1.3 - Estimação dos parâmetros do modelo

O método de análise de variância (ANOVA) para estimar componentes de variância $\sigma^2_{\varepsilon}$ e $\sigma^2_{\alpha}$ consiste em igualar os valores observados dos quadrados médios QME e QMA aos seus valores esperados, e resolver as equações resultantes para $\sigma^2_{\varepsilon}$ e $\sigma^2_{\alpha}.$  Os estimadores para dados balanceados obtidos são

$$\hat{\sigma}^2_{\varepsilon}=QME~~~~~\mbox{e}~~~~\hat{\sigma}^2_{\alpha}=\frac{QMA-QME}{n_0}~~~~~(1.3.1)$$

Agora, para o caso de dados desbalanceados usaremos as estatística proposta por Thomas e Hultquist, com isso obtemos os seguintes estimadores

$$\hat{\sigma}^2_{\alpha *}=\frac{QMA_{*}-QME}{n_H}~~~~(1.3.2)$$

O problema da ponderação na estimativa de componentes de variância é discutida por Robertson (1962). Verificamos que a ponderação correta é dependente do valor da F da análise de variância.

Para o estimador de $\hat{\sigma}^2_{\alpha}$ podemos obter uma estimativa negativa. Mathew et al. (1992) consideram estimadores não negativos à partir de modelos desbalanceados com duas componentes de variância, dos quais o modelo (equação 1.1) é um caso especial. Chatterjee e Das (1983) desenvolveram melhores estimadores assintoticamente normais para os componentes de variância. Kelly e Mathew (1993) discutiram um estimador quadrático invariante de $\sigma^2_{\alpha}$ que tem uma probabilidade de $QME$ ser menor que para produzir uma estimativa negativa de $\hat{\sigma}^2_{\alpha},$ ou seja, $P[\hat{\sigma}^2_{\alpha}\textless 0]=P[QME\textless QMA].$

Além disso, QMA pode ser expressa como uma combinação linear central variáveis Qui-Quadrado independentes. Assim, a distribuição de QMA pode ser aproximada para uma variável Qui-Quadrado central, usando a aproximação Satterthwaite.

Agora, a probabilidade de uma estimativa negativa pode ser avaliada em termos das distribuições F centrais. Singh (1989a) desenvolveu uma expressão para determinar um valor exato para a probabilidade $P (\sigma^2_{\alpha}\textless 0),$ utilizando uma soma infinita ponderada das funções beta incompletas.

Um valor exato da probabilidade de uma estimativa negativa também pode ser avaliada à partir de Davies (1980), que dá um algoritmo para calcular a distribuição de uma combinação linear de variáveis Qui-Quadrado independentes (possivelmente não-centrais) com graus de liberdade arbitrários.

Para a construção dos intervalos de confiança, usamos algumas constantes para as combinações lineares citadas anteriormente. Por exemplo, construímos uma tabela com nível de significância 0,05, k=10 e N=17.

Constante	Definição	Valor
$G_a$	$1-F_{\frac{\alpha}{2}:\infty;k-1}$	0,5269
$G_e$	$1-F_{\frac{\alpha}{2}:\infty;N-k}$	0,5628
$H_a$	$F_{1-\frac{\alpha}{2}:\infty;k-1}-1$	2,333
$H_e$	$F_{1-\frac{\alpha}{2}:\infty;N-k}-1$	3,142
$F_a$	$F_{1-\frac{\alpha}{2}:k-1;N-k}$	4,823
$F_e$	$F_{\frac{\alpha}{2}:k-1;N-k}$	0,2383
$G_{ae}$	$\frac{(F1-1)^2-G^2_1F^2_1-H^2_2}{F_1}$	-0,356
$H_{ae}$	$\frac{(1-F2)^2-H^2_1F^2_2-G^2_2}{F_2}$	-0,191
$H_{ae}$	$\frac{(1-F2)^2-H^2_1 F^2_2-G^2_2}{F_2}$	-0,191

Tabela 1.3.1: Constantes usadas nos Intervalos de Confiança da equação 1.1.

