1.2 - Decomposição da Soma

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Vamos particionar a soma de quadrados total das $ 2(n_1+n_2) $ observações em componentes do efeito carry-over (efeitos residuais), do efeito do período, do efeito da droga e do erro. Para isso, temos inicialmente que 

$$\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}(y_{ijk}-\bar{y}_{...})^2=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}(y_{ijk}-\bar{y}_{i.k})^2 +\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}(\bar{y}_{i.k}-\bar{y}_{...})^2$$


$$SQ_T=SQ_{\mbox{dentro}}+SQ_{\mbox{entre}}$$

em que

  • $ SQ_{\mbox{dentro}} $ é a soma de quadrados dentro de cada indivíduo;
  • $ SQ_{\mbox{entre}} $ é a soma de quadrados entre os indivíduos;

com 

$$\bar{y}_{i.k}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}y_{ijk}\quad\quad\bar{y}_{...}=\frac{1}{2(n_1+n_2)}\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y_{ijk}$$

Além disso, $ SQ_{\mbox{entre}} $ pode ser particionada em duas componentes, sendo uma para o efeito carry-over e outra para os erros entre os indivíduos. A partir disso, 

$$SQ_{\mbox{entre}}=SQ_{\mbox{carry-over}}+SQ_{\mbox{inter}}$$

que é mais conveniente ser escrito da seguinte forma: 

$$SQ_{\mbox{carry-over}}=\frac{2n_1n_2}{(n_1+n_2)}\left(\bar{y}_{1..}-\bar{y}_{2..}\right)^2$$


$$SQ_{\mbox{inter}}=\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\frac{y^2_{i.k}}{2}-\sum_{i=1}^{2}\frac{y^2_{i..}}{2n_i}$$

Analogamente, a soma de quadrados dentro de cada indivíduo pode ser decomposta em três componentes, sendo uma para o efeito da droga, outra para o efeito do período e a última para o erro dentro de cada indivíduo. A partir disso, 

$$SQ_{\mbox{dentro}}=SQ_{\mbox{droga}}+SQ_{\mbox{período}}+SQ_{\mbox{intra}}$$

que em fórmula computacional pode ser escrito como: 

$$SQ_{\mbox{droga}}=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}\left(\bar{y}_{11.}-\bar{y}_{12.}-\bar{y}_{21.}+\bar{y}_{22.}\right)^2$$


$$SQ_{\mbox{período}}=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}\left(\bar{y}_{11.}-\bar{y}_{12.}+\bar{y}_{21.}-\bar{y}_{22.}\right)^2$$


$$SQ_{\mbox{intra}}=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y^2_{ijk}-\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\frac{y^2_{i.k}}{2}-\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{y^2_{ij.}}{n_i}+\sum_{i=1}^{2}\frac{y^2_{i..}}{2~n_i}$$


$$SQ_{\mbox{dentre}}=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y^2_{ijk}-\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\frac{y^2_{i.k}}{2}$$

Em que: 

$$\bar{y}_{ij.}=\frac{1}{n_i}\sum_{k=1}^{n_i}y_{ijk}\quad\quad y_{i.k}=\sum_{j=1}^{2}y_{ijk}\quad\quad y_{ij.}=\sum_{k=1}^{n_i}y_{ijk}\quad\quad y_{...}=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y_{ijk}$$

O número de graus de liberdade em uma soma de quadrados é a quantidade de elementos independentes nessa soma. Por exemplo, na soma de quadrados $ \sum_{k=1}^{n_1}(\bar{y}_{1.k}-\bar{y}_{...})^2 $, nem todos os elementos $ (\bar{y}_{1.1}-\bar{y}_{...}), \cdots, (\bar{y}_{1.n_1}-\bar{y}_{...}) $ são independentes desde que $ \sum_{k=1}^{n_1}(\bar{y}_{1.k}-\bar{y}_{...})=0 $, de fato, somente $ n_1-1 $ deles são independentes. Nesse sentido, os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:

Efeito Grau de Liberdade
carry-over $ 1 $
inter $ n_1+n_2-2 $
droga $ 1 $
período $ 1 $
intra  $ n_1+n_2-2 $
Total

$ 2(n_1+n_2)-1 $

Cada soma de quadrados dividido por seu grau de liberdade determina o quadrado médio (QM), ou seja 

$$QM_{\mbox{carry-over}}=\frac{SQ_{\mbox{carry-over}}}{1}$$


$$QM_{\mbox{inter}}=\frac{SQ_{\mbox{inter}}}{n_1+n_2-2}$$


$$QM_{\mbox{droga}}=\frac{SQ_{\mbox{droga}}}{1}$$


$$QM_{\mbox{período}}=\frac{SQ_{\mbox{período}}}{1}$$


$$QM_{\mbox{intra}}=\frac{SQ_{\mbox{intra}}}{n_1+n_2-2}$$

Agora vamos calcular os valores esperados dos quadrados médios para cada um dos fatores.

