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Suponha que realizamos o teste de igualdade da variância e rejeitamos a hipótese $H_0$. Neste caso, estamos interessados em realizar o teste de igualdade das médias
$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{H}_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}=...=\mu_{k}\\\mbox{H}_{1}:\mbox{pelo menos uma média é diferente}\\\end{array}\right.$$
no modelo heterocedástico. Porém, o teste $F$ da ANOVA tem como hipótese a igualdade entre as variâncias, que não é válida neste caso. Entretanto, se os dados são balanceados $(n_1=n_2=\cdots=n_k)$, o teste $F$ da ANOVA é robusto em relação a desigualdade das variâncias e pode ser aplicado.
A seguir, apresentamos um teste proposto por Welch (1951) para testar a hipótese $H_0$ na presença de variâncias desiguais. Consideremos:
Mais,
$$w_i = \frac{n_i}{s_i^2}$$
$$\overline{y}^*=\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}w_i \overline{y}_{i.}}{\displaystyle\sum_{i=1}^k w_i}$$
$$\Omega =\sum_{i=1}^k \frac{\left(1 - \displaystyle\frac{w_i}{\sum_{i=1}^k w_i}\right)^2}{n_i - 1}. $$
Conforme Welch (1951) a estatística do teste é:
$$F_c=\frac{\sum\limits_{i=1}^k w_i \displaystyle\frac{(\overline{y}_{i.}-\bar{y}^*)^2}{k - 1}}{1 + \displaystyle\frac{2(k-2)\Omega}{k^2-1}}\sim F(\nu_1, \nu_2).$$
Os graus de liberdade da distribuição F, são:
$$\nu_1 = k -1 \text{ e } \nu_2 = \frac{k^2 - 1}{3 \Omega}.$$
Assim, rejeitamos a hipótese nula ($H_0$) se $F_c \textgreater F_{(1-\alpha,\,\nu_1,\,\nu_2)}.$ Além disso, o p-valor é $P[F_{(\nu_1, \, \nu_2)} \textgreater F_c].$
Um experimento foi conduzido para verificar a influência de duas drogas no tratamento de câncer. Foram utilizados 29 ratos, que foram divididos em 4 grupos, sendo que:
A contagem de células que tiveram melhora, após o tratamento com as drogas, está representada na tabela abaixo:
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Grupo 1 | Grupo 2 | Grupo 3 | Grupo 4 |
1 | 12 | 12 | 13 |
8 | 10 | 4 | 14 |
9 | 13 | 11 | 14 |
9 | 13 | 7 | 17 |
4 | 12 | 8 | 11 |
0 | 10 | 10 | 14 |
1 | 12 | 13 | |
5 | 14 |
Para esses dados, testar as hipóteses:
$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox {H}_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=\mu_{4}\\\mbox{H}_{1}:\mbox{pelo menos uma média é diferente}\\\end{array}\right.$$
Na tabela a seguir temos algumas medidas referente aos dados:
Grupo 1 | Grupo 2 | Grupo 3 | Grupo 4 | |
$\vm{n_i}$ | 7 | 6 | 8 | 8 |
$\vm{\overline{y}_.}$ | 4,57 | 11,67 | 8,63 | 13,75 |
$\vm{S_i^2}$ | 16,29 | 1,87 | 9,70 | 2,79 |
$\vm{w_i}$ | 0,43 | 3,21 | 0,83 | 2,87 |
Como neste exemplo k = 4, temos
$$F_c=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{41,71}{3}}{1+\displaystyle\frac{2*2*0,376}{15}}=12,63.$$
O valor tabelado da distribuição F é $F_{(0,05;3;13,3)}=3,38.$
Como $F_c\textgreater F_{(1-\alpha,\nu_1, \nu_2)}$ rejeitamos $H_0$ para $\alpha=0,05.$
O p-valor é $P[F_{(\nu_1,\nu_2)}\textgreater F_c]=0,00034\textless\textless\alpha.$
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