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Para que possamos analisar os resultados do experimento, precisamos de um modelo que descreva os dados. Para facilitar a notação, apresentamos um modelo de dados balanceados (o número de réplicas (r) não depende do tratamento (ij)). Neste caso, tomamos:
$$Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk}~~\left\{\begin{array}{cc}i=1,\ldots,a~~~\mbox{Fator A}\\j=1,\ldots, b ~~~\mbox{Fator B}\\k=1,\ldots,r~~~\mbox{Réplica}\end{array}\right.~~~~(2.1.1)$$
restrito a
$$\alpha_{.}=\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0~,~\beta_{.}=\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0~~~(2.1.2)$$
$$\tau_{.j}=\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0~,~\tau_{i.}=\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0~~ (2.1.2)$$
Durante o desenvolvimento deste módulo utilizaremos a seguinte notação:
$$y_{i..} = \sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{.j.}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{ij.}=\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{...}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}$$
$$\overline{y}_{i..}=\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~\overline{y}_{.j.}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~\overline{y}_{ij.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk},$$
$$\overline{y}_{...}=\frac{1}{b~a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}$$
Assumimos que os erros $\varepsilon_{ijk}$ são independentes e têm distribuição normal com média 0 e variância $\sigma^2$.
Como os erros $\varepsilon_{ijk}$ são independentes, obtemos que as observações $Y_{ijk}$ também são independentes. Logo
$$\varepsilon_{ijk}\sim N(0;~\sigma^2)~~~\mbox{e}~~Y_{ijk}\sim N(\mu +\alpha_i+\beta_j+\tau_{ij};~\sigma^2).$$
Em um experimento com dois fatores, temos diversos interesses. Em primeiro lugar, precisamos avaliar se existe interação entre os fatores. Como vimos anteriormente, o gráfico de interação nos apresenta evidências da interação. Aqui, vamos avaliar o efeito da interação através de um teste de hipóteses. Caso o efeito da interação não seja significativo, avaliamos os efeitos principais (individuais), também através de testes de hipóteses apropriados. Na tabela abaixo, apresentamos um resumo dos testes de hipóteses.
Objetivo |
Hipótese |
efeito do fator A | (A)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\alpha_{1}=...=\alpha_{a}=0\\H_{a}:\alpha_{i}\neq 0~(i=1,\ldots,a)\\\end{array}\right.$ |
efeito do fator B | (B)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\beta_{1}=...=\beta_{b}=0\\H_{a}:\beta_{j}\neq 0~(j=1,\ldots,b)\\\end{array}\right.$ |
efeito da Interação($A\times B$) | (C)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\tau_{ij}=0~\mbox{para todos os valores de i e j}\\H_{a}:\tau_{ij}\neq 0\\\end{array}\right.$ |
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