1.6.2 Teste de Welch

Suponha que realizamos o teste de igualdade da variância e rejeitamos a hipótese $H_0$. Neste caso, estamos interessados em realizar o teste de igualdade das médias

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{H}_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}=...=\mu_{k}\\\mbox{H}_{1}:\mbox{pelo menos uma média é diferente}\\\end{array}\right.$$

no modelo heterocedástico. Porém, o teste $F$ da ANOVA tem como hipótese a igualdade entre as variâncias, que não é válida neste caso. Entretanto, se os dados são balanceados $(n_1=n_2=\cdots=n_k)$, o teste $F$ da ANOVA é robusto em relação a desigualdade das variâncias e pode ser aplicado.

A seguir, apresentamos um teste proposto por Welch (1951) para testar a hipótese $H_0$ na presença de variâncias desiguais. Consideremos:

• $n_i$ o número de elementos de cada amostra;
• $\overline{y}_{i.}$ a média de cada amostra; e
• $s_i^2$ a variância amostral.

Mais,

$$w_i = \frac{n_i}{s_i^2}$$

$$\overline{y}^*=\frac{\displaystyle\sum^k_{i=1}w_i \overline{y}_{i.}}{\displaystyle\sum_{i=1}^k w_i}$$

$$\Omega =\sum_{i=1}^k \frac{\left(1 - \displaystyle\frac{w_i}{\sum_{i=1}^k w_i}\right)^2}{n_i - 1}. $$

Conforme Welch (1951) a estatística do teste é:

$$F_c=\frac{\sum\limits_{i=1}^k w_i \displaystyle\frac{(\overline{y}_{i.}-\bar{y}^*)^2}{k - 1}}{1 + \displaystyle\frac{2(k-2)\Omega}{k^2-1}}\sim F(\nu_1, \nu_2).$$

Os graus de liberdade da distribuição F, são:

$$\nu_1 = k -1 \text{ e } \nu_2 = \frac{k^2 - 1}{3 \Omega}.$$

Assim, rejeitamos a hipótese nula ($H_0$) se $F_c \textgreater F_{(1-\alpha,\,\nu_1,\,\nu_2)}.$ Além disso, o p-valor é $P[F_{(\nu_1, \, \nu_2)} \textgreater F_c].$

Exemplo 1.6.2.1:

 Um experimento foi conduzido para verificar a influência de duas drogas no tratamento de câncer. Foram utilizados 29 ratos, que foram divididos em 4 grupos, sendo que:

• Os ratos do Grupo 1 (controle), tomaram placebo;
• Os ratos do Grupo 2 tomaram a droga A;
• Os ratos do Grupo 3 tomaram a droga B; e
• Os ratos do Grupo 4 tomaram as drogas A e B.

A contagem de células que tiveram melhora, após o tratamento com as drogas, está representada na tabela abaixo:

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para esses dados, testar as hipóteses:

$$\left\{\begin{array}{ll}\mbox {H}_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=\mu_{4}\\\mbox{H}_{1}:\mbox{pelo menos uma média é diferente}\\\end{array}\right.$$

Na tabela a seguir temos algumas medidas referente aos dados:

Como neste exemplo k = 4, temos

$$F_c=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{41,71}{3}}{1+\displaystyle\frac{2*2*0,376}{15}}=12,63.$$

O valor tabelado da distribuição F é $F_{(0,05;3;13,3)}=3,38.$

Como $F_c\textgreater F_{(1-\alpha,\nu_1, \nu_2)}$ rejeitamos $H_0$ para $\alpha=0,05.$

O p-valor é $P[F_{(\nu_1,\nu_2)}\textgreater F_c]=0,00034\textless\textless\alpha.$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.