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O método de análise de variância (ANOVA) para estimar componentes de variância $\sigma^2_{\varepsilon}$ e $\sigma^2_{\alpha}$ consiste em igualar os valores observados dos quadrados médios QME e QMA aos seus valores esperados, e resolver as equações resultantes para $\sigma^2_{\varepsilon}$ e $\sigma^2_{\alpha}.$ Os estimadores para dados balanceados obtidos são
$$\hat{\sigma}^2_{\varepsilon}=QME~~~~~\mbox{e}~~~~\hat{\sigma}^2_{\alpha}=\frac{QMA-QME}{n_0}~~~~~(1.3.1)$$
Agora, para o caso de dados desbalanceados usaremos as estatística proposta por Thomas e Hultquist, com isso obtemos os seguintes estimadores
$$\hat{\sigma}^2_{\alpha *}=\frac{QMA_{*}-QME}{n_H}~~~~(1.3.2)$$
O problema da ponderação na estimativa de componentes de variância é discutida por Robertson (1962). Verificamos que a ponderação correta é dependente do valor da F da análise de variância.
Para o estimador de $\hat{\sigma}^2_{\alpha}$ podemos obter uma estimativa negativa. Mathew et al. (1992) consideram estimadores não negativos à partir de modelos desbalanceados com duas componentes de variância, dos quais o modelo (equação 1.1) é um caso especial. Chatterjee e Das (1983) desenvolveram melhores estimadores assintoticamente normais para os componentes de variância. Kelly e Mathew (1993) discutiram um estimador quadrático invariante de $\sigma^2_{\alpha}$ que tem uma probabilidade de $QME$ ser menor que para produzir uma estimativa negativa de $\hat{\sigma}^2_{\alpha},$ ou seja, $P[\hat{\sigma}^2_{\alpha}\textless 0]=P[QME\textless QMA].$
Além disso, QMA pode ser expressa como uma combinação linear central variáveis Qui-Quadrado independentes. Assim, a distribuição de QMA pode ser aproximada para uma variável Qui-Quadrado central, usando a aproximação Satterthwaite.
Agora, a probabilidade de uma estimativa negativa pode ser avaliada em termos das distribuições F centrais. Singh (1989a) desenvolveu uma expressão para determinar um valor exato para a probabilidade $P (\sigma^2_{\alpha}\textless 0),$ utilizando uma soma infinita ponderada das funções beta incompletas.
Um valor exato da probabilidade de uma estimativa negativa também pode ser avaliada à partir de Davies (1980), que dá um algoritmo para calcular a distribuição de uma combinação linear de variáveis Qui-Quadrado independentes (possivelmente não-centrais) com graus de liberdade arbitrários.
Para a construção dos intervalos de confiança, usamos algumas constantes para as combinações lineares citadas anteriormente. Por exemplo, construímos uma tabela com nível de significância 0,05, k=10 e N=17.
Constante | Definição | Valor |
$G_a$ | $1-F_{\frac{\alpha}{2}:\infty;k-1}$ | 0,5269 |
$G_e$ | $1-F_{\frac{\alpha}{2}:\infty;N-k}$ | 0,5628 |
$H_a$ | $F_{1-\frac{\alpha}{2}:\infty;k-1}-1$ | 2,333 |
$H_e$ | $F_{1-\frac{\alpha}{2}:\infty;N-k}-1$ | 3,142 |
$F_a$ | $F_{1-\frac{\alpha}{2}:k-1;N-k}$ | 4,823 |
$F_e$ | $F_{\frac{\alpha}{2}:k-1;N-k}$ | 0,2383 |
$G_{ae}$ | $\frac{(F1-1)^2-G^2_1F^2_1-H^2_2}{F_1}$ | -0,356 |
$H_{ae}$ | $\frac{(1-F2)^2-H^2_1F^2_2-G^2_2}{F_2}$ | -0,191 |
$H_{ae}$ | $\frac{(1-F2)^2-H^2_1 F^2_2-G^2_2}{F_2}$ | -0,191 |
Tabela 1.3.1: Constantes usadas nos Intervalos de Confiança da equação 1.1.
