1.6 - Modelo Heterocedástico

Considere o modelo de médias

$$ y_{i,j} = \mu_i + \varepsilon_{ij} $$

no qual $\mu_i$ é a média do nível $i$ do fator e $\varepsilon_{ij}$ são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com média 0 e variância $\sigma^2_i$, para todo $j=1, \cdots , n_i$ e $i=1, \cdots , k$. Neste caso, não necessariamente temos que as variâncias sejam iguais. Da mesma forma que no modelo de variâncias iguais (homocedástico), os estimadores para os parâmetros do modelo são dados por

$$ \hat{\mu}_i = \bar{Y}_{i .} \quad \text{e} \quad \hat{\sigma}_i^2 = s_i^2 =\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_{i .})^2}{n_i - 1}.$$

Além disso, sabemos que $\hat{\mu}_i$ tem distribuição normal com média $\mu_i$ e variância $\sigma_i^2/n_i$ e são independentes, para todo $i=1, \cdots , k$. Também sabemos que

$$\frac{(n_i -1)\hat{\sigma}_i^2}{\sigma_i^2}$$ tem distribuição qui-quadrada con $n_i-1$ graus de liberdade e são independentes, para todo $i=1, \cdots , k$.