Para isso, vamos denotar: 

$$\tau_d{}_{[i,j]}=\quad F_R\quad\mbox {se}\quad i=j$$


$$\tau_d{}_{[i,j]}=\quad F_T\quad\mbox {se}\quad i\neq j$$


$$\lambda_d{}_{[i,j-1]}=\quad R_R\quad\mbox{se}\quad i=1\quad\mbox{e}\quad j=2$$


$$\lambda_d{}_{[i,j-1]}=\quad R_T\quad\mbox{se}\quad i=2\quad\mbox{e}\quad j=2$$

Primeiramente calculamos o valor esperado do $ QM_{\mbox{inter}} $, que é dado por: 

$$E[QM_{\mbox{inter}}]=\frac{1}{n_1+n_2-2}E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y_{i.k}^{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\frac{1}{n_i}y_{i..}^{2}\right]$$


$$=\frac{1}{n_1+n_2-2}\left(\underbrace{E\left[\frac{1} {2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y_{i.k}^{2}\right]}_{(*)}-\underbrace{E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\frac{1}{n_i}y_{i..}^{2}\right]}_{(**)}\right)$$

Substituindo as informações do modelo em $ y_{i.k} $ e $ y_{i..} $, obtemos: 

$$(*)=E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(\sum_{j=1}^{2}\left(\mu+S_{ik}+\pi_j+\tau_d{}_{[i,j]}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]$$


$$=E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(2\mu+2S_{ik}+\sum_{j=1}^{2}\pi_j+\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}+\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\right)^2\right]$$


$$=E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(2^2\mu^2+2^2\mu S_{ik}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}+2^2\mu S_{ik}^2+2^2S_{ik}^2\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}^2+\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}\varepsilon_{ijk}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}\tau_d{}_{[i,j]}+\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}^2+\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}\varepsilon_{ijk}+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}2\mu+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}2S_{ik}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\tau_d{}_{[i,j]}+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}^2\right)\right]$$


$$=E\left[\left(2\mu^2(n_1+n_2)+4\mu \sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}+2\mu\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\varepsilon_{ijk}+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}^2+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\varepsilon_{ijk}^2\right)\right]$$


$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2E\left[\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}^2\right]+\frac{1}{2}E\left[\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\varepsilon_{ijk}^2\right]$$

Sabemos que $ E[x^2]=var(x)+E^2[x] $, sabemos também que $ E[S_{ik}]=0 $ e $ E[\varepsilon_{ijk}]=0 $, assim: 

$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2var\left(\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}\right)+\frac{1}{2}var\left(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\varepsilon_{ijk}\right)$$


$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2(n_1+n_2)\sigma_s^2+(n_1+n_2)\sigma^2$$

Analogamente, 

$$(**)=E\left[\sum_{i=1}^{2}\frac{1}{2n_i}\left(\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(\mu+S_{ik}+\pi_j+\tau_d{}_{[i,j]}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]$$


$$=2(n_1+n_2)\mu^2+4\sigma_s^2+2\sigma^2$$

Substituindo (*) e (**), obtemos: 

$$=\frac{1}{n_1+n_2-2}\left(2\mu^2(n_1+n_2)+2(n_1+n_2)\sigma_s^2+(n_1+n_2)\sigma^2-2(n_1+n_2)\mu^2-\sigma_s^2-\sigma^2\right)$$


$$=\frac{1}{n_1+n_2-2}\left(2(n_1+n_2-2)\sigma_s^2+(n_1+n_2-2)\sigma^2\right)$$


$$=2\sigma_s^2+\sigma^2$$

Agora calculamos o valor esperado do $ QM_{\mbox{droga} $

$$E[QM_{\mbox{droga}}]=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}E[(\overline{y}_{11.}-\overline{y}_{12.}-\overline{y}_{21.}+\overline{y}_{22.})^2]$$


