1.6.1 - Teste de igualdade das Variâncias

 

Para o modelo heterocedástico, vamos inicialmente testar as hipóteses

$$\left\{\begin{array}{ll}H_0:\sigma^2_1=\sigma^2_2 = ... =\sigma^2_k\\H_1:~\mbox{pelo menos um}~\sigma_i^2~\mbox{é diferente,} \quad i=1,\ldots,k.\\\end{array}\right.$$

Os métodos mais utilizados são os testes de Cochran, Bartlett e de Levene.

Teste de Cochran (Homogeneidade de Variância)

O teste de Cochran compara a maior variância com as demais. Para aplicarmos o teste de Cochran, vamos assumir que o experimento é balanceado $n_1=n_2= \cdots = n_k =n$ e seguir as seguintes etapas:

• Etapa 1 - Calcular a Estatística

$$C~=~\cfrac{s^2_{max}}{\displaystyle\sum^{k}_{i=1}s^2_i}~=~\cfrac{\mbox{maior variância}}{\mbox{soma de todas as variâncias}},$$

em que

• k: representa o número de níveis do fator;
• s²_i: representa a variância amostral. $s^2_i~=~\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum^{n}_{j=1}(y_{ij}~-~\overline{y}_i)^2;$

• n: representa o número de medidas em cada nível do fator.

 

• Etapa 2 - Comparar com valor tabelado. 

Exemplo 1.6.1.1:

Um laboratório de metrologia contratou um novo metrologista que passou por diversos treinamentos para integrar a equipe. Antes de liberarmos o metrologista para realizar o procedimento de calibração, realizamos um teste para comparar a variabilidade das medições do metrologista novato com os demais metrologistas do laboratório. Em um experimento completamente aleatorizado, um bloco padrão de 50mm foi medido 5 vezes por cada metrologista. As medições estão na tabela a seguir.

	Metrologistas
	João	Novato	Moacir	Roberto
Medida 1	50,0071	50,007	50,0072	50,0073
Medida 2	50,0072	50,0076	50,0074	50,0074
Medida 3	50,0072	50,0075	50,0073	50,0073
Medida 4	50,0071	50,0071	50,0072	50,0072
Medida 5	50,0072	50,0078	50,0072	50,0072
Média	50,00716	50,0074	50,00726	50,00728
Desvio Padrão	0,000055	0,00034	0,000089	0,000084
Variância	0,000000003	0,000000115	0,000000008	0,000000007

Neste caso, temos como objetivo comparar a variabilidade encontrada entre os diversos metrologistas. Observamos que $S^2_{max}~=~0,000000115$. Logo

$$C_{\mbox{calculado}}~=~\frac{0,000000115}{0,000000003~+~0,000000115~+~0,000000008~+~0,000000007}~=~0,864.$$

$C_{tabelado}$ (Tabela C, para $5\%$ de significância) =0,629. Portanto, como $C_{calculado}\textgreater C_{tabelado}$, a variância do metrologista Novato não é homogênea em relação a dos demais metrologistas.

Número de Grupos	Tamanho do grupo (réplicas)
	2	3	4	5	6
2	-	0,975	0,939	0,906	0,877
3	0,967	0,871	0,798	0,746	0,707
4	0,906	0,768	0,684	0,629	0,69
5	0,841	0,684	0,598	0,544	0,506
6	0,781	0,616	0,532	0,48	0,445
7	0,727	0,561	0,48	0,431	0,397
8	0,68	0,516	0,438	0,391	0,3

Tabela C: Valor tabelado para nível de significância 5%.