Intervalo de Confiança para $\mu$

O intervalo de confiança para $\mu$ é obtido substituindo $QMA$ por $QMA_{*},~n_H$ por $n_i~\mbox{e}~\overline{y}^*_{..}$ por $\overline{y}_{..}$ Assim, o intervalo de confiança $100(1-\alpha)\%$ aproximada para $\mu$ é

$$LI=\overline{y}^*_{..}-\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}$$

e

$$LS=\overline{y}^*_{..}+\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}~~~~~(1.3.4)$$

El-Bassiouni e Abdelhafez fez a comparação da equação 1.3.4 a nove outros intervalos para $\mu.$ (A forma da equação 1.3.4 considerada por El-Bassiouni e Abdelhafez usou graus de liberdade estimados com base na aproximação Satterthwaite. No entanto, eles encontraram esta equação e foi adequadamente aproximada por p-1). A equação 1.3.4 manteve o nível de confiança declarado.

Intervalo de Confiança para $\sigma^2_{\alpha}$

Um intervalo de confiança $100(1-\alpha)\%$ aproximado para $\sigma^2_{\alpha}$ baseados nas modificações da Soma de Quadrados Não Balanceadas $SQNB$ da equação 1.1 é

$$LI=\hat{\sigma}^2_{\alpha}-\frac{\sqrt{V_{\alpha I}}}{n_H}$$

e

$$LS=\hat{\sigma}^2_{\alpha}+\frac{\sqrt{V_{\alpha S}}}{n_H}~~~~~(1.3.5)$$

em que

$$V_{\alpha I}=G^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+H^2_{e} QME^2+G_{ae} QMA_{\alpha *}QME,$$

$$V_{\alpha S}=H^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+G^2_e QME^2+H_{ae} QMA_{\alpha *}QME$$

sendo $G_{a}, G_e, H_a, H_e, G_{ae}$ e $H_{ae}$ são definidos na tabela 1.3.1 e $\hat{\sigma}^2_{\alpha *}$ é definido na equação 1.3.2.

Intervalo de Confiança para $\sigma^2_{\varepsilon}$

O $100(1-\alpha)\%$ Intervalo de Confiança exato para $\sigma^2_{\varepsilon}$ é

$$LI=(1-G_e)QME$$

e

$$LS=(1+H_e)QME~~~~(1.3.6)$$

em que $G_e$ e $H_e$ são definidas na Tabela 1.3.1 e $\frac{SQE}{\sigma^2_{\varepsilon}}$ tem uma distribuição Qui-Quadrado em modelos com dados balanceados e desbalanceados.

Exemplo 1.3.1

Voltando ao exemplo 1.1, calculamos agora as estimativas dos parâmetros da seguinte forma

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

À partir dos resultados obtidos no exemplo 1.2.1 temos que

$$QME=1,33~~e~~~QMA=46,07$$

Primeiramente, calculamos o intervalo de confiança para $\mu.=\overline{y}_{..}=5,32$

$$LI=\overline{y}^*_{..}-\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}=5,32-\sqrt{\frac{46,07\times 5,92}{20 \times 4}}=3,48~~~~\mbox{e}$$

$$LS=\overline{y}^*_{..}+\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}=5,32+\sqrt{\frac{46,07\times 5,92}{20\times 4}}=7,17$$

O intervalo de confiança para $\sigma^2_{\alpha}$ é dado por

$$\hat{\sigma}^2_{\alpha}=\sqrt{\frac{QMA-QME}{r}}=\sqrt{\frac{46,07-1,33}{20}}=1,496$$

$$LI=\sqrt{\hat{\sigma}^2_{\alpha}-\frac{\sqrt{V_{\alpha I}}}{n_H}}=\sqrt{2,237-\frac{\sqrt{980,708}}{20}}=0,819~~~~\mbox{e}$$

$$LS=\sqrt{\hat{\sigma}^2_{\alpha}+\frac{\sqrt{V_{\alpha S}}}{n_H}}=\sqrt{2,237+\frac{\sqrt{353261,7}}{20}}=5,653$$

em que

$$V_{\alpha I}=G^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+H^2_{e} QME^2+G_{ae} QMA_{\alpha *}QME=$$

$$=0,679^2~46,07^2+0,413^2~1,33^2+(0,0263)~46,07~1,33=980,708$$

$$V_{\alpha S}=H^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+G^2_e QME^2+H_{ae} QMA_{\alpha *}QME=$$

$$=12,902^2~46,07^2+0,255^2~1,33^2+(-0,776)~46,07~1,33=353261,7$$

O intervalo de confiança para $\sigma^2_{\varepsilon}$ é dada por

$$\hat{\sigma}_\varepsilon=\sqrt{QME}=\sqrt{QME}}=\sqrt{1,33}=1,15$$

$$LI=\sqrt{(1-G_e)QME}=\sqrt{(1-0,255)~1,33}=0,997$$

e

$$LS=\sqrt{(1+H_e)QME}=\sqrt{(1+0,413)~1,33}=1,373$$

A seguir apresentamos um resumo dos resultados

 