$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}E\left[\left(\underbrace{\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}y_{11k}}_{(*)}\underbrace{-\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}y_{12k}}_{(**)}\underbrace{-\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}y_{21k}}_{(***)}\underbrace{+\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}y_{22k}}_{(****)}\right)^2\right]$$

Substituindo as informações do modelo em $ y_{11k} $, $ y_{12k} $$ y_{21k} $$ y_{22k} $, obtemos: 

$$(*)=\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\left(\mu + S_{1k}+\pi_1 + \tau_d{}_{[1,1]}+\lambda_d{}_{[1,1-1]}+\varepsilon_{11k}\right)$$


$$=\frac{1}{n_1}\left(n_1\mu\sum_{k=1}^{n_1}S_1k+n_1\pi_1+n_1\tau_d{}_{[1,1]}+n_1\lambda_d{}_{[1,1-1]}+\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{11k}\right)$$


$$=\mu+\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}S_1k+\pi_1+\tau_d{}_{[1,1]}+\lambda_d{}_{[1,1-1]}+\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{11k}$$

Analogamente, 

$$(**)=-\mu-\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}S_1k-\pi_2-\tau_d{}_{[1,2]}-\lambda_d{}_{[1,2-1]}-\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{12k}$$


$$(***)=-\mu-\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}S_2k-\pi_1-\tau_d{}_{[2,1]}-\lambda_d{}_{[2,1-1]}-\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}\varepsilon_{21k}$$


$$(****)=\mu+\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}S_2k+\pi_2+\tau_d{}_{[2,2]}+\lambda_d{}_{[2,2-1]}+\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}\varepsilon_{22k}$$

Substituindo (*), (**), (***) e (****) obtemos: 

$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}E\left[\left(\tau_d{}_{[1,1]}+\lambda_d{}_{[1,1-1]}+\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{11k}-\tau_d{}_{[1,2]}-\lambda_d{}_{[1,2-1]}-\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{12k}-\tau_d{}_{[2,1]}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.-\lambda_d{}_{[2,1-1]}-\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}\varepsilon_{21k}+\tau_d{}_{[2,2]}+\lambda_d{}_{[2,2-1]}+\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}\varepsilon_{22k}\right)^2\right]$$


$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}E\left[\left(2(F_R-F_T)+(R_T-R_R)+\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}(\varepsilon_{12k}-\varepsilon_{12k})+\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}(\varepsilon_{22k}-\varepsilon_{21k})\right)^2\right]$$


$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}\left(2^2\left((F_R-F_T)+\frac{(R_T-R_R)}{2}\right)^2+\frac{1}{n_1^2}\left(E\left[\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{12k}^2\right]+E\left[\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{12k}^2\right]\right)\right.$$


$$\quad\left.+\frac{1}{n_2^2}\left(E\left[\sum_{k=1}^{n_2}\varepsilon_{22k}^2\right]+E\left[\sum_{k=1}^{n_2}\varepsilon_{21k}^2\right]\right)\right)$$

Sabemos que $ E[x^2]=var(x)+E^2[x] $, sabemos também que $ E[S_{ik}]=0 $ e $ E[\varepsilon_{ijk}]=0 $, assim: 

$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}\left(2^2\left((F_R-F_T)+\frac{(R_T-R_R)}{2}\right)^2+\frac{1}{n_1^2}\left(var\left(\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{12k}\right)+var\left(\sum_{k=1}^{n_1}\varepsilon_{12k}\right)\right)\right.$$


$$\quad\left.+\frac{1}{n_2^2}\left(var\left(\sum_{k=1}^{n_2}\varepsilon_{22k}\right)+var\left(\sum_{k=1}^{n_2}\varepsilon_{21k}\right)\right)\right)$$


$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}\left(2^2\left((F_R-F_T)+\frac{(R_T-R_R)}{2}\right)^2+\frac{1}{n_1^2}\left(n_1\sigma^2+n_1\sigma^2\right)+\frac{1}{n_2^2}\left(n_2\sigma^2-n_2\sigma^2\right)\right)$$


$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}\left(2^2\left((F_R-F_T)+\frac{(R_T-R_R)}{2}\right)^2+2\sigma^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)\right)$$


