1.4 - Análise Estatística

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Especificamente, estamos interessados em testar as seguintes hipóteses sobre os efeitos dos fatores:

Objetivo

Hipótese
efeito do Período \pi_1\neq\pi_2\end{array}\right. $
efeito da Formulação  F_R\neq F_T\end{array}\right. $
efeito Carry-over R_R\neq R_T\end{array}\right. $

Vamos mostrar como essas hipóteses são testadas usando a análise de variância. Para determinarmos a estatística do teste, vamos observar que 

$$SQ_{entre}=SQ_{\mbox{carry-over}}+SQ_{\mbox{inter}}$$

e

$$SQ_{dentro}=SQ_{\mbox{droga}}+SQ_{\mbox{período}}+SQ_{\mbox{intra}}$$

com isso,


$$\frac{SQ_{entre}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)}=\frac{SQ_{\mbox{carry-over}}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)}+\frac{SQ_{\mbox{inter}}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)}\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)$$


$$\frac{SQ_{dentro}}{\sigma^2}=\frac{SQ_{\mbox{droga}}}{\sigma^2}+\frac{SQ_{\mbox{período}}}{\sigma^2}+\frac{SQ_{\mbox{intra}}}{\sigma^2}\quad\quad\quad\quad\quad(2)$$

Assim, sob $ H_0 $ temos que 

$$\chi^2_{n_1+n_2-1}=\chi^2_{1}+\chi^2_{n_1+n_2-2}\quad\quad\quad\quad(3)$$


$$\chi^2_{n_1+n_2}=\chi^2_{1}+\chi^2_{1}+\chi^2_{n_1+n_2-2}\quad\quad\quad(4)$$

Portanto, a soma de quadrados da Equação (1) dividido por $ 2(2\sigma^2_S+\sigma^2) $ e a soma de quadrados da Equação (2) dividido por $ \sigma^2 $ tem distribuição qui-quadrado com $ n_1+n_2-1 $ e $ n_1+n_2 $ graus de liberdade, respectivamente. Além disso, cada parcela das Equações (1) e (2) também tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade expressos nas Equações (4) e (5), respectivamente. Pelo teorema de Cochram, verificamos que as distribuições qui-quadrado expressas no lado direito da Equação (3) são independentes, o mesmo ocorre na Equação (4). Portanto, a estatística para testar o efeito carry over, 

$$F=\frac{\frac{SQ_{\mbox{carry-over}}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)}}{\frac{SQ_{inter}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)(n_1+n_2-2)}}=\frac{QM_{\mbox{carry-over}}}{QM_{inter}}\sim F(1;n_1+n_2-2)$$

 tem distribuição de Fisher-Snedecor com $ 1 $ grau de liberdade no numerador e $ n_1+n_2-2 $ graus de liberdade no denominador.

A região crítica (RC) do teste F é dada por

$ RC=\{F\in\Re^+|F>F_c\} $.

Com isso, utilizando o número de graus de liberdade do numerador e denominador, podemos, considerando um nível de significância $ \alpha $ encontrar o valor de $ F_c $ na tabela da distribuição F-Snedecor. A figura abaixo mostra a região crítica do teste.

Figura 1.1.3.1: Quantil da distribuição F-Snedecor.

Obs.: O teste $ F $ para as médias dos fatores droga e período se desenvolve da mesma forma porém, devemos observar que no denominador da estatística $ F $ deveremos usar $ SQ_{\mbox{intra}} $ ao invés de $ SQ_{\mbox{inter}} $.

O teste estatístico para a hipótese de igualdade de médias é resumido na tabela. Essa tabela é chamada de tabela de análise de variância.

Fator

Graus de Liberdade

Soma de Quadrados Quadrados Médios F

entre

carry-over

inter

 

$ 1 $

$ n_1+n_2-2 $

 

$ SQcarry-over $

$ SQinter $

 

$ QMcarry-over $

$ QMinter $

 

$ \frac{QMcarry-over}{QMinter} $

dentro

droga

período

intra

 

$ 1 $

$ 1 $

$ n_1+n_2-2 $

 

$ SQdroga $

$ SQperíodo $

$ SQintra $

 

$ QMdroga $

$ QMperíodo $

$ QMintra $

 

$ \frac{QMdroga}{QMintra} $

$ \frac{QMperíodo}{QMintra} $

Total $ 2(n_1+n_2)-1 $ $ SQT $    

Tabela 1.1.3.1: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

Exemplo 1.4.1: 

Voltando ao Exemplo 1.2.1.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Calculando a estatística do teste temos:
$$F_0=\frac{0,00035}{0,03832}=0,01$$

$$F_0=\frac{0,001875}{0,0058}=0,321$$

$$F_0=\frac{0,01958592}{0,0058}=3,35$$

Substituindo os resultados encontrados na tabela da ANOVA, temos:

Fator

Graus de Liberdade

Soma de Quadrados Quadrados Médios F

entre

carry-over

inter

 

$ 1 $

$ 22 $

 

$ 0,00035 $

$ 0,843074 $

 

$ 0,00035 $

$ 0,03832 $

 

$ 0,01 $

dentro

droga

período

intra

 

$ 1 $

$ 1 $

$ 22 $

 

$ 0,001875 $

$ 0,01958592 $

$ 0,12853908 $

 

$ 0,001875 $

$ 0,01958592 $

$ 0,0058 $

 

$ 0,321 $

$ 3,35 $

Total $ 47 $      
 

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