2.1 - Modelos

Modelo para os dados

Para que possamos analisar os resultados do experimento, precisamos de um modelo que descreva os dados. Para facilitar a notação, apresentamos um modelo de dados balanceados (o número de réplicas (r) não depende do tratamento (ij)). Neste caso, tomamos:

$$Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk}~~\left\{\begin{array}{cc}i=1,\ldots,a~~~\mbox{Fator A}\\j=1,\ldots, b ~~~\mbox{Fator B}\\k=1,\ldots,r~~~\mbox{Réplica}\end{array}\right.~~~~(2.1.1)$$

restrito a

$$\alpha_{.}=\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0~,~\beta_{.}=\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0~~~(2.1.2)$$

$$\tau_{.j}=\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0~,~\tau_{i.}=\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0~~ (2.1.2)$$

Durante o desenvolvimento deste módulo utilizaremos a seguinte notação:

$$y_{i..} = \sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{.j.}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{ij.}=\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{...}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}$$

$$\overline{y}_{i..}=\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~\overline{y}_{.j.}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~\overline{y}_{ij.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk},$$

$$\overline{y}_{...}=\frac{1}{b~a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}$$

Assumimos que os erros $\varepsilon_{ijk}$ são independentes e têm distribuição normal com média 0 e variância $\sigma^2$.

Como os erros $\varepsilon_{ijk}$ são independentes, obtemos que as observações $Y_{ijk}$ também são independentes. Logo

$$\varepsilon_{ijk}\sim N(0;~\sigma^2)~~~\mbox{e}~~Y_{ijk}\sim N(\mu +\alpha_i+\beta_j+\tau_{ij};~\sigma^2).$$

Notação:

• $Y_{ijk}$ representa a k-ésima leitura no i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B;
• $\mu$ é a média geral dos dados;
• $\alpha_i$ é o efeito do nível $i$ do fator A;
• $\beta_j$ é o efeito do nível $j$ do fator B;
• $\tau_{ij}$ é o efeito da interação $ij$ entre os fatores;
• $\varepsilon_{ijk}$ é o erro aleatório.

Em um experimento com dois fatores, temos diversos interesses. Em primeiro lugar, precisamos avaliar se existe interação entre os fatores. Como vimos anteriormente, o gráfico de interação nos apresenta evidências da interação. Aqui, vamos avaliar o efeito da interação através de um teste de hipóteses. Caso o efeito da interação não seja significativo, avaliamos os efeitos principais (individuais), também através de testes de hipóteses apropriados. Na tabela abaixo, apresentamos um resumo dos testes de hipóteses.