$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}\left(2^2\left((F_R-F_T)+\frac{(R_T-R_R)}{2}\right)^2+2\sigma^2\left(\frac{n_1+n_2}{n_1n_2}\right)\right)$$


$$=\frac{2n_1n_2}{(n_1+n_2)}\left((F_R-F_T)+\frac{(R_T-R_R)}{2}\right)^2+\sigma^2$$

Para o carryover, calculamos o valor esperado do quadrado médio da seguinte forma: 

$$E[QM_{\mbox{carryover}}]=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}E\left[\left(\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{2..}\right)^2\right]$$


$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}E\left[\left(\underbrace{\frac{1}{2n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{2}y_{1jk}}_{(*)}-\underbrace{\frac{1}{2n_2}\sum_{k=1}^{n_2}\sum_{j=1}^{2}y_{2jk}}_{(**)}\right)^2\right]$$

Substituindo as informações do modelo em $ y_{1jk} $ e $ y_{2jk} $, obtemos: 

$$(*)=\frac{1}{2n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{2}\left(\mu + S_{1k}+\pi_j + \tau_d{}_{[1,j]}+\lambda_d{}_{[1,j-1]}+\varepsilon_{1jk}\right)$$


$$=\frac{1}{2n_1}\left(2n_1\mu+2\sum_{k=1}^{n_1}S_{1k}+n_1\sum_{j=1}^{2}\pi_j+n_1\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[1,j]}+n_1\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[1,j-1]}+\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{1jk}\right)$$


$$=\mu+\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}S_{1k}+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_j+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[1,j]}+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[1,j-1]}+\frac{1}{2n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{1jk}$$

Analogamente, temos: 

$$(**)=-\mu-\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}S_{2k}-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[2,j]}-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[2,j-1]}-\frac{1}{2n_2}\sum_{k=1}^{n_2}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{2jk}$$

Substituindo (*) e (**), obtemos: 

$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}E\left[\left(\mu+\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}S_{1k}+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_j+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[1,j]}+\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[1,j-1]}+\frac{1}{2n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{1jk}-\mu\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.-\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}S_{2k}-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[2,j]}-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[2,j-1]}-\frac{1}{2n_2}\sum_{k=1}^{n_2}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{2jk}\right)^2\right]$$


$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}E\left[\left((R_R-R_T)+\frac{1}{n_1}\sum_{k=1}^{n_1}S_{1k}-\frac{1}{n_2}\sum_{k=1}^{n_2}S_{2k}+\frac{1}{2n_1}\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{1jk}-\frac{1}{2n_2}\sum_{k=1}^{n_2}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{2jk}\right)^2\right]$$


$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}\left((R_R-R_T)^2+\frac{1}{n_1^2}E\left[\sum_{k=1}^{n_1}S_{1k}^2\right]+\frac{1}{n_2^2}E\left[\sum_{k=1}^{n_2}S_{2k}^2\right]+\frac{1}{2^2n_1^2}E\left[\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{1jk}^2\right]\right.$$


$$\quad\left.+\frac{1}{2^2n_2^2}E\left[\sum_{k=1}^{n_2}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{2jk}^2\right]\right)$$

Sabemos que $ E[x^2]=var(x)+E^2[x] $, sabemos também que $ E[S_{ik}]=0 $ e $ E[\varepsilon_{ijk}]=0 $, assim: 

$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}\left((R_R-R_T)^2+\frac{1}{n_1^2}var\left(\sum_{k=1}^{n_1}S_{1k}\right)+\frac{1}{n_2^2}var\left(\sum_{k=1}^{n_2}S_{2k}\right)+\frac{1}{2^2n_1^2}var\left(\sum_{k=1}^{n_1}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{1jk}\right)\right.$$


$$\quad\left.+\frac{1}{2^2n_2^2}var\left(\sum_{k=1}^{n_2}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{2jk}\right)\right)$$


$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}\left((R_R-R_T)^2+\frac{1}{n_1^2}\left(n_1^2\frac{\sigma_s^2}{n_1}\right)+\frac{1}{n_2^2}\left(n_2^2\frac{\sigma_s^2}{n_2}\right)+\frac{1}{2^2n_1^2}\left(2^2n_1^2\frac{\sigma_s^2}{2n_1}\right)+\frac{1}{2^2n_2^2}\left(2^2n_2^2\frac{\sigma_s^2}{2n_2}\right)\right)$$


