1.1 - Modelo

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Modelo para os dados

Para uma boa análise é necessário descrever os dados através de um modelo apropriado. Um dos mais simples é o modelo de efeitos, descrito por:

$$y_{ij}=\mu +\alpha_i+\varepsilon_{ij} $$

em que, $j = 1, \cdots ,n_i$ e $i = 1;2, \cdots ,k$.

Para este modelo $\mu$ é um parâmetro comum a todos os tratamentos e representa a média geral dos dados, $\alpha_{i}$ é o efeito que o nível i do fator provoca na variável resposta. A variável aleatória $\varepsilon_{ij}$ corresponde ao erro aleatório experimental, isto é, a variabilidade devido aos outros fatores que influenciam no processo, produto ou serviço e que não foram considerados no experimento. O erro experimental representa as variações não explicada pelo modelo, que tem como causa as variações presentes em diversas fontes não consideradas no estudo.

Resumindo,

$y_{ij}$= j-ésima observação do nível i do fator A;

$\mu$ = média geral dos dados;

$\alpha_i$ = efeito do nível i do fator;

$\varepsilon_{ij} $ = componente aleatória do erro.

A partir dos dados, utilizaremos a seguinte notação:

$ y_{i.}=\displaystyle \sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij}$: soma das observações do nível i do fator A,

$\overline{y}_{i.}=\cfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij}}{\displaystyle n_{i}}$: média das observações do nível i do fator A,

$y_{..}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n_{i}}y_{ij}$: soma de todas as observações, e

$\overline{y}_{..}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij}}{\displaystyle N}$: média geral das observações,

sendo $N=\displaystyle\sum^{k}_{i=1}n_{i},$ total de observações.

Além disso, faremos a hipótese de que o erro experimental são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição normal com média zero e variância $\sigma^2$, isto é, assumimos que $\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$. Desta forma, concluímos que $y_{ij}$ também tem distribuição normal com média $\mu + \alpha_i$ e variância $\sigma^2$, para todo $j=1, \cdots , n_i$ e $i=1, \cdots , k$.

Na prática estamos interessado em avaliar o impacto do fator na resposta. Para isto, queremos avaliar o efeito que os diferentes níveis do fator provoca na variável resposta. Se denotarmos por $\mu_i = \mu + \alpha_i$, queremos testar as hipóteses:

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{H}_{0}:\mu_{1}=\ldots=\mu_{k} \\\mbox{H}_{1}:\mu_{i}\neq \mu_{j}~(i\neq j) \\ \end{array}\right. $$ $\Leftrightarrow$

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{H}_{0}:\mu_{1}=\ldots=\mu_{k} \\\mbox{H}_{1}:\mbox{pelo menos um é diferente.} \\ \end{array}\right. $$

No modelo de efeito fixo, temos:

 

$\displaystyle\mu=\cfrac{\displaystyle \sum^n_{i=1} n_{i} \mu_{i} }{\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i}}=\frac{\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i} (\mu+\alpha_{i})}{\displaystyle\sum^n_{i=1} n_{i}}=\mu + \frac{\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i} \alpha_{i}}{\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i}},$

esta definição implica que:

$\displaystyle\sum^n_{i=1}n_{i} \alpha_{i}=0.$

Assim, podemos escrever as hipóteses, como:

$$\left\{\begin{array}{l} H_{0}:\alpha_{1}=...=\alpha_{k}=0 \\H_{1}:\alpha_{i}\neq 0~(\text{para algum} ~i=1,\cdots ,k) \\\end{array}\right. $$

 

 

ANOVA

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