Teste de Bartlett

A estatística do teste proposta por Bartlett é dada por

$$B_{0}=\frac{q}{c}$$

em que

$$q=(N-k)*\ln s^{2}_{p}-\sum^k_{i=1}\left[(n_{i}-1)*\ln s^{2}_{i}\right]$$

$$c=1+\frac{1}{3(k-1) } \left(\sum^k_{i=1} \frac{1}{n_i -1}-\frac{1}{N-k} \right)$$

$$s^{2}_{p}=\frac{1}{N-k}\displaystyle\sum^k_{i=1} (n_{i}-1)s^{2}_{i}}~~~~~\mbox{e}~~~~~s^{2}_{i}=\displaystyle\sum^{n_i}_{j=1} \frac{(y_{ij}-\overline{y}_{i.})^{2}}{n_{i}-1}$$

Sob $H_0$ (igualdade das variâncias) sabemos que $B_0$ tem distribuição assintótica qui-quadrado com $k-1$ graus de liberdade. Desta forma, rejeitamos $\mbox{H}_0$ se $B_0\textgreater Q_{[1 - \alpha; k-1]},$ no qual $Q_{[1 - \alpha ; k-1]}$ representa o quantil $(1-\alpha )*100\%$ da distribuição qui-quadrado com (k-1) graus de liberdade. Além disso, o P-valor é calculado por

$P-\mbox{valor}=P[~\chi^{2}_{(k-1)}~$>$~B_0~\mid~H_0~]$

O teste de Bartlett é sensível em relação a hipótese de normalidade dos dados. Se rejeitarmos a hipótese de normalidade, é melhor utilizarmos o teste proposto por Levene. Porém, se a hipótese de normalidade não for violada, o teste proposto por Bartlett tem um comportamento melhor que o teste proposto por Levene.

Exemplo 1.6.1.1: 

Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1.

Fator	Resistencia_da_Fibra
15	7
15	7
15	15
15	11
15	9
20	12
20	17
20	12
20	18
20	18
25	14
25	18
25	18
25	19
25	19
30	19
30	25
30	22
30	19
30	23
35	7
35	10
35	11
35	15
35	11

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

As variâncias amostrais são

$$s_{1}^{2}=\frac{(7-9,8)^2+(7-9,8)^2+ (15-9,8)^2+ (11-9,8)^2+ (9-9,8)^2}{5-1}= \frac{44,8}{4}=11,2$$

$$s_{2}^{2}=\frac{(12-15,4)^2+(17-15,4)^2+\ldots+(18-15,4)^2}{5-1}= 9,8$$

$$s_{3}^{2}=\frac{(14-17,6)^2+\ldots+(19-17,6)^2}{4}=4,3$$

$$s_{4}^{2}=\frac{(19-21,6)^2+\ldots+(23-21,6)^2}{4}= 6,8$$

$$s_{5}^{2}=\frac{(7-10,8)^2+\ldots+(11-10,8)^2}{4}=8,2.$$

Então, temos que

$$s^{2}_{p}=\frac{4*(11,2)+4*(9,8)+4*(4,3)+4*(6,8)+4*(8,2)}{25-5}=8,06$$

Logo,

$$q=\left[20*\ln(8,06)\right]- 4*\left[\ln(11,2)~+~\ln(9,8)~+~\ln(4,3)~+~\ln(6,8)~+~\ln(8,2)\right]$$

$$=41,7383~-~40,7119$$

$$=1,0264$$

Temos também que

$$c=1+\frac{1}{3*4}\left[\frac{5}{4}-\frac{1}{20}\right]$$

$$=1,10$$

Então, a estatística do teste

$$B_0=1,0264/1,10=0,93$$

Como $Q_{[0,95; 4]}=9,49$, não rejeitamos a hipótese de que todas as variância são iguais.

O p-valor para o teste de Bartlett é

$$P-\mbox{valor}=P[~\chi^{2}_{(k-1)}~\textgreater~B_0~\mid~H_0~]~=~P[~\chi^{2}_{(k-1)}~\textgreater~0,93~\mid~H_0~]~=~0,92$$

Conclusão:

Como o p-valor está acima de 5% não rejeitamos a hipótese $H_0$.

