1.3 - Análise Estatística

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A seguir vamos desenvolver um teste para avaliar a hipótese de diferenças ou não entre as médias populacionais dos níveis, isto é,

Objetivo Hipótese
efeito do fator A

\alpha_{i}\neq0~(\text{para algum} ~i=1, \cdots,k)\\\end{array}\right. $

Como os erros $ \varepsilon_{ij} $ tem distribuição Normal com média $ 0 $ e variância $ \sigma^{2} $ e são independentes, as observações $ y_{ij} $ tem distribuição Normal com média $ (\mu + \alpha_{i}) $ e variância $ \sigma^{2} $ e também são independentes. Desde que $ y_{ij} $ tem distribuição Normal e são independentes, obtemos que

$$\frac{SQT}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}\left[\frac{y_{ij}-\overline{y}_{..}}{\sigma}\right]^2 \sim \chi^2_{N-1}$$

tem distribuição Qui-quadrado com $ (N-1) $ graus de liberdade. Da mesma forma,

$$\frac{SQE}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-1)s_i^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{N-k}$$

pois,

$$\frac{(n_i-1)s^2_i}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n_i-1}$$

e

$$\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-1)s^2_i}{\sigma^2} \sim \chi^2_{\sum\limits_{i=1}^k(n_i-1)}$$

Entretanto, as três somas de quadrado não necessariamente são independentes, pois

$$SQT=SQE+SQA$$

Para estabelecer a independência entre as SQE e a SQA, vamos utilizar a seguinte versão do teorema de Cochran.

Teorema de Cochran:

Se tivermos

$$Q = Q_1 + Q_2 + ... + Q_q$$

no qual $ ~Q_i~,~i = 1, 2,...,q~(q \leq p) $ são somas de quadrados, cada um com pi graus de liberdade, tal que:

$$p=\sum^{q}_{i=1}p_i$$

obtemos que $ Q_i\sim \chi^{2}_{(p_i)} $ e são independentes para qualquer $ i = 1, 2,..., q $.

Teste da ANOVA - Um Fator

Como $ \frac{\mbox{SQA}}{\sigma^{2}} $ e $ \frac{\mbox{SQE}}{\sigma^{2}} $ têm distribuição Qui-Quadrado, independentes, obtemos que

$$F_0 =\frac{\displaystyle\frac{SQA}{(k-1)}}{\displaystyle\frac{SQE}{(N-k)}}=\frac{QMA}{QME}\sim F_{(k-1; N-k)}$$

Se $ F_0\textgreater F(1-\alpha,k-1, N-k) $, rejeitamos $ H_0 $ e concluímos que existe diferença significativa entre as médias dos níveis do fator (tratamentos), no qual $ F(1-\alpha, k-1, N-k) $ corresponde ao quantil da distribuição F de Snedecor com nível de confiança de $ 1-\alpha, $

 

Figura 1.3.1: Quantil da distribuição F-Snedecor

 

Podemos ainda calcular o P-valor como, $ P[~F_{(k-1;N-k)}\textgreater F_0~\mid~H_0] $

A ANOVA pode ser representada na tabela a seguir:

FV Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios $ F_0 $
Fator $ SQA $ $ k-1 $ $ QMA=\cfrac{SQA}{k-1} $ $ F_0=\cfrac{QMA}{QME} $
Erro $ SQE $ $ N-k $ $ QME=\cfrac{SQE}{N-k} $
Total $ SQT $ $ N-1 $  

Tabela: ANOVA - Um Fator

Considere os dados do Exemplo 1.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para testarmos as seguintes hipóteses:

\mu_{l} \neq \mu_{m},~\mbox{para algum}~~l \neq m.\\\end{array}\right.$$

as somas de quadrados são dadas por:

$$SQT~=\sum^n_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}y_{ij}^{2}-\frac{y^{2}_{..}}{N}=636,96$$

$$SQA=\sum^n_{i=1}\cfrac{1}{n_i}y_i^{2} -\frac{y^{2}_{..}}{N}= 475,76$$

Com isso, temos que

$$SQE=SQT-SQA= 161,20$$

A tabela 1.2.1 abaixo representa a ANOVA para o fator resistência da fibra de algodão.

FV Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios $ F_0 $
Fator $ 475,76 $ $ 5-1=4 $ $ \cfrac{475,76}{4}=118,94 $ $ F_0=\cfrac{QMA}{QME}=14,757 $
Erro $ 161,20 $ $ 25-5=20 $ $ \cfrac{161,20}{20}=8,06 $
Total $ 636,96 $ $ 25-1=24 $  

Tabela 1.2.1:  ANOVA para o fator resistência.

O valor aproximado do P-valor é: $ P[~F_{(4,20)}\textgreater F_0~\mid~H_0~]=0,000 $

Para $ \alpha = 0,05 $, obtemos que $ F[0,05, 4, 20] = 2,87 $. Portanto, com 95% de confiança, rejeitamos $ \mbox{H}_0 $, ou seja, pelo menos um $ \alpha_i $ é diferente de zero, para $ i=1,\ldots,n $.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

ANOVA

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