1.6.2 Teste de Welch

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Suponha que realizamos o teste de igualdade da variância e rejeitamos a hipótese $ H_0 $. Neste caso, estamos interessados em realizar o teste de igualdade das médias


\mbox{pelo menos uma média é diferente}\\\end{array}\right.$$

no modelo heterocedástico. Porém, o teste $ F $ da ANOVA tem como hipótese a igualdade entre as variâncias, que não é válida neste caso. Entretanto, se os dados são balanceados $ (n_1=n_2=\cdots=n_k) $, o teste $ F $ da ANOVA é robusto em relação a desigualdade das variâncias e pode ser aplicado.

A seguir, apresentamos um teste proposto por Welch (1951) para testar a hipótese $ H_0 $ na presença de variâncias desiguais. Consideremos:

  • $ n_i $ o número de elementos de cada amostra;
  • $ \overline{y}_{i.} $ a média de cada amostra; e
  • $ s_i^2 $ a variância amostral.

Mais,


$$w_i = \frac{n_i}{s_i^2}$$


$$\overline{y}^*=\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}w_i \overline{y}_{i.}}{\displaystyle\sum_{i=1}^k w_i}$$


$$\Omega =\sum_{i=1}^k \frac{\left(1 - \displaystyle\frac{w_i}{\sum_{i=1}^k w_i}\right)^2}{n_i - 1}. $$

Conforme Welch (1951) a estatística do teste é:


$$F_c=\frac{\sum\limits_{i=1}^k w_i \displaystyle\frac{(\overline{y}_{i.}-\bar{y}^*)^2}{k - 1}}{1 + \displaystyle\frac{2(k-2)\Omega}{k^2-1}}\sim F(\nu_1, \nu_2).$$

Os graus de liberdade da distribuição F, são:


$$\nu_1 = k -1 \text{ e } \nu_2 = \frac{k^2 - 1}{3 \Omega}.$$

Assim, rejeitamos a hipótese nula ($ H_0 $) se $ F_c \textgreater F_{(1-\alpha,\,\nu_1,\,\nu_2)}. $ Além disso, o p-valor é $ P[F_{(\nu_1, \, \nu_2)} \textgreater F_c]. $

Exemplo 1.6.2.1:

 Um experimento foi conduzido para verificar a influência de duas drogas no tratamento de câncer. Foram utilizados 29 ratos, que foram divididos em 4 grupos, sendo que:

  • Os ratos do Grupo 1 (controle), tomaram placebo;
  • Os ratos do Grupo 2 tomaram a droga A;
  • Os ratos do Grupo 3 tomaram a droga B; e
  • Os ratos do Grupo 4 tomaram as drogas A e B.

A contagem de células que tiveram melhora, após o tratamento com as drogas, está representada na tabela abaixo:

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
1 12 12 13
8 10 4 14
9 13 11 14
9 13 7 17
4 12 8 11
0 10 10 14
1   12 13
    5 14

Para esses dados, testar as hipóteses:


\mbox{pelo menos uma média é diferente}\\\end{array}\right.$$

Na tabela a seguir temos algumas medidas referente aos dados:

  Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
$ \vm{n_i} $ 7 6 8 8
$ \vm{\overline{y}_.} $ 4,57 11,67 8,63 13,75
$ \vm{S_i^2} $ 16,29 1,87 9,70 2,79
$ \vm{w_i} $ 0,43 3,21 0,83 2,87

Como neste exemplo k = 4, temos


$$F_c=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{41,71}{3}}{1+\displaystyle\frac{2*2*0,376}{15}}=12,63.$$

O valor tabelado da distribuição F é $ F_{(0,05;3;13,3)}=3,38. $

Como $ F_c\textgreater F_{(1-\alpha,\nu_1, \nu_2)} $ rejeitamos $ H_0 $ para $ \alpha=0,05. $

O p-valor é $ P[F_{(\nu_1,\nu_2)}\textgreater F_c]=0,00034\textless\textless\alpha. $

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

ANOVA

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