$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}\left((R_R-R_T)^2+\sigma_s^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)+\sigma^2\left(\frac{1}{2n_1}+\frac{1}{2n_2}\right)\right)$$


$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}\left((R_R-R_T)^2+\sigma_s^2\left(\frac{n_1+n_2}{n_1n_2}\right)+\sigma^2\left(\frac{2(n_1+n_2)}{2^2n_1n_2}\right)\right)$$


$$=\frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}(R_R-R_T)^2+2\sigma_s^2+\sigma^2$$

Para $ QM_{\mbox{intra}} $, calculamos: 

$$E[QM_{\mbox{intra}}]=\frac{1}{n_1+n_2-2}E\left[\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y_{ijk}^{2}-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y_{i.k}^{2}-\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{1}{n_i}y_{ij.}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\frac{1}{n_i}y_{i..}^{2}\right]$$


$$=\frac{n_1n_2}{2(n_1+n_2)}\left[\underbrace{E\left[\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y_{ijk}^{2}\right]}_{(*)}\underbrace{-\frac{1}{2}E\left[\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}y_{i.k}^{2}\right]}_{(**)}\underbrace{-E\left[\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{1}{n_i}y_{ij.}^{2}\right]}_{(***)}\underbrace{+\frac{1}{2}E\left[\sum_{i=1}^{2}\frac{1}{n_i}y_{i..}^{2}\right]}_{(****)}\right]$$

Substituindo as informações do modelo em $ y_{ijk} $$ y_{i.k} $$ y_{ij.} $ $ y_{i..} $, obtemos: 

$$(*)=E\left[\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}(\mu+S_{ik}+\pi_j+\tau_d{}_{[i,j]}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\varepsilon_{ijk})^2\right]$$


$$=E\left[\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(\mu^2+\mu S_{ik}+\mu\pi_j+\mu\tau_d{}_{[i,j]}+\mu\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\mu\varepsilon_{ijk}+S_{ik}\mu+S_{ik}^2+S_{ik}\pi_j+S_{ik}\tau_d{}_{[i,j]}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+S_{ik}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+S_{ik}\varepsilon_{ijk}+\pi_j\mu+\pi_jS_{ik}+\pi_j^2+\pi_j\tau_d{}_{[i,j]}+\pi_j\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\pi_j\varepsilon_{ijk}+\tau_d{}_{[i,j]}\mu+\tau_d{}_{[i,j]}S_{ik}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\tau_d{}_{[i,j]}\pi_j+\tau_d{}_{[i,j]}^2+\tau_d{}_{[i,j]}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\tau_d{}_{[i,j]}\varepsilon_{ijk}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}\mu+\lambda_d{}_{[i,j-1]}S_{ik}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}\pi_j\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\lambda_d{}_{[i,j-1]}\tau_d{}_{[i,j]}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}^2+\lambda_d{}_{[i,j-1]}\varepsilon_{ijk}+\varepsilon_{ijk}\mu+\varepsilon_{ijk}S_{ik}+\varepsilon_{ijk}\pi_j+\varepsilon_{ijk}\tau_d{}_{[i,j]}+\varepsilon_{ijk}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\varepsilon_{ijk}^2\right)\right]$$


$$=E\left[\left(2\mu^2(n_1+n_2)+4\mu \sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}+2\mu\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\varepsilon_{ijk}+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}^2+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\varepsilon_{ijk}^2\right)\right]$$


$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}E\left[S_{ik}^2\right]+\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}E\left[\varepsilon_{ijk}^2\right]$$

Sabemos que $ E[x^2]=var(x)+E^2[x] $, sabemos também que $ E[S_{ik}]=0 $ e $ E[\varepsilon_{ijk}]=0 $, assim: 

$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}var\left(S_{ik}\right)+\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}var\left(\varepsilon_{ijk}\right)$$


$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2(n_1+n_2)\sigma_s^2+2(n_1+n_2)\sigma^2$$

