1.3 - Análise Estatística

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A seguir vamos desenvolver um teste para avaliar a hipótese de diferenças ou não entre as médias populacionais dos níveis, isto é,

Objetivo Hipótese
efeito do fator A

$\left\{\begin{array}{ll}\text{H}_{0}:\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0\\\text{H}_{1}:\alpha_{i}\neq0~(\text{para algum} ~i=1, \cdots,k)\\\end{array}\right.$

Como os erros $\varepsilon_{ij}$ tem distribuição Normal com média $0$ e variância $\sigma^{2}$ e são independentes, as observações $y_{ij}$ tem distribuição Normal com média $(\mu + \alpha_{i})$ e variância $\sigma^{2}$ e também são independentes. Desde que $y_{ij}$ tem distribuição Normal e são independentes, obtemos que

$$\frac{SQT}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}\left[\frac{y_{ij}-\overline{y}_{..}}{\sigma}\right]^2 \sim \chi^2_{N-1}$$

tem distribuição Qui-quadrado com $(N-1)$ graus de liberdade. Da mesma forma,

$$\frac{SQE}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-1)s_i^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{N-k}$$

pois,

$$\frac{(n_i-1)s^2_i}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n_i-1}$$

e

$$\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-1)s^2_i}{\sigma^2} \sim \chi^2_{\sum\limits_{i=1}^k(n_i-1)}$$

Entretanto, as três somas de quadrado não necessariamente são independentes, pois

$$SQT=SQE+SQA$$

Para estabelecer a independência entre as SQE e a SQA, vamos utilizar a seguinte versão do teorema de Cochran.

Teorema de Cochran:

Se tivermos

$$Q = Q_1 + Q_2 + ... + Q_q$$

no qual $~Q_i~,~i = 1, 2,...,q~(q \leq p)$ são somas de quadrados, cada um com pi graus de liberdade, tal que:

$$p=\sum^{q}_{i=1}p_i$$

obtemos que $Q_i\sim \chi^{2}_{(p_i)}$ e são independentes para qualquer $i = 1, 2,..., q$.

Teste da ANOVA - Um Fator

Como $\frac{\mbox{SQA}}{\sigma^{2}}$ e $\frac{\mbox{SQE}}{\sigma^{2}}$ têm distribuição Qui-Quadrado, independentes, obtemos que

$$F_0 =\frac{\displaystyle\frac{SQA}{(k-1)}}{\displaystyle\frac{SQE}{(N-k)}}=\frac{QMA}{QME}\sim F_{(k-1; N-k)}$$

Se $F_0\textgreater F(1-\alpha,k-1, N-k)$, rejeitamos $H_0$ e concluímos que existe diferença significativa entre as médias dos níveis do fator (tratamentos), no qual $F(1-\alpha, k-1, N-k)$ corresponde ao quantil da distribuição F de Snedecor com nível de confiança de $1-\alpha,$

 

Figura 1.3.1: Quantil da distribuição F-Snedecor

 

Podemos ainda calcular o P-valor como, $P[~F_{(k-1;N-k)}\textgreater F_0~\mid~H_0]$

A ANOVA pode ser representada na tabela a seguir:

FV Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios $F_0$
Fator $SQA$ $k-1$ $QMA=\cfrac{SQA}{k-1}$ $F_0=\cfrac{QMA}{QME}$
Erro $SQE$ $N-k$ $QME=\cfrac{SQE}{N-k}$
Total $SQT$ $N-1$  

Tabela: ANOVA - Um Fator

Considere os dados do Exemplo 1.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para testarmos as seguintes hipóteses:

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{H}_0 :\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = \mu_5 \\\mbox{H}_A : \mu_{l} \neq \mu_{m},~\mbox{para algum}~~l \neq m.\\\end{array}\right.$$

as somas de quadrados são dadas por:

$$SQT~=\sum^n_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}y_{ij}^{2}-\frac{y^{2}_{..}}{N}=636,96$$

$$SQA=\sum^n_{i=1}\cfrac{1}{n_i}y_i^{2} -\frac{y^{2}_{..}}{N}= 475,76$$

Com isso, temos que

$$SQE=SQT-SQA= 161,20$$

A tabela 1.2.1 abaixo representa a ANOVA para o fator resistência da fibra de algodão.

FV Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios $F_0$
Fator $475,76$ $5-1=4$ $\cfrac{475,76}{4}=118,94$ $F_0=\cfrac{QMA}{QME}=14,757$
Erro $161,20$ $25-5=20$ $\cfrac{161,20}{20}=8,06$
Total $636,96$ $25-1=24$  

Tabela 1.2.1:  ANOVA para o fator resistência.

O valor aproximado do P-valor é: $P[~F_{(4,20)}\textgreater F_0~\mid~H_0~]=0,000$

Para $\alpha = 0,05$, obtemos que $F[0,05, 4, 20] = 2,87$. Portanto, com 95% de confiança, rejeitamos $\mbox{H}_0$, ou seja, pelo menos um $\alpha_i$ é diferente de zero, para $i=1,\ldots,n$.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

ANOVA

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