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Para o modelo heterocedástico, vamos inicialmente testar as hipóteses
$$\left\{\begin{array}{ll}H_0:\sigma^2_1=\sigma^2_2 = ... =\sigma^2_k\\H_1:~\mbox{pelo menos um}~\sigma_i^2~\mbox{é diferente,} \quad i=1,\ldots,k.\\\end{array}\right.$$
Os métodos mais utilizados são os testes de Cochran, Bartlett e de Levene.
O teste de Cochran compara a maior variância com as demais. Para aplicarmos o teste de Cochran, vamos assumir que o experimento é balanceado $n_1=n_2= \cdots = n_k =n$ e seguir as seguintes etapas:
$$C~=~\cfrac{s^2_{max}}{\displaystyle\sum^{k}_{i=1}s^2_i}~=~\cfrac{\mbox{maior variância}}{\mbox{soma de todas as variâncias}},$$
em que
Um laboratório de metrologia contratou um novo metrologista que passou por diversos treinamentos para integrar a equipe. Antes de liberarmos o metrologista para realizar o procedimento de calibração, realizamos um teste para comparar a variabilidade das medições do metrologista novato com os demais metrologistas do laboratório. Em um experimento completamente aleatorizado, um bloco padrão de 50mm foi medido 5 vezes por cada metrologista. As medições estão na tabela a seguir.
Metrologistas | ||||
João | Novato | Moacir | Roberto | |
Medida 1 | 50,0071 | 50,007 | 50,0072 | 50,0073 |
Medida 2 | 50,0072 | 50,0076 | 50,0074 | 50,0074 |
Medida 3 | 50,0072 | 50,0075 | 50,0073 | 50,0073 |
Medida 4 | 50,0071 | 50,0071 | 50,0072 | 50,0072 |
Medida 5 | 50,0072 | 50,0078 | 50,0072 | 50,0072 |
Média | 50,00716 | 50,0074 | 50,00726 | 50,00728 |
Desvio Padrão | 0,000055 | 0,00034 | 0,000089 | 0,000084 |
Variância | 0,000000003 | 0,000000115 | 0,000000008 | 0,000000007 |
Neste caso, temos como objetivo comparar a variabilidade encontrada entre os diversos metrologistas. Observamos que $S^2_{max}~=~0,000000115$. Logo
$$C_{\mbox{calculado}}~=~\frac{0,000000115}{0,000000003~+~0,000000115~+~0,000000008~+~0,000000007}~=~0,864.$$
$C_{tabelado}$ (Tabela C, para $5\%$ de significância) =0,629. Portanto, como $C_{calculado}\textgreater C_{tabelado}$, a variância do metrologista Novato não é homogênea em relação a dos demais metrologistas.
Número de Grupos |
Tamanho do grupo (réplicas) | ||||
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
2 | - | 0,975 | 0,939 | 0,906 | 0,877 |
3 | 0,967 | 0,871 | 0,798 | 0,746 | 0,707 |
4 | 0,906 | 0,768 | 0,684 | 0,629 | 0,69 |
5 | 0,841 | 0,684 | 0,598 | 0,544 | 0,506 |
6 | 0,781 | 0,616 | 0,532 | 0,48 | 0,445 |
7 | 0,727 | 0,561 | 0,48 | 0,431 | 0,397 |
8 | 0,68 | 0,516 | 0,438 | 0,391 | 0,3 |
Tabela C: Valor tabelado para nível de significância 5%.