Fator	Desvio padrão	Limite Inferior	Limite Superior
Erro	1,155	0,997	1,373
Escola	1,496	0,819	5,653
Total	1,889

 

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo1.3.2

Considere o estudo realizado para analisar a eficiência do sistema de medição para medir o dimensional da porta de uma máquina escavadeira. O sistema de medição utiliza uma máquina de medição por coordenada com CNC. Neste caso, consideramos que o operador não influência a medição, fato que nos levou a considerar apenas um operador e 15 peças na análise.

 

Peça	Medições
1	461,28
2	458,17
3	460,57
4	459,28
5	461,28
6	460,25
7	458,82
8	461,58
9	459,36
10	459,62
11	461,38
12	458,67
13	462,57
14	459,58
15	461,76
1	461,5
2	458,62
3	460,28
4	459,66
5	461,12
6	460,68
7	458,95
8	461,1
9	459,52
10	459,34
11	461,57
12	459,03
13	462,28
14	459,66
15	461,12
1	461,2
2	458,61
3	460,32
4	459,58
5	461,18
6	460,28
7	458,66
8	461,18
9	459,57
10	459,54
11	461,53
12	458,98
13	462,32
14	459,28
15	461,15

As somas de quadrados são dadas por:

$$SQT=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}(y_{ij}-\overline{y}_{i.})^{2}+\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}(\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{..})^{2}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}(y_{ij}-\overline{y}_{i.})^{2}+\sum_{i=1}^{k}n_{i}(\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{..})^{2}=60,666$$

$$SQA=\sum^k_{i=1}n_i(\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{..})^2=59,5$$

Com isso, temos que

$$SQE=SQT-SQA=60,666-59,5=1,166$$

Agora, calcularemos os Quadrados Médios

$$QME=\frac{SQE}{N-k}=\frac{1,166}{45-15}=0,03884$$

$$QMA=\frac{SQA}{k-1}=\frac{59,5}{15-1}=4,25$$

Calculamos os intervalos de confiança. Primeiramente, faremos o intervalo de confiança para $\mu.$

$$LI=\overline{y}^*_{..}-\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}=460,2662-\sqrt{\frac{4,25\times 4,6001}{15 \times 3}}=459,607$$

e

$$LS=\overline{y}^*_{..}+\sqrt{\frac{QMA_{*}F_{1-\frac{\alpha}{2}:1,k-1}}{k~n_H}}=460,2662+\sqrt{\frac{4,25\times 4,6001}{15\times 3}}=460,925$$

O intervalo de confiança para $\sigma^2_{\alpha}$ é dado por

$$\sigma_{\alpha}=\sqrt{\frac{QMA-QME}{n_r}}=\sqrt{\frac{4,25-0,03884}{3}}=1,184$$

$$LI=\sqrt{\hat{\sigma}^2_{\alpha}-\frac{\sqrt{V_{\alpha I}}}{n_H}}=\sqrt{1,404-\frac{\sqrt{3,889244}}{3}}=0,863$$

e

$$LS=\sqrt{\hat{\sigma}^2_{\alpha}+\frac{\sqrt{V_{\alpha S}}}{n_H}}=\sqrt{1,404+\frac{\sqrt{39,94}}{3}}=1,873$$

em que

$$V_{\alpha I}=G^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+H^2_{e} QME^2+G_{ae} QMA_{\alpha *}QME=$$

$$=0,464^2~4,25^2+0,787^2~0,03884^2+(-0,0025)4,25~0,03884=3,889244$$

$$V_{\alpha S}=H^2_{a} QMA^2_{\alpha *}+G^2_e QME^2+H_{ae} QMA_{\alpha *}QME=$$

$$=1,4872^2~4,25^2+0,36142^2~0,03884^2+(-0,068)4,25~0,03884=39,94$$

O intervalo de confiança para $\sigma^2_{\varepsilon}$ é dada por

$$\sigma_\varepsilon=\sqrt{QME}=0,197$$

$$LI=\sqrt{(1-G_e)QME}=\sqrt{(1-0,3614)0,03884}=0,157$$

e

$$LS=\sqrt{(1+H_e)QME}=\sqrt{(1-0,787)0,03884}=0,263$$

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.