1.4 - Análise Estatística

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Especificamente, estamos interessados em testar as seguintes hipóteses sobre os efeitos dos fatores:

Objetivo

Hipótese
efeito do Período $\left\{\begin{array}{l}H_{0}:\pi_1=\pi_2\\H_{1}:\pi_1\neq\pi_2\end{array}\right.$
efeito da Formulação  $\left\{\begin{array}{l}H_{0}:F_R=F_T\\H_{1}:F_R\neq F_T\end{array}\right.$
efeito Carry-over $\left\{\begin{array}{l}H_{0}:R_R=R_T\\H_{1}:R_R\neq R_T\end{array}\right.$

Vamos mostrar como essas hipóteses são testadas usando a análise de variância. Para determinarmos a estatística do teste, vamos observar que $$SQ_{entre}=SQ_{\mbox{carry-over}}+SQ_{\mbox{inter}}$$ e $$SQ_{dentro}=SQ_{\mbox{droga}}+SQ_{\mbox{período}}+SQ_{\mbox{intra}}$$ com isso,

$$\frac{SQ_{entre}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)}=\frac{SQ_{\mbox{carry-over}}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)}+\frac{SQ_{\mbox{inter}}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)}\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)$$

e $$\frac{SQ_{dentro}}{\sigma^2}=\frac{SQ_{\mbox{droga}}}{\sigma^2}+\frac{SQ_{\mbox{período}}}{\sigma^2}+\frac{SQ_{\mbox{intra}}}{\sigma^2}\quad\quad\quad\quad\quad(2)$$

Assim, sob $H_0$ temos que $$\chi^2_{n_1+n_2-1}=\chi^2_{1}+\chi^2_{n_1+n_2-2}\quad\quad\quad\quad(3)$$

e $$\chi^2_{n_1+n_2}=\chi^2_{1}+\chi^2_{1}+\chi^2_{n_1+n_2-2}\quad\quad\quad(4)$$

Portanto, a soma de quadrados da Equação (1) dividido por $2(2\sigma^2_S+\sigma^2)$ e a soma de quadrados da Equação (2) dividido por $\sigma^2$ tem distribuição qui-quadrado com $n_1+n_2-1$ e $n_1+n_2$ graus de liberdade, respectivamente. Além disso, cada parcela das Equações (1) e (2) também tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade expressos nas Equações (4) e (5), respectivamente. Pelo teorema de Cochram, verificamos que as distribuições qui-quadrado expressas no lado direito da Equação (3) são independentes, o mesmo ocorre na Equação (4). Portanto, a estatística para testar o efeito carry over, $$F=\frac{\frac{SQ_{\mbox{carry-over}}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)}}{\frac{SQ_{inter}}{2(2\sigma^2_S+\sigma^2)(n_1+n_2-2)}}=\frac{QM_{\mbox{carry-over}}}{QM_{inter}}\sim F(1;n_1+n_2-2)$$  tem distribuição de Fisher-Snedecor com $1$ grau de liberdade no numerador e $n_1+n_2-2$ graus de liberdade no denominador.

A região crítica (RC) do teste F é dada por

$RC=\{F\in\Re^+|F>F_c\}$.

Com isso, utilizando o número de graus de liberdade do numerador e denominador, podemos, considerando um nível de significância $\alpha$ encontrar o valor de $F_c$ na tabela da distribuição F-Snedecor. A figura abaixo mostra a região crítica do teste.

Figura 1.1.3.1: Quantil da distribuição F-Snedecor.

Obs.: O teste $F$ para as médias dos fatores droga e período se desenvolve da mesma forma porém, devemos observar que no denominador da estatística $F$ deveremos usar $SQ_{\mbox{intra}}$ ao invés de $SQ_{\mbox{inter}}$.

O teste estatístico para a hipótese de igualdade de médias é resumido na tabela. Essa tabela é chamada de tabela de análise de variância.

Fator

Graus de Liberdade

Soma de Quadrados Quadrados Médios F

entre

carry-over

inter

 

$1$

$n_1+n_2-2$

 

$SQcarry-over$

$SQinter$

 

$QMcarry-over$

$QMinter$

 

$\frac{QMcarry-over}{QMinter}$

dentro

droga

período

intra

 

$1$

$1$

$n_1+n_2-2$

 

$SQdroga$

$SQperíodo$

$SQintra$

 

$QMdroga$

$QMperíodo$

$QMintra$

 

$\frac{QMdroga}{QMintra}$

$\frac{QMperíodo}{QMintra}$

Total $2(n_1+n_2)-1$ $SQT$    

Tabela 1.1.3.1: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

Exemplo 1.4.1: 

Voltando ao Exemplo 1.2.1.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Calculando a estatística do teste temos:$$F_0=\frac{0,00035}{0,03832}=0,01$$

$$F_0=\frac{0,001875}{0,0058}=0,321$$

$$F_0=\frac{0,01958592}{0,0058}=3,35$$

Substituindo os resultados encontrados na tabela da ANOVA, temos:

Fator

Graus de Liberdade

Soma de Quadrados Quadrados Médios F

entre

carry-over

inter

 

$1$

$22$

 

$0,00035$

$0,843074$

 

$0,00035$

$0,03832$

 

$0,01$

dentro

droga

período

intra

 

$1$

$1$

$22$

 

$0,001875$

$0,01958592$

$0,12853908$

 

$0,001875$

$0,01958592$

$0,0058$

 

$0,321$

$3,35$

Total $47$      
 

ANOVA

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