1.6.1 - Teste de igualdade das Variâncias

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Para o modelo heterocedástico, vamos inicialmente testar as hipóteses

~\mbox{pelo menos um}~\sigma_i^2~\mbox{é diferente,} \quad i=1,\ldots,k.\\\end{array}\right.$$

Os métodos mais utilizados são os testes de Cochran, Bartlett e de Levene.

Teste de Cochran (Homogeneidade de Variância)

O teste de Cochran compara a maior variância com as demais. Para aplicarmos o teste de Cochran, vamos assumir que o experimento é balanceado $ n_1=n_2= \cdots = n_k =n $ e seguir as seguintes etapas:

  • Etapa 1 - Calcular a Estatística

$$C~=~\cfrac{s^2_{max}}{\displaystyle\sum^{k}_{i=1}s^2_i}~=~\cfrac{\mbox{maior variância}}{\mbox{soma de todas as variâncias}},$$

em que

  • k: representa o número de níveis do fator;
  • s2i: representa a variância amostral. $ s^2_i~=~\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum^{n}_{j=1}(y_{ij}~-~\overline{y}_i)^2; $
  • n: representa o número de medidas em cada nível do fator.

 

  • Etapa 2 - Comparar com valor tabelado. 

Exemplo 1.6.1.1:

Um laboratório de metrologia contratou um novo metrologista que passou por diversos treinamentos para integrar a equipe. Antes de liberarmos o metrologista para realizar o procedimento de calibração, realizamos um teste para comparar a variabilidade das medições do metrologista novato com os demais metrologistas do laboratório. Em um experimento completamente aleatorizado, um bloco padrão de 50mm foi medido 5 vezes por cada metrologista. As medições estão na tabela a seguir.

  Metrologistas
  João Novato Moacir Roberto
Medida 1 50,0071 50,007 50,0072 50,0073
Medida 2 50,0072 50,0076 50,0074 50,0074
Medida 3 50,0072 50,0075 50,0073 50,0073
Medida 4 50,0071 50,0071 50,0072 50,0072
Medida 5 50,0072 50,0078 50,0072 50,0072
Média 50,00716 50,0074 50,00726 50,00728
Desvio Padrão 0,000055 0,00034 0,000089 0,000084
Variância 0,000000003 0,000000115 0,000000008 0,000000007

Neste caso, temos como objetivo comparar a variabilidade encontrada entre os diversos metrologistas. Observamos que $ S^2_{max}~=~0,000000115 $. Logo

$$C_{\mbox{calculado}}~=~\frac{0,000000115}{0,000000003~+~0,000000115~+~0,000000008~+~0,000000007}~=~0,864.$$

$ C_{tabelado} $ (Tabela C, para $ 5\% $ de significância) =0,629. Portanto, como $ C_{calculado}\textgreater C_{tabelado} $, a variância do metrologista Novato não é homogênea em relação a dos demais metrologistas.

Número
de Grupos		 Tamanho do grupo (réplicas)
2 3 4 5 6
2 - 0,975 0,939 0,906 0,877
3 0,967 0,871 0,798 0,746 0,707
4 0,906 0,768 0,684 0,629 0,69
5 0,841 0,684 0,598 0,544 0,506
6 0,781 0,616 0,532 0,48 0,445
7 0,727 0,561 0,48 0,431 0,397
8 0,68 0,516 0,438 0,391 0,3

Tabela C: Valor tabelado para nível de significância 5%.

Teste de Bartlett

A estatística do teste proposta por Bartlett é dada por

$$B_{0}=\frac{q}{c}$$

em que

$$q=(N-k)*\ln s^{2}_{p}-\sum^k_{i=1}\left[(n_{i}-1)*\ln s^{2}_{i}\right]$$

$$c=1+\frac{1}{3(k-1) } \left(\sum^k_{i=1} \frac{1}{n_i -1}-\frac{1}{N-k} \right)$$

$$s^{2}_{p}=\frac{1}{N-k}\displaystyle\sum^k_{i=1} (n_{i}-1)s^{2}_{i}}~~~~~\mbox{e}~~~~~s^{2}_{i}=\displaystyle\sum^{n_i}_{j=1} \frac{(y_{ij}-\overline{y}_{i.})^{2}}{n_{i}-1}$$

Sob $ H_0 $ (igualdade das variâncias) sabemos que $ B_0 $ tem distribuição assintótica qui-quadrado com $ k-1 $ graus de liberdade. Desta forma, rejeitamos $ \mbox{H}_0 $ se $ B_0\textgreater Q_{[1 - \alpha; k-1]}, $ no qual $ Q_{[1 - \alpha ; k-1]} $ representa o quantil $ (1-\alpha )*100\% $ da distribuição qui-quadrado com (k-1) graus de liberdade. Além disso, o P-valor é calculado por

$ P-\mbox{valor}=P[~\chi^{2}_{(k-1)}~ $>$ ~B_0~\mid~H_0~] $

O teste de Bartlett é sensível em relação a hipótese de normalidade dos dados. Se rejeitarmos a hipótese de normalidade, é melhor utilizarmos o teste proposto por Levene. Porém, se a hipótese de normalidade não for violada, o teste proposto por Bartlett tem um comportamento melhor que o teste proposto por Levene.

Exemplo 1.6.1.1: 

Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1.

