2.1 - Método Cruzado (Crossed)

O experimento cruzado com dois fatores e interação é o modelo clássico de RR. Tipicamente, os dois fatores são referidos como "peças" e "operadores". Neste capítulo consideramos experimentos balanceados, em que ambos fatores são aleatórios. Este modelo também é conhecido como componentes de variância.

Modelo

O modelo com dois fatores balanceados e com efeitos cruzados e interação é dado por

$$y_{ij}=\mu_y+\alpha_i+\gamma_{j}+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk}\\\left\{\begin{array}{c}i=1,\dots, p\\j=1,\dots,o\\k=1,\dots,r\end{array}\right.~~~~(2.1.1)$$

Para este modelo $\mu$ é um parâmetro comum a todos os tratamentos e representa a média geral dos dados, $\alpha_{i}$ e $\gamma_j$ é o efeito devido ao i-ésimo e ao j-ésimo nível do fator P  e O  e são variáveis aleatórias independentes com média zero e variâncias $\sigma^2_P$ e $\sigma^2_O$ respectivamente e $\tau_{ij}$ é a interação entre os fatores P e O, que também tem distribuição normal com média zero e variância $\sigma^2_I.$ A variável aleatória $\varepsilon_{ijk}$ corresponde ao erro aleatório experimental, isto é, a variabilidade não explicada pelo modelo devido a variações presentes em diversas fontes não consideradas no estudo. Este tem distribuição normal com média zero e variância $\sigma^2.$

Resumindo,

$$\mu=\mbox{média geral dos dados;}$$

$$\alpha_{i}=\mbox{efeito do nível i do fator P;}$$

$$\gamma_{j}=\mbox{efeito do nível j do fator O;}$$

$$\tau_{ij}=\mbox{efeito do nível ij da interação entre P e O;}$$

$$\varepsilon_{ijk}=\mbox{componente aleatória do erro.}$$

Agora, vamos desenvolver a análise de variância para o modelo de efeitos aleatórios. A partir de considerações dos dados, temos:

$$Y_{i..}=\displaystyle \sum_{j=1}^{o}\sum^r_{k=1} Y_{ijk}: \mbox{soma das observações do nível i do fator P;}$$

$$\overline{Y_{i.}}=\frac{Y_{i..}}{pr}:~\mbox{média das observações do nível i do fator P;}$$

$$Y_{.j.}=\displaystyle \sum_{i=1}^{p}\sum^r_{k=1} Y_{ijk}: \mbox{soma das observações do nível j do fator O;}$$

$$\overline{Y_{.j.}}=\frac{Y_{.j.}}{or}:~\mbox{média das observações do nível j do fator operador;}$$

$$Y_{ij.}=\displaystyle \sum^r_{k=1} Y_{ijk}: \mbox{soma das observações do nível i e j dos fatores P e O;}$$

$$\overline{Y_{ij.}}=\frac{Y_{.j.}}{or}:~\mbox{média das observações do nível i e j dos fatores P e O;}$$

$$Y_{...}=\sum^p_{i=1} \sum^{o}_{j=1}\sum^r_{k=1} Y_{ijk} :~\mbox{soma de todas as observações;}\quad \text{e}$$

$$\overline{Y_{...}}=\frac{Y_{...}}{por}: \mbox{média geral das observações}$$

Em resumo, assumimos que o erro tem distribuição Normal com média zero e variância $\sigma^{2}_{\varepsilon}$ e que os erros são mutuamente independentes. Com isso, temos que

$$\varepsilon_{ijk}\sim~N(0,\sigma^{2}_{\varepsilon}).$$

Agora, para o efeito $\alpha_i$, assumimos que tem distribuição Normal com média zero e variância $\sigma^2_{P}.$ Assumimos também que os efeitos são mutuamente independentes. Assim,

$$\alpha_{i}\sim~N(0,\sigma^{2}_{P}).$$

Para o efeito $\gamma_j$, assumimos que tem distribuição Normal com média zero e variância $\sigma^2_{O}.$ Assumimos também que os efeitos são mutuamente independentes. Assim,

$$\gamma_{j}\sim~N(0,\sigma^{2}_{O}).$$

Por fim temos que para o efeito $\tau_{ij}$, assumimos que tem distribuição Normal com média zero e variância $\sigma^2_{I}.$ Assumimos também que os efeitos são mutuamente independentes. Assim,

$$\tau_{ij}\sim~N(0,\sigma^{2}_{I}).$$  Além disso, $\alpha_i$, $\gamma_j$, $\tau_{ij}$ e $\varepsilon_{ijk}$ são independentes para todo $i,j,k$.