1.4 - Estimação dos Parâmetros do Modelo

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A seguir, vamos apresentar estimadores para os parâmetros do modelo,


$$y_{ij}=\mu + \alpha_{i}+\varepsilon_{ij}$$

e intervalos de confiança. Como estimador da média geral,tomamos


$$\widehat{\mu}=\overline{y}_{..}$$

e para os efeitos tomamos


$$\widehat{\alpha}_{i}=\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{..}$$

A média do $ i $-ésimo nível é dada por $ \mu_{i}=\mu+\alpha_{i} $. Então, um estimador pontual para $ \mu_i $ é definido por


$$\widehat{\mu}_{i}=\widehat{\mu}+\widehat{\alpha}_{i}=\overline{y}_{i.}$$

Assim, se assumirmos que os erros $ \varepsilon_{ij} $ são normalmente distribuídos e independentes, obtemos que a média $ \overline{y}_{i.} $ (do nível i) tem distribuição Normal com média $ \mu+\alpha_i $ e variância $ \sigma^2/n_i $. Utilizando o quadrado médio do erro (QME) como estimador de $ \sigma^{2} $, podemos construir um intervalo de confiança baseado na Distribuição t-Student. Desta forma, obtemos que:


$$\frac{\displaystyle\frac{(\overline{y}_{i.}-\mu_i)}{\sqrt{\sigma^2/n_i}}}{\displaystyle \sqrt{\frac{QME}{\sigma^2}}}=\frac{\displaystyle(\overline{y}_{i.} - \mu_i)}{\displaystyle \sqrt{ \mbox{QME}/\displaystyle n_i}}$$

tem distribuição t-Student com ($ N - k $) graus de liberdade. Portanto, o intervalo com confiança de $ (1-\alpha)100\% $ para a média do $ i $-ésimo nível é definido por


$$\overline{y}_{i.}-t(1-\alpha/2, N - k)*\sqrt{\frac{\displaystyle \mbox{QME}}{\displaystyle n_i}} ~~\leq~~\mu_i ~~\leq~~ \overline{y}_{i.}+t(1-\alpha/2, N - k)*\sqrt{\frac{\displaystyle QME}{\displaystyle n_i} }.$$

A Tabela Distribuição t-Student do  Apêndice apresenta os valores da estatística $ t $-Student.

Temos que


$$\frac{\overline{y}_{i.}-\mu_i}{\sqrt{\sigma^2/n_i}}\sim\mbox{ N(0,1)}$$

para todo $ i=1,\ldots,k $ e são independentes. Então,


$$\frac{\displaystyle\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{l.}-(\mu_i-\mu_l)}{\displaystyle\sigma\sqrt{\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_l}}}\sim\mbox{ N(0,1)}.$$

Da mesma forma, obtemos que


$$\frac{\displaystyle\frac{\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{l.}-(\mu_i-\mu_l)}{\displaystyle\sigma\sqrt{\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_l}}}}{\displaystyle\sqrt{\frac{QME(N-k)}{\sigma^2(N-k)}}}=\frac{\displaystyle(\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{l.})-(\mu_i-\mu_l)}{\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_l}\right)}}\sim t_{(N-k)}.$$

Assim, um intervalo com confiança de $ (1-\alpha)100\% $ para a diferença entre a média de dois níveis é dado por


$$(\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{l.})-\Delta ~~\leq~~\mu_i-\mu_l~~\leq~~(\overline{y}_{i.} -\overline{y}_{l.})+\Delta$$

em que,


$$\Delta = t(1-\alpha/2, N - k)*\sqrt{QME \left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_l}\right)}$$

Exemplo 1.4.1:

Com os dados do Exemplo 1, da resistência da fibra sintética, vamos calcular as seguintes estimativas para a média geral e para os efeitos dos níveis.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo


$$\widehat{\mu}=\overline{y}_{..}=376/25=15,04$$


$$\widehat{\alpha}_{1}=\overline{y}_{1.}-\overline{y}_{..}=9,8-15,04=-5,24$$


$$\widehat{\alpha}_{2}=\overline{y}_{2.}-\overline{y}_{..}= 15,40-15,04=0,36$$


$$\widehat{\alpha}_{3}=\overline{y}_{3.}-\overline{y}_{..}=17,60-15,04=2,56$$


$$\widehat{\alpha}_{4}=\overline{y}_{4.}-\overline{y}_{..}= 21,60-15,04=6,56$$


$$\widehat{\alpha}_{5}=\overline{y}_{5.}-\overline{y}_{..}=10,80 - 15,04 = -4,24$$

Um intervalo com confiança de $ 95\% $ para a média do nível $ 4 $ ($ 30\% $ de algodão na fibra) é dado por


$$21,60-2,086*\sqrt{\frac{8,06}{5}}\leq\mu_{4}\leq 21,60+2,086*\sqrt{\frac{8,06}{5}}$$

Com isso, obtemos


$$18,95\leq \mu_{4} \leq 24,25$$

Um intervalo com confiança de 95% para a diferença entre a média dos níveis 4 e 5 (30% e 35% de algodão na fibra) é dado por


$$\Delta =2,086*\sqrt{8,06 \left(\frac{1}{5} +\frac{1}{5}\right)}~=~3,74552$$


$$(21,60-10,80)-3,74552~~\leq~~\mu_4-\mu_5~~\leq~~(21,60-10,80)+3,74552$$


$$7,05448~~\leq~~\mu_4-\mu_5~~\leq~~14,54552$$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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