A estatística do teste proposta por Bartlett é dada por
$$B_{0}=\frac{q}{c}$$
em que
$$q=(N-k)*\ln s^{2}_{p}-\sum^k_{i=1}\left[(n_{i}-1)*\ln s^{2}_{i}\right]$$
$$c=1+\frac{1}{3(k-1) } \left(\sum^k_{i=1} \frac{1}{n_i -1}-\frac{1}{N-k} \right)$$
$$s^{2}_{p}=\frac{1}{N-k}\displaystyle\sum^k_{i=1} (n_{i}-1)s^{2}_{i}}~~~~~\mbox{e}~~~~~s^{2}_{i}=\displaystyle\sum^{n_i}_{j=1} \frac{(y_{ij}-\overline{y}_{i.})^{2}}{n_{i}-1}$$
Sob $H_0$ (igualdade das variâncias) sabemos que $B_0$ tem distribuição assintótica qui-quadrado com $k-1$ graus de liberdade. Desta forma, rejeitamos $\mbox{H}_0$ se $B_0\textgreater Q_{[1 - \alpha; k-1]},$ no qual $Q_{[1 - \alpha ; k-1]}$ representa o quantil $(1-\alpha )*100\%$ da distribuição qui-quadrado com (k-1) graus de liberdade. Além disso, o P-valor é calculado por
$P-\mbox{valor}=P[~\chi^{2}_{(k-1)}~$>$~B_0~\mid~H_0~]$
O teste de Bartlett é sensível em relação a hipótese de normalidade dos dados. Se rejeitarmos a hipótese de normalidade, é melhor utilizarmos o teste proposto por Levene. Porém, se a hipótese de normalidade não for violada, o teste proposto por Bartlett tem um comportamento melhor que o teste proposto por Levene.
Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1.
Fator | Resistencia_da_Fibra |
15 | 7 |
15 | 7 |
15 | 15 |
15 | 11 |
15 | 9 |
20 | 12 |
20 | 17 |
20 | 12 |
20 | 18 |
20 | 18 |
25 | 14 |
25 | 18 |
25 | 18 |
25 | 19 |
25 | 19 |
30 | 19 |
30 | 25 |
30 | 22 |
30 | 19 |
30 | 23 |
35 | 7 |
35 | 10 |
35 | 11 |
35 | 15 |
35 | 11 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
As variâncias amostrais são
$$s_{1}^{2}=\frac{(7-9,8)^2+(7-9,8)^2+ (15-9,8)^2+ (11-9,8)^2+ (9-9,8)^2}{5-1}= \frac{44,8}{4}=11,2$$
$$s_{2}^{2}=\frac{(12-15,4)^2+(17-15,4)^2+\ldots+(18-15,4)^2}{5-1}= 9,8$$
$$s_{3}^{2}=\frac{(14-17,6)^2+\ldots+(19-17,6)^2}{4}=4,3$$
$$s_{4}^{2}=\frac{(19-21,6)^2+\ldots+(23-21,6)^2}{4}= 6,8$$
$$s_{5}^{2}=\frac{(7-10,8)^2+\ldots+(11-10,8)^2}{4}=8,2.$$
Então, temos que
$$s^{2}_{p}=\frac{4*(11,2)+4*(9,8)+4*(4,3)+4*(6,8)+4*(8,2)}{25-5}=8,06$$
Logo,
$$q=\left[20*\ln(8,06)\right]- 4*\left[\ln(11,2)~+~\ln(9,8)~+~\ln(4,3)~+~\ln(6,8)~+~\ln(8,2)\right]$$
$$=41,7383~-~40,7119$$
$$=1,0264$$
Temos também que
$$c=1+\frac{1}{3*4}\left[\frac{5}{4}-\frac{1}{20}\right]$$
$$=1,10$$
Então, a estatística do teste
$$B_0=1,0264/1,10=0,93$$
Como $Q_{[0,95; 4]}=9,49$, não rejeitamos a hipótese de que todas as variância são iguais.
O p-valor para o teste de Bartlett é
$$P-\mbox{valor}=P[~\chi^{2}_{(k-1)}~\textgreater~B_0~\mid~H_0~]~=~P[~\chi^{2}_{(k-1)}~\textgreater~0,93~\mid~H_0~]~=~0,92$$
Como o p-valor está acima de 5% não rejeitamos a hipótese $H_0$.