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

 

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Teste de Levene

Este procedimento consiste em fazer uma transformação dos dados originais e aplicar aos dados transformados o teste da ANOVA. Levene (1960) propôs a seguinte transformação:

$$z_{ij}~=~\mid x_{ij} - \overline{x}_{i.}\mid~,~~i~=~1, \cdots,k,~~\mbox{e}~~j~=~1, \cdots, n_i$$

onde

• $z_{ij}$: representa os dados após transformação;
• $x_{ij}$: representa os dados originais; e
• $\overline{x}_{i.}$: representa a média do nível $i$, para os dados originais.

Uma transformação (robusta) alternativa considerada para o procedimento de Levene, proposto por Brown (1974), é substituir a média do nível pela mediana.

Para obter a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de dados for ímpar, a mediana será o dado central. Se o número de dados for par, a mediana será a média aritmética dos dois dados centrais.

Com isso, a expressão a seguir é substituída por

$$z_{ij}~=~\mid x_{ij}-\tilde{x}_{i.}\mid~,~~i~=~1,\cdots, k,~~\mbox{e}~~j=1,\cdots,n_i\quad (1.6.1.1)$$ 

em que

• $z_{ij}$: representa os dados após transformação;
• $x_{ij}$: representa os dados originais; e
• $\tilde{x}_{i.}$: representa a mediana do nível $i$, para os dados originais.

Com isso, temos a seguinte estatística:

$$F^*=\dfrac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\frac{n_{i}(\overline{z}_{i.}-\overline{z}_{..})^2}{(k-1)}}{\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}(z_{ij}-\overline{z}_{i.})^2}{\displaystyle\sum^k_{i=1}(n_i-1)}}$$

em que, $\overline{z}_{i.}=\displaystyle\sum^k_{i=1}\frac{z_{ij}}{n_i}$ e  $\overline{z}_{..}=\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}z_{ij}}{\displaystyle\sum^k_{i=1}n_i}$

Após a transformação dos dados originais pela expressão (1.6.1.1), aplicamos o teste da ANOVA. Se a estatística F for significativa rejeitamos a hipótese de igualdade das variâncias.

Teste de Levene para os dados do Exemplo 1.

Usando a expressão (1.6.1.1 ), obtemos a seguinte tabela, com os dados transformados.

Algodão %	Resistência da Fibra
15	2	2	6	2	0
20	5	0	5	1	1
25	4	0	0	1	1
30	3	3	0	3	1
35	4	1	0	4	0

Tabela: Dados transformados para a resistência da fibra.

 

Fator	Resistência da Fibra
15	2
15	2
15	6
15	2
15	0
20	5
20	0
20	5
20	1
20	1
25	4
25	0
25	0
25	1
25	1
30	3
30	3
30	0
30	3
30	1
35	4
35	1
35	0
35	4
35	0

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

A soma de quadrados é dada por:
$$SQT=\sum^n_{i=1} \sum^{n_i}_{j=1}y_{ij}^{2}-\frac{y^{2}_{..}}{N}=2^2 + 2^2+ 6^2 + 2^2+ 0^2+ 5^2+ \ldots+4^2+0^2-\frac{49^2}{25}=$$
$$=179-96,04 = 82,96$$

$$SQA=\sum^n_{i=1}\frac{1}{n_i}y_i^{2}-\frac{y^{2}_{..}}{N}= \frac{1}{5}[12^2+12^2+6^2+10^2+9^2]- \frac{49^2}{25} = 101-96,04=4,96$$

$$SQE=SQT-SQA=82,96-4,96=78$$

Conclusão:

Como o p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

Tabela: Análise de Variância para os dados transformados.

 

 

 

Dados brutos:

Exemplo 1.6.1.1: 

Aplicar o teste de Bartlett para os dados do Exemplo 1.1.

Fator	Resistencia_da_Fibra
15	7
15	7
15	15
15	11
15	9
20	12
20	17
20	12
20	18
20	18
25	14
25	18
25	18
25	19
25	19
30	19
30	25
30	22
30	19
30	23
35	7
35	10
35	11
35	15
35	11

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

Conclusão:

Como o p-valor é maior que 5%, não temos evidências para rejeitar a hipótese de igualdade de variâncias.