1.3 - Estimação dos parâmetros do modelo

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O interesse dos pesquisadores em estudos cross-over é saber o quanto as formulações são semelhantes, diferentes ou equivalentes. A análise estatística proposta por Westlake (1972 e 1976), Metzler (1974) é a utilização de intervalos de confiança para a diferença e razão entre as médias das formulações. Nesta seção, trataremos sobre intervalos de confiança para a média e para a diferença de médias.

Intervalo de Confiança para a Média

Seja o modelo (desprezando o efeito carry-over): 

$$ Y_{ijk}=\mu+S_{ik}+\pi_j+\tau_d{}_{[i,j]}+\varepsilon_{ijk}\left\{\begin{array}{cc}i=1,\cdots,s\quad\mbox{(Sequência)}\\j=1,\cdots,p\quad\mbox{(Período)}\\k=1,\cdots,n_i\quad\mbox{(Indivíduo)}\end{array}\right.$$

Considerando um planejamento cross-over, sem réplicas, para dois medicamentos (T = teste; R = referência), temos que cada indivíduo é aleatoriamente alocado para a sequência RT ou TR em dois períodos de dosagem. Isto é, indivíduos alocados na sequência RT (TR) recebem formulação R (T) no primeiro período de dosagem e formulação T (R) no segundo período de dosagem.

Seja:

  • $ \bar{Y}_R=\frac{1}{2}\left(\bar{Y}_{11.}+\bar{Y}_{22.}\right) $ a média referente ao tratamento de referência e 
  • $ \bar{Y}_T=\frac{1}{2}\left(\bar{Y}_{21.}+\bar{Y}_{12.}\right) $ a média referente ao tratamento teste. 

Então:  

$$E(\bar{Y}_R)=\frac{1}{2}\left(2\mu+\pi_1+\pi_2+2F_R\right)$$


$$var(\bar{Y}_R)=\frac{(\sigma^2_S+\sigma^2)}{4}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)$$


$$E(\bar{Y}_T)=\frac{1}{2}\left(2\mu+\pi_1+\pi_2+2F_T\right)$$


$$var(\bar{Y}_T)=\frac{(\sigma^2_S+\sigma^2)}{4}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)$$

Considerando $ \bar{Y}_l $ para $ l=R $ ou $ T $ a média de interesse, então, sabemos que $ \quad\frac{\bar{Y}_l-E(\bar{Y}_l)}{var(\bar{Y}_l)}\sim N(0,1). $

Sendo $ E(\bar{Y}_l)=\mu_l $ e $ (\sigma^2_S+\sigma^2) $ estimado por $ QM_{\mbox{intra}} $ ,então:  

$$T=\frac{\bar{Y}_l-\mu_l}{\sqrt{\frac{QM_{\mbox{intra}}}{4}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\sim t_{n_1+n_2-2}.$$

Intervalo de Confiança para diferença das Médias

Sabemos que  

$$\bar{Y}_T\sim N\left(2\mu+\pi_1+\pi_2+2F_T;\frac{1}{4}(\sigma^2_S+\sigma^2)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)\right)$$


$$\bar{Y}_R\sim N\left(2\mu+\pi_1+\pi_2+2F_R;\frac{1}{4}(\sigma^2_S+\sigma^2)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)\right)$$

Nesse sentido, 

$$\bar{Y}_T-\bar{Y}_R\sim N\left(F_T-F_R;\frac{1}{2}(\sigma^2_S+\sigma^2)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)\right)$$

Temos então que, 

$$Z=\frac{\left(\bar{Y}_T-\bar{Y}_R\right)-\left(F_T-F_R\right)}{\sqrt{\frac{(\sigma^2_S+\sigma^2)}{2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\sim~N(0,1).$$

 Vamos considerar que $ (\sigma^2_S+\sigma^2) $ pode ser estimado por $ QM_{\mbox{intra}} $. Com isso,


$$U=\frac{(n_1+n_2-2)QM_{\mbox{intra}}}{(\sigma^2_S+\sigma^2)}\sim\chi^2(n_1+n_2-2)$$

Sendo Z e U independentes, então 

$$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{U}{n_1+n_2-2}}}=\frac{\left(\bar{Y}_T-\bar{Y}_R\right)-\left(F_T-F_R\right)}{\sqrt{\frac{QM_{\mbox{intra}}}{2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\sim t(n_1+n_2-2)$$

A partir disso, fixando um valor $ \alpha $ tal que, $ 0 \ \textless \ 1-\alpha \ \textless \ 1 $, podemos encontrar um valor $ t_{\frac{\alpha}{2}} $ tal que $ P\left(-t_{\frac{\alpha}{2}} \ \textless \ T \ \textless \ t_{\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\alpha $.

Assim, o intervalo de confiança para $ (F_T-F_R) $, com nível de significância $ \alpha $, é dado por:

$ \left[\left(\bar{Y}_T-\bar{Y}_R\right)-t_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{QM_{\mbox{intra}}}{2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} \ \textless \ \left(F_T-F_R\right) \ \textless \ (\bar{Y}_T-\bar{Y}_R)+t_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{QM_{\mbox{intra}}}{2}\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}\right]\label{ICdiff}. $

Exemplo 1.3.1: 

Voltando ao Exemplo 1.2.1.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Calculamos o intervalo de confiança para $ \mu_l $.

Para $ l = R, T $ temos que:

  •  Para $ \mu_R $.

 Sabemos que $ \bar{y}_R=5,7748 $,$ n_1=12 $,$ n_2=12 $,$ QM_{\mbox{intra}}=0,005842685 $ e para $ \alpha=10\% $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=1,7171 $. Então, o intervalo é

$$\left(5,7480;5,8016\right)$$
  • Para $ \mu_T $.

 Sabemos que $ \bar{y}_T=5,7873 $,$ n_1=12 $,$ n_2=12 $,$ QM_{\mbox{intra}}=0,005842685 $ e para $ \alpha=10\% $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=1,7171 $. Então, o intervalo é

$$\left(5,7605;5,8141\right)$$

Agora calculamos o intervalo de confiança para $ (F_T-F_R) $

Sabemos que $ \bar{y}_T=5,7873 $,$ \bar{y}_R=5,7748 $,$ n_1=12 $,$ n_2=12 $,$ QM_{\mbox{intra}}=0,005842685 $ e para $ \alpha=10\% $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=1,7171 $. Então, o intervalo é

$$\left(-0,0254;0,0504\right)$$

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