésima sequência no j-ésimo período;

$\mu$ é uma média geral;

$S_{ik}$ é o efeito aleatório do k-ésimo indivíduo na sequência $i$;

$\pi_j$ é o efeito do período $j$, com $\sum_{j=1}^{p}\pi_j=0$;

$\tau_d{}_{[i,j]}$ é o efeito direto do tratamento administrado no período $j$ da sequência $i$ (Efeito da Formulação), com $\sum\tau_d{}_{[i,j]}=0$;

$\lambda_d{}_{[i,j-1]}$ é o efeito direto do tratamento administrado no período $j-1$ da sequência $i$ (Efeito Carry-over), com $\sum \tau_d{}_{[i,j-1]}=0$;

$\varepsilon_{ijk}$ é o erro aleatório para o k-ésimo indivíduo no j-ésimo período na i-ésima sequência.

O efeito $S_{ik}$ será considerado aleatório pois, a partir da população dos possíveis indivíduos que podem receber os tratamentos, selecionamos uma amostra de forma aleatória, onde assumimos que:

• $S_{ik}$ e $\varepsilon_{ijk}$ são variáveis aleatórias com densidade normal, independentes e identicamente distribuídos com média zero e variâncias $\sigma^2_S$ e $\sigma^2$, respectivamente;
• $S_{ik}$ e $\varepsilon_{ijk}$ são mutuamente independentes.

Podemos interpretar os parâmetros de variabilidade inter e intra na forma:

• $\sigma^2_S$, explica a variabilidade inter-individual (entre indivíduos);
• $\sigma^2$, explica a variabilidade intra-individual (dentro do indivíduo) para a t-ésima formulação.

A componente inter-individual descreve à variação entre os indivíduos nos grupos, já a componente intra-individual descreve as mudanças individuais ao longo das observações, ou seja, as mudanças dentro de cada indivíduo.