Analogamente, 

$$(**)=E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(\sum_{j=1}^{2}\left(\mu+S_{ik}+\pi_j+\tau_d{}_{[i,j]}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]$$


$$=E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(2\mu+2S_{ik}+\sum_{j=1}^{2}\pi_j+\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}+\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\right)^2\right]$$


$$=E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(2^2\mu^2+2^2\mu S_{ik}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}+2^2\mu S_{ik}^2+2^2S_{ik}^2\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}^2+\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\sum_{j=1}^{2}\tau_d{}_{[i,j]}\varepsilon_{ijk}+2\mu\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+2S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}\tau_d{}_{[i,j]}+\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}^2+\sum_{j=1}^{2}\lambda_d{}_{[i,j-1]}\varepsilon_{ijk}+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}2\mu+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}2S_{ik}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\tau_d{}_{[i,j]}+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}^2\right)\right]$$


$$=E\left[\left(2\mu^2(n_1+n_2)+4\mu\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}+2\mu\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\varepsilon_{ijk}+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}^2+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}S_{ik}\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\right.\right.$$


$$\quad\left.\left.+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\varepsilon_{ijk}^2\right)\right]$$


$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}E\left[S_{ik}^2\right]+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}E\left[\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}^2\right]$$

Sabemos que $ E[x^2]=var(x)+E^2[x] $, sabemos também que $ E[S_{ik}]=0 $ e $ E[\varepsilon_{ijk}]=0 $, assim: 

$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}var\left(S_{ik}\right)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}var\left(\sum_{j=1}^{2}\varepsilon_{ijk}\right)$$


$$=2\mu^2(n_1+n_2)+2(n_1+n_2)\sigma_s^2+(n_1+n_2)\sigma^2$$


$$(***)=E\left[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\left(\sum_{k=1}^{n_i}\left(\mu+S_{ik}+\pi_j+\tau_d{}_{[i,j]}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]$$


$$=2(n_1+n_2)\mu^2+4\sigma_s^2+4\sigma^2$$


$$(****)=E\left[\sum_{i=1}^{2}\frac{1}{2n_i}\left(\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{n_i}\left(\mu+S_{ik}+\pi_j+\tau_d{}_{[i,j]}+\lambda_d{}_{[i,j-1]}+\varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]$$


$$=2(n_1+n_2)\mu^2+4\sigma_s^2+2\sigma^2$$

Substituindo (*), (**), (***) e (****), obtemos: 

$$=\frac{1}{n_1+n_2-2}\left(2\mu^2(n_1+n_2)+2(n_1+n_2)\sigma_s^2+2(n_1+n_2)\sigma^2-2(n_1+n_2)\mu^2-2(n_1+n_2)\sigma_s^2\right.$$


$$\quad\left.-(n_1+n_2)\sigma^2-2(n_1+n_2)\mu^2-4\sigma_s^2-4\sigma^2+2(n_1+n_2)\mu^2+4\sigma_s^2+2\sigma^2\right)$$


$$=\frac{1}{n_1+n_2-2}\left((n_1+n_2-2)\sigma^2\right)$$


$$=\sigma^2$$

Portanto o  valor esperado do QM para os fatores são: 

$$E\left(QM_{\mbox{carry-over}}\right)=\frac{2n_1n_2}{(n_1+n_2)}(R_R-R_T)^2+2\sigma^2_S+\sigma^2$$


$$E\left(QM_{\mbox{inter}}\right)=2\sigma^2_S+\sigma^2$$


$$E\left(QM_{\mbox{droga}}\right)=\frac{2n_1n_2}{(n_1+n_2)}\left[(F_R-F_T)-\frac{(R_R-R_T)}{2}\right]^2+\sigma^2$$


$$E\left(QM_{\mbox{período}}\right)=\frac{2n_1n_2}{(n_1+n_2)}(\pi_1-\pi_2)^2+\sigma^2$$


$$E\left(QM_{\mbox{intra}}\right)=\sigma^2$$

Exemplo 1.2.1: 