Fator Resistencia_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

As variâncias amostrais são

$$s_{1}^{2}=\frac{(7-9,8)^2+(7-9,8)^2+ (15-9,8)^2+ (11-9,8)^2+ (9-9,8)^2}{5-1}= \frac{44,8}{4}=11,2$$

$$s_{2}^{2}=\frac{(12-15,4)^2+(17-15,4)^2+\ldots+(18-15,4)^2}{5-1}= 9,8$$

$$s_{3}^{2}=\frac{(14-17,6)^2+\ldots+(19-17,6)^2}{4}=4,3$$

$$s_{4}^{2}=\frac{(19-21,6)^2+\ldots+(23-21,6)^2}{4}= 6,8$$

$$s_{5}^{2}=\frac{(7-10,8)^2+\ldots+(11-10,8)^2}{4}=8,2.$$

Então, temos que

$$s^{2}_{p}=\frac{4*(11,2)+4*(9,8)+4*(4,3)+4*(6,8)+4*(8,2)}{25-5}=8,06$$

Logo,

$$q=\left[20*\ln(8,06)\right]- 4*\left[\ln(11,2)~+~\ln(9,8)~+~\ln(4,3)~+~\ln(6,8)~+~\ln(8,2)\right]$$

$$=41,7383~-~40,7119$$

$$=1,0264$$

Temos também que

$$c=1+\frac{1}{3*4}\left[\frac{5}{4}-\frac{1}{20}\right]$$

$$=1,10$$

Então, a estatística do teste

$$B_0=1,0264/1,10=0,93$$

Como $ Q_{[0,95; 4]}=9,49 $, não rejeitamos a hipótese de que todas as variância são iguais.

O p-valor para o teste de Bartlett é

$$P-\mbox{valor}=P[~\chi^{2}_{(k-1)}~\textgreater~B_0~\mid~H_0~]~=~P[~\chi^{2}_{(k-1)}~\textgreater~0,93~\mid~H_0~]~=~0,92$$

Conclusão:

Como o p-valor está acima de 5% não rejeitamos a hipótese $ H_0 $.

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

 

 

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Teste de Levene

Este procedimento consiste em fazer uma transformação dos dados originais e aplicar aos dados transformados o teste da ANOVA. Levene (1960) propôs a seguinte transformação:

$$z_{ij}~=~\mid x_{ij} - \overline{x}_{i.}\mid~,~~i~=~1, \cdots,k,~~\mbox{e}~~j~=~1, \cdots, n_i$$

onde

  • $ z_{ij} $: representa os dados após transformação;
  • $ x_{ij} $: representa os dados originais; e
  • $ \overline{x}_{i.} $: representa a média do nível $ i $, para os dados originais.

Uma transformação (robusta) alternativa considerada para o procedimento de Levene, proposto por Brown (1974), é substituir a média do nível pela mediana.

Para obter a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de dados for ímpar, a mediana será o dado central. Se o número de dados for par, a mediana será a média aritmética dos dois dados centrais.

Com isso, a expressão a seguir é substituída por

$$z_{ij}~=~\mid x_{ij}-\tilde{x}_{i.}\mid~,~~i~=~1,\cdots, k,~~\mbox{e}~~j=1,\cdots,n_i\quad (1.6.1.1)$$

 

em que

  • $ z_{ij} $: representa os dados após transformação;
  • $ x_{ij} $: representa os dados originais; e
  • $ \tilde{x}_{i.} $: representa a mediana do nível $ i $, para os dados originais.

Com isso, temos a seguinte estatística:

$$F^*=\dfrac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\frac{n_{i}(\overline{z}_{i.}-\overline{z}_{..})^2}{(k-1)}}{\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}(z_{ij}-\overline{z}_{i.})^2}{\displaystyle\sum^k_{i=1}(n_i-1)}}$$

em que, $ \overline{z}_{i.}=\displaystyle\sum^k_{i=1}\frac{z_{ij}}{n_i} $ e  $ \overline{z}_{..}=\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}z_{ij}}{\displaystyle\sum^k_{i=1}n_i} $

Após a transformação dos dados originais pela expressão (1.6.1.1), aplicamos o teste da ANOVA. Se a estatística F for significativa rejeitamos a hipótese de igualdade das variâncias.

Teste de Levene para os dados do Exemplo 1.

Usando a expressão (1.6.1.1 ), obtemos a seguinte tabela, com os dados transformados.

Algodão % Resistência da Fibra
15 2 2 6 2 0
20 5 0 5 1 1
25 4 0 0 1 1
30 3 3 0 3 1
35 4 1 0 4 0

Tabela: Dados transformados para a resistência da fibra.

 

Fator Resistência da Fibra
15 2
15 2
15 6
15 2
15 0
20 5
20 0
20 5
20 1
20 1
25 4
25 0
25 0
25 1
25 1
30 3
30 3
30 0
30 3
30 1
35 4
35 1
35 0
35 4
35 0

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

A soma de quadrados é dada por:

$$SQT=\sum^n_{i=1} \sum^{n_i}_{j=1}y_{ij}^{2}-\frac{y^{2}_{..}}{N}=2^2 + 2^2+ 6^2 + 2^2+ 0^2+ 5^2+ \ldots+4^2+0^2-\frac{49^2}{25}=$$

$$=179-96,04 = 82,96$$
$$SQA=\sum^n_{i=1}\frac{1}{n_i}y_i^{2}-\frac{y^{2}_{..}}{N}= \frac{1}{5}[12^2+12^2+6^2+10^2+9^2]- \frac{49^2}{25} = 101-96,04=4,96$$
$$SQE=SQT-SQA=82,96-4,96=78$$

Conclusão:

Como o p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

Tabela: Análise de Variância para os dados transformados.

 

 

 

 
 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. 

 

Dados brutos:

Exemplo 1.6.1.1: 

Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1.

Fator Resistencia_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

Conclusão:

Como o p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.

 

 

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