2.1 - Método Cruzado (Crossed)

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O experimento cruzado com dois fatores e interação é o modelo clássico de RR. Tipicamente, os dois fatores são referidos como "peças" e "operadores". Neste capítulo consideramos experimentos balanceados, em que ambos fatores são aleatórios. Este modelo também é conhecido como componentes de variância.


Modelo

O modelo com dois fatores balanceados e com efeitos cruzados e interação é dado por


$$y_{ij}=\mu_y+\alpha_i+\gamma_{j}+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk}\\\left\{\begin{array}{c}i=1,\dots, p\\j=1,\dots,o\\k=1,\dots,r\end{array}\right.~~~~(2.1.1)$$

Para este modelo $ \mu $ é um parâmetro comum a todos os tratamentos e representa a média geral dos dados, $ \alpha_{i} $ e $ \gamma_j $ é o efeito devido ao i-ésimo e ao j-ésimo nível do fator P  e O  e são variáveis aleatórias independentes com média zero e variâncias $ \sigma^2_P $ e $ \sigma^2_O $ respectivamente e $ \tau_{ij} $ é a interação entre os fatores P e O, que também tem distribuição normal com média zero e variância $ \sigma^2_I. $ A variável aleatória $ \varepsilon_{ijk} $ corresponde ao erro aleatório experimental, isto é, a variabilidade não explicada pelo modelo devido a variações presentes em diversas fontes não consideradas no estudo. Este tem distribuição normal com média zero e variância $ \sigma^2. $

Resumindo,


$$\mu=\mbox{média geral dos dados;}$$


$$\alpha_{i}=\mbox{efeito do nível i do fator P;}$$


$$\gamma_{j}=\mbox{efeito do nível j do fator O;}$$


$$\tau_{ij}=\mbox{efeito do nível ij da interação entre P e O;}$$


$$\varepsilon_{ijk}=\mbox{componente aleatória do erro.}$$

Agora, vamos desenvolver a análise de variância para o modelo de efeitos aleatórios. A partir de considerações dos dados, temos:


\mbox{soma das observações do nível i do fator P;}$$


~\mbox{média das observações do nível i do fator P;}$$


\mbox{soma das observações do nível j do fator O;}$$


~\mbox{média das observações do nível j do fator operador;}$$


\mbox{soma das observações do nível i e j dos fatores P e O;}$$


~\mbox{média das observações do nível i e j dos fatores P e O;}$$


~\mbox{soma de todas as observações;}\quad \text{e}$$


\mbox{média geral das observações}$$

Em resumo, assumimos que o erro tem distribuição Normal com média zero e variância $ \sigma^{2}_{\varepsilon} $ e que os erros são mutuamente independentes. Com isso, temos que


$$\varepsilon_{ijk}\sim~N(0,\sigma^{2}_{\varepsilon}).$$

Agora, para o efeito $ \alpha_i $, assumimos que tem distribuição Normal com média zero e variância $ \sigma^2_{P}. $ Assumimos também que os efeitos são mutuamente independentes. Assim,


$$\alpha_{i}\sim~N(0,\sigma^{2}_{P}).$$

Para o efeito $ \gamma_j $, assumimos que tem distribuição Normal com média zero e variância $ \sigma^2_{O}. $ Assumimos também que os efeitos são mutuamente independentes. Assim,


$$\gamma_{j}\sim~N(0,\sigma^{2}_{O}).$$

Por fim temos que para o efeito $ \tau_{ij} $, assumimos que tem distribuição Normal com média zero e variância $ \sigma^2_{I}. $ Assumimos também que os efeitos são mutuamente independentes. Assim,


$$\tau_{ij}\sim~N(0,\sigma^{2}_{I}).$$

  Além disso, $ \alpha_i $, $ \gamma_j $, $ \tau_{ij} $ e $ \varepsilon_{ijk} $ são independentes para todo $ i,j,k $.

 

 

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