Considere um ensaio de bioequivalência com uma amostra de $ 24 $ indivíduos, a qual foi dividida em dois grupos de $ 12 $. Cada grupo recebeu dois tipos de tratamento em dois períodos diferentes.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Individuo Formulaçao  Sequencia Período Cmax
1 2 T/R 1 5,771229
2 1 R/T 1 5,918942
3 2 T/R 1 5,753858
4 2 T/R 1 5,507472
5 2 T/R 1 5,634815
6 1 R/T 1 5,618185
7 2 T/R 1 5,790462
8 1 R/T 1 5,676459
9 1 R/T 1 5,960286
10 1 R/T 1 5,672687
11 2 T/R 1 5,937668
12 1 R/T 1 5,762966
13 2 T/R 1 5,836
14 1 R/T 1 5,508047
15 1 R/T 1 5,810569
16 2 T/R 1 5,730187
17 1 R/T 1 5,799308
18 2 T/R 1 5,950617
19 1 R/T 1 5,697382
20 2 T/R 1 5,775529
21 1 R/T 1 5,883044
22 2 T/R 1 5,771488
23 2 T/R 1 5,778946
24 1 R/T 1 5,715441
1 1 T/R 2 5,77721
2 2 R/T 2 5,863353
3 1 T/R 2 5,743881
4 1 T/R 2 5,476221
5 1 T/R 2 5,608805
6 2 R/T 2 5,564367
7 1 T/R 2 6,000553
8 2 R/T 2 5,702769
9 2 R/T 2 6,034215
10 2 R/T 2 5,750364
11 1 T/R 2 5,898801
12 2 R/T 2 5,596301
13 1 T/R 2 5,954801
14 2 R/T 2 5,741354
15 2 R/T 2 5,94414
16 1 T/R 2 5,751842
17 2 R/T 2 5,99174
18 1 T/R 2 6,168313
19 2 R/T 2 5,835787
20 1 T/R 2 5,754111
21 2 R/T 2 5,885648
22 1 T/R 2 5,616506
23 1 T/R 2 5,821823
24 2 R/T 2 5,747691

O modelo estatístico para este planejamento é 

$$y_{ijk} = \mu + S_{ik} + \pi_j + \tau_d{}_{[i,j]} +\lambda_d{}_{[i,j-1]}~+~ \varepsilon_{ijk} ~~~~~\left\{\begin{array}{c}i = 1, \cdots, s~~\mbox{(Sequência)} \\j = 1, \cdots, p~~\mbox{(Período)} \\k = 1, \cdots,n_i~~\mbox{(Indivíduo)}\end{array} \right.$$

Em que:

$ y_{ijk} $ representa a resposta do k-ésimo indivíduo na i-ésima sequência no j-ésimo período;

$ \mu $ é uma média geral;

$ S_{ik} $ é o efeito aleatório do k-ésimo indivíduo na sequência $ i $;

$ \pi_j $ é o efeito do período $ j $, com $ \sum_{j=1}^{p}\pi_j=0 $;

$ \tau_d{}_{[i,j]} $ é o efeito direto do tratamento administrado no período $ j $ da sequência $ i $ (Efeito da Formulação), com $ \sum\tau_d{}_{[i,j]}=0 $;

$ \lambda_d{}_{[i,j-1]} $ é o efeito direto do tratamento administrado no período $ j-1 $ da sequência $ i $ (Efeito Carry-over), com $ \sum \tau_d{}_{[i,j-1]}=0 $;

$ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório para o k-ésimo indivíduo no j-ésimo período na i-ésima sequência.

Estamos interessados em testar se as duas formulações são equivalentes. Dessa forma, a partir do modelo proposto, definimos as hipóteses como:  

F_R \neq F_T \end{array}\right.~~~~\mbox{Para testar o efeito da formulação}$$

 

Considerando o modelo e as hipóteses apresentadas calculamos: 

$$SQ_{\mbox{carry-over}}=\frac{2*12*12}{(12+12)}\left(5,7784-5,7838\right)^2=0,00035$$

$$SQ_{\mbox{inter}}=1605,05-1604,206926=0,843074$$

$$SQ_{\mbox{droga}}=\frac{12*12}{2(12+12)}\left(5,7519-5,8048-5,7698+5,7977\right)^2=0,001875$$

$$SQ_{\mbox{período}}=\frac{12*12}{2(12+12)}\left(5,7519-5,8048+5,7698-5,7977\right)^2=0,01958592$$

$$SQ_{\mbox{intra}}=1605,20-1605,05-0,001875-0,01958592=0,12853908$$

 

$$QM_{\mbox{carry-over}}=\frac{0,00035}{1}=0,00035$$

$$QM_{\mbox{inter}}=\frac{0,843074}{12+12-2}=0,03832$$

$$QM_{\mbox{droga}}=\frac{0,001875}{1}=0,001875$$

$$QM_{\mbox{período}}=\frac{0,01958592}{1}=0,01958592$$

$$QM_{\mbox{intra}}=\frac{0,12853908}{12+12-2}=0,0058$$

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