O intervalo de confiança para $\mu$ é obtido substituindo $QMA$ por $QMA_{*},~n_H$ por $n_i~\mbox{e}~\overline{y}^*_{..}$ por $\overline{y}_{..}$ Assim, o intervalo de confiança $100(1-\alpha)\%$ aproximada para $\mu$ é
$$LI=\overline{y}^*_{..}-\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}$$
e
$$LS=\overline{y}^*_{..}+\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}~~~~~(1.3.4)$$
El-Bassiouni e Abdelhafez fez a comparação da equação 1.3.4 a nove outros intervalos para $\mu.$ (A forma da equação 1.3.4 considerada por El-Bassiouni e Abdelhafez usou graus de liberdade estimados com base na aproximação Satterthwaite. No entanto, eles encontraram esta equação e foi adequadamente aproximada por p-1). A equação 1.3.4 manteve o nível de confiança declarado.
Um intervalo de confiança $100(1-\alpha)\%$ aproximado para $\sigma^2_{\alpha}$ baseados nas modificações da Soma de Quadrados Não Balanceadas $SQNB$ da equação 1.1 é
$$LI=\hat{\sigma}^2_{\alpha}-\frac{\sqrt{V_{\alpha I}}}{n_H}$$
e
$$LS=\hat{\sigma}^2_{\alpha}+\frac{\sqrt{V_{\alpha S}}}{n_H}~~~~~(1.3.5)$$
em que
$$V_{\alpha I}=G^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+H^2_{e} QME^2+G_{ae} QMA_{\alpha *}QME,$$
$$V_{\alpha S}=H^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+G^2_e QME^2+H_{ae} QMA_{\alpha *}QME$$
sendo $G_{a}, G_e, H_a, H_e, G_{ae}$ e $H_{ae}$ são definidos na tabela 1.3.1 e $\hat{\sigma}^2_{\alpha *}$ é definido na equação 1.3.2.
O $100(1-\alpha)\%$ Intervalo de Confiança exato para $\sigma^2_{\varepsilon}$ é
$$LI=(1-G_e)QME$$
e
$$LS=(1+H_e)QME~~~~(1.3.6)$$
em que $G_e$ e $H_e$ são definidas na Tabela 1.3.1 e $\frac{SQE}{\sigma^2_{\varepsilon}}$ tem uma distribuição Qui-Quadrado em modelos com dados balanceados e desbalanceados.
Voltando ao exemplo 1.1, calculamos agora as estimativas dos parâmetros da seguinte forma
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
À partir dos resultados obtidos no exemplo 1.2.1 temos que
$$QME=1,33~~e~~~QMA=46,07$$
Primeiramente, calculamos o intervalo de confiança para $\mu.=\overline{y}_{..}=5,32$
$$LI=\overline{y}^*_{..}-\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}=5,32-\sqrt{\frac{46,07\times 5,92}{20 \times 4}}=3,48~~~~\mbox{e}$$
$$LS=\overline{y}^*_{..}+\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}=5,32+\sqrt{\frac{46,07\times 5,92}{20\times 4}}=7,17$$
O intervalo de confiança para $\sigma^2_{\alpha}$ é dado por
$$\hat{\sigma}^2_{\alpha}=\sqrt{\frac{QMA-QME}{r}}=\sqrt{\frac{46,07-1,33}{20}}=1,496$$
$$LI=\sqrt{\hat{\sigma}^2_{\alpha}-\frac{\sqrt{V_{\alpha I}}}{n_H}}=\sqrt{2,237-\frac{\sqrt{980,708}}{20}}=0,819~~~~\mbox{e}$$
$$LS=\sqrt{\hat{\sigma}^2_{\alpha}+\frac{\sqrt{V_{\alpha S}}}{n_H}}=\sqrt{2,237+\frac{\sqrt{353261,7}}{20}}=5,653$$
em que
$$V_{\alpha I}=G^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+H^2_{e} QME^2+G_{ae} QMA_{\alpha *}QME=$$
$$=0,679^2~46,07^2+0,413^2~1,33^2+(0,0263)~46,07~1,33=980,708$$
$$V_{\alpha S}=H^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+G^2_e QME^2+H_{ae} QMA_{\alpha *}QME=$$
$$=12,902^2~46,07^2+0,255^2~1,33^2+(-0,776)~46,07~1,33=353261,7$$
O intervalo de confiança para $\sigma^2_{\varepsilon}$ é dada por
$$\hat{\sigma}_\varepsilon=\sqrt{QME}=\sqrt{QME}}=\sqrt{1,33}=1,15$$
$$LI=\sqrt{(1-G_e)QME}=\sqrt{(1-0,255)~1,33}=0,997$$
e
$$LS=\sqrt{(1+H_e)QME}=\sqrt{(1+0,413)~1,33}=1,373$$
A seguir apresentamos um resumo dos resultados
Fator | Desvio padrão | Limite Inferior | Limite Superior |
Erro | 1,155 | 0,997 | 1,373 |
Escola | 1,496 | 0,819 | 5,653 |
Total | 1,889 |
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Considere o estudo realizado para analisar a eficiência do sistema de medição para medir o dimensional da porta de uma máquina escavadeira. O sistema de medição utiliza uma máquina de medição por coordenada com CNC. Neste caso, consideramos que o operador não influência a medição, fato que nos levou a considerar apenas um operador e 15 peças na análise.