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Este procedimento consiste em fazer uma transformação dos dados originais e aplicar aos dados transformados o teste da ANOVA. Levene (1960) propôs a seguinte transformação:
$$z_{ij}~=~\mid x_{ij} - \overline{x}_{i.}\mid~,~~i~=~1, \cdots,k,~~\mbox{e}~~j~=~1, \cdots, n_i$$
onde
Uma transformação (robusta) alternativa considerada para o procedimento de Levene, proposto por Brown (1974), é substituir a média do nível pela mediana.
Para obter a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de dados for ímpar, a mediana será o dado central. Se o número de dados for par, a mediana será a média aritmética dos dois dados centrais.
Com isso, a expressão a seguir é substituída por
$$z_{ij}~=~\mid x_{ij}-\tilde{x}_{i.}\mid~,~~i~=~1,\cdots, k,~~\mbox{e}~~j=1,\cdots,n_i\quad (1.6.1.1)$$
em que
Com isso, temos a seguinte estatística:
$$F^*=\dfrac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\frac{n_{i}(\overline{z}_{i.}-\overline{z}_{..})^2}{(k-1)}}{\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}(z_{ij}-\overline{z}_{i.})^2}{\displaystyle\sum^k_{i=1}(n_i-1)}}$$
em que, $\overline{z}_{i.}=\displaystyle\sum^k_{i=1}\frac{z_{ij}}{n_i}$ e $\overline{z}_{..}=\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}z_{ij}}{\displaystyle\sum^k_{i=1}n_i}$
Após a transformação dos dados originais pela expressão (1.6.1.1), aplicamos o teste da ANOVA. Se a estatística F for significativa rejeitamos a hipótese de igualdade das variâncias.
Teste de Levene para os dados do Exemplo 1.
Usando a expressão (1.6.1.1 ), obtemos a seguinte tabela, com os dados transformados.
Algodão % | Resistência da Fibra | ||||
15 | 2 | 2 | 6 | 2 | 0 |
20 | 5 | 0 | 5 | 1 | 1 |
25 | 4 | 0 | 0 | 1 | 1 |
30 | 3 | 3 | 0 | 3 | 1 |
35 | 4 | 1 | 0 | 4 | 0 |
Tabela: Dados transformados para a resistência da fibra.
Fator | Resistência da Fibra |
15 | 2 |
15 | 2 |
15 | 6 |
15 | 2 |
15 | 0 |
20 | 5 |
20 | 0 |
20 | 5 |
20 | 1 |
20 | 1 |
25 | 4 |
25 | 0 |
25 | 0 |
25 | 1 |
25 | 1 |
30 | 3 |
30 | 3 |
30 | 0 |
30 | 3 |
30 | 1 |
35 | 4 |
35 | 1 |
35 | 0 |
35 | 4 |
35 | 0 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
A soma de quadrados é dada por:
$$SQT=\sum^n_{i=1} \sum^{n_i}_{j=1}y_{ij}^{2}-\frac{y^{2}_{..}}{N}=2^2 + 2^2+ 6^2 + 2^2+ 0^2+ 5^2+ \ldots+4^2+0^2-\frac{49^2}{25}=$$
$$=179-96,04 = 82,96$$
$$SQA=\sum^n_{i=1}\frac{1}{n_i}y_i^{2}-\frac{y^{2}_{..}}{N}= \frac{1}{5}[12^2+12^2+6^2+10^2+9^2]- \frac{49^2}{25} = 101-96,04=4,96$$
$$SQE=SQT-SQA=82,96-4,96=78$$
Como o p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
Tabela: Análise de Variância para os dados transformados.
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Dados brutos:
Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1.
Fator | Resistencia_da_Fibra |
15 | 7 |
15 | 7 |
15 | 15 |
15 | 11 |
15 | 9 |
20 | 12 |
20 | 17 |
20 | 12 |
20 | 18 |
20 | 18 |
25 | 14 |
25 | 18 |
25 | 18 |
25 | 19 |
25 | 19 |
30 | 19 |
30 | 25 |
30 | 22 |
30 | 19 |
30 | 23 |
35 | 7 |
35 | 10 |
35 | 11 |
35 | 15 |
35 | 11 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Como o p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.
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