Peça | Medições |
1 | 461,28 |
2 | 458,17 |
3 | 460,57 |
4 | 459,28 |
5 | 461,28 |
6 | 460,25 |
7 | 458,82 |
8 | 461,58 |
9 | 459,36 |
10 | 459,62 |
11 | 461,38 |
12 | 458,67 |
13 | 462,57 |
14 | 459,58 |
15 | 461,76 |
1 | 461,5 |
2 | 458,62 |
3 | 460,28 |
4 | 459,66 |
5 | 461,12 |
6 | 460,68 |
7 | 458,95 |
8 | 461,1 |
9 | 459,52 |
10 | 459,34 |
11 | 461,57 |
12 | 459,03 |
13 | 462,28 |
14 | 459,66 |
15 | 461,12 |
1 | 461,2 |
2 | 458,61 |
3 | 460,32 |
4 | 459,58 |
5 | 461,18 |
6 | 460,28 |
7 | 458,66 |
8 | 461,18 |
9 | 459,57 |
10 | 459,54 |
11 | 461,53 |
12 | 458,98 |
13 | 462,32 |
14 | 459,28 |
15 | 461,15 |
As somas de quadrados são dadas por:
$$SQT=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}(y_{ij}-\overline{y}_{i.})^{2}+\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}(\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{..})^{2}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}(y_{ij}-\overline{y}_{i.})^{2}+\sum_{i=1}^{k}n_{i}(\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{..})^{2}=60,666$$
$$SQA=\sum^k_{i=1}n_i(\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{..})^2=59,5$$
Com isso, temos que
$$SQE=SQT-SQA=60,666-59,5=1,166$$
Agora, calcularemos os Quadrados Médios
$$QME=\frac{SQE}{N-k}=\frac{1,166}{45-15}=0,03884$$
$$QMA=\frac{SQA}{k-1}=\frac{59,5}{15-1}=4,25$$
Calculamos os intervalos de confiança. Primeiramente, faremos o intervalo de confiança para $\mu.$
$$LI=\overline{y}^*_{..}-\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}=460,2662-\sqrt{\frac{4,25\times 4,6001}{15 \times 3}}=459,607$$
e
$$LS=\overline{y}^*_{..}+\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}=460,2662+\sqrt{\frac{4,25\times 4,6001}{15\times 3}}=460,925$$
O intervalo de confiança para $\sigma^2_{\alpha}$ é dado por
$$\sigma_{\alpha}=\sqrt{\frac{QMA-QME}{n_r}}=\sqrt{\frac{4,25-0,03884}{3}}=1,184$$
$$LI=\sqrt{\hat{\sigma}^2_{\alpha}-\frac{\sqrt{V_{\alpha I}}}{n_H}}=\sqrt{1,404-\frac{\sqrt{3,889244}}{3}}=0,863$$
e
$$LS=\sqrt{\hat{\sigma}^2_{\alpha}+\frac{\sqrt{V_{\alpha S}}}{n_H}}=\sqrt{1,404+\frac{\sqrt{39,94}}{3}}=1,873$$
em que
$$V_{\alpha I}=G^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+H^2_{e} QME^2+G_{ae} QMA_{\alpha *}QME=$$
$$=0,464^2~4,25^2+0,787^2~0,03884^2+(-0,0025)4,25~0,03884=3,889244$$
$$V_{\alpha S}=H^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+G^2_e QME^2+H_{ae} QMA_{\alpha *}QME=$$
$$=1,4872^2~4,25^2+0,36142^2~0,03884^2+(-0,068)4,25~0,03884=39,94$$
O intervalo de confiança para $\sigma^2_{\varepsilon}$ é dada por
$$\sigma_\varepsilon=\sqrt{QME}=0,197$$
$$LI=\sqrt{(1-G_e)QME}=\sqrt{(1-0,3614)0,03884}=0,157$$
e
$$LS=\sqrt{(1+H_e)QME}=\sqrt{(1-0,787)0,03884}=0,263$$
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