2.1.1 - Decomposição da Soma de Quadrados

A análise de variância para o modelo (2.4.1.1) é obtida pela decomposição da variação toral $ Y_{ijk}-\overline{Y}_{...} $ como segue


$$SQT=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{...})^2=$$


$$=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}\left[(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})+(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})+(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})+(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})\right]^2=$$


$$=o~r\sum_{i=1}^{p}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2 +p~r\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})^2 +r~\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})^2+\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^2$$


$$=SQP+SQO+SQI+SQE$$

em que


$$SQT=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{...})^2$$


$$SQP=o~r\sum_{i=1}^{p}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2$$


$$SQO=p~r\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})^2$$


$$SQI=r~\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})^2$$


$$SQE=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^2 $$

Graus de liberdade e estimativas da variância

Uma forma para calcularmos os graus de liberdade consiste em determinarmos o valor esperado das componentes SQP, SQO, SQI e SQE.

Vamos calcular os valores esperados das somas de quadrados. Inicialmente, calculamos para o fator P da seguinte forma.


$$E(QMP)=\frac{1}{p-1}\left[E\left(\sum_{i=1}^{p}\frac{Y_{i..}^2}{o~r}\right)-E\left(\frac{Y_{...}^2}{p~o~r}\right)\right]$$


$$=\frac{1}{p-1}\left\{\frac{1}{o~r}\sum^{p}_{i=1}E\left[\left(\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}Y_{ijk}\right)^2\right]-\frac{1}{p~o~r}E\left[\left(\sum^{p}_{i=1}\sum^{o}_{j=1}\sum_{k=1}^{r}Y_{ijk}\right)^2\right]\right\}$$


$$=\frac{1}{p-1}\left\{\frac{1}{o~r}\sum^{p}_{i=1}E\left[\left(\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}\left(\mu + \alpha_i + \beta_j + \tau_{ij} + \varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]\right.-$$


$$-\left.\frac{1}{p~o~r}E\left[\left(\sum^{p}_{i=1}\sum^{o}_{j=1}\sum_{k=1}^{r}\left(\mu + \alpha_i + \beta_j + \tau_{ij}+\varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]\right\}$$


$$=\frac{1}{p-1}\left\{\frac{1}{o~r}\sum^{p}_{i=1}\left[\left(o~r~\mu\right)^2+\left(o~r~\sigma_P\right)^2 + o~r^2~\sigma^2_O + o~r^2~\sigma^2_I+o~r~\sigma^2_E \right]\right.-$$


$$-\left.\frac{1}{p~o~r}\left[\left(p~o~r~\mu\right)^2+p~\left(o~r~\sigma_P\right)^2+o~\left(p~r~\sigma_O\right)^2+o~p~\left(r~\sigma_I\right)^2 + p~o~r~\sigma^2_E \right]\right\}$$


$$=o~r~\sigma^2_P+r~\sigma^2_I+\sigma^2_E$$

Agora, calculamos para o fator O da seguinte forma.


$$E(QMO)=E\left(\frac{SQO}{o-1}\right)=\frac{1}{o-1}E\left(p~r\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})^2\right)=\frac{1}{o-1}E\left(\sum^o_{j=1}\frac{\overline{Y}^2_{.j.}}{pr}-\frac{\overline{Y}^2_{...}}{por}\right)=$$


$$=\sum^o_{j=1}\frac{1}{pr}E\left((pr(\mu+\gamma_j)+\sum^p_{i=1}r\alpha_i+\sum^p_{i=1}r\tau_{ij}+\varepsilon_{.j.})^2\right)-$$


$$-\frac{1}{por}E\left((por\mu+\sum^p_{i=1}or\alpha_i+\sum^o_{j=1}pr\gamma_j+\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}r\tau_{ij}+\varepsilon_{...})^2\right)=$$


$$=\frac{1}{o-1}((o-1)\sigma^2_E+r(o-1)\sigma^2_I+pr(o-1)\sigma^2_O)=$$


$$=\sigma^2_E+r\sigma^2_I+pr\sigma^2_O$$

Para o fator I temos


$$E(QMI)=E\left(\frac{SQI}{(p-1)(o-1)}\right)=\frac{1}{(p-1)(o-1)}E\left[r~\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})^2\right]=$$


$$=\frac{1}{(p-1)(o-1)}\left(\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\frac{1}{r}E\left[(\mu+\alpha_i+\gamma_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ij.})^2\right.-\right.$$


$$\left.-\sum^p\frac{1}{pr}E\left[(pr~\mu+pr~\gamma_j+r\sum^p_{i=1}(\alpha_i+\tau_{ij})+\varepsilon_{.j.})^2\right]-$$


$$-\sum^o_{j=1}\frac{1}{or}E\left[(or~\mu+or~\gamma_j+r\sum^p_{i=1}(\alpha_i+\tau_{ij})+\varepsilon_{.j.})^2\right]+$$


$$\left.+\frac{1}{por}E\left[(por~\mu+pr\sum^p_{i=1}\alpha_i+or\sum^o_{j=1}\gamma_j+r\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\tau_{ij}+\varepsilon_{...})^2\right]\right)=$$


$$=\frac{1}{(p-1)(o-1)}\left[por(\mu^2+\sigma^2_P+\sigma^2_O+\sigma^2_I)+(po)\sigma^2_E-por(\mu^2+\sigma^2_P)+\frac{r^2}{or}(\sigma^2_O+\sigma^2_I)+\right.$$


$$\left.+p\sigma^2_E-por(\mu^2+\sigma^2_O)+\frac{r^2}{pr}(\sigma^2_P+\sigma^2_I)+o\sigma^2_E+por~\mu^2+(or)^2\sigma^2_P+(pr)^2\sigma^2_O+\frac{r^2}{por}\sigma^2_I+\sigma^2_E\right]=$$


$$=\sigma^2_E+r\sigma^2_I$$

Finalmente, para o quadrado médio do erro (QME) temos


$$E(QME)=E\left(\frac{SQE}{po(r-1)}\right)=\frac{1}{po(r-1)}E\left[\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^2 \right]=$$


$$=\frac{1}{po(r-1)}\left[\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\sum^r_{k=1}E[(\mu+\alpha_i+\gamma_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk})^2]\right.-$$


$$\left.-\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\frac{1}{r}E\left[(\mu+\alpha_i+\gamma_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ij.})^2]\right]\right]=$$


$$=\frac{1}{po(r-1)}\left[por(\mu^2+\sigma^2_P+\sigma^2_O+\sigma^2_I+\sigma^2_E)-por(\mu^2+\sigma^2_P+\sigma^2_P+\sigma^2_I)+(po)\sigma^2_E\right]=$$


$$=\sigma^2_E$$

O número de graus de liberdade em uma soma de quadrados é a quantidade de elementos independentes nessa soma. Por exemplo, considere a soma de quadrados $ \displaystyle\sum_{i=1}^{p}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2 $. Neste caso, como $ \displaystyle\sum_{i=1}^{p}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})~=~0 $, nem todos os elementos $ (\overline{Y}_{1..}-\overline{Y}_{...}),\cdots, (\overline{Y}_{p..}-\overline{Y}_{...}) $ são independentes. Portanto, temos $ p~-~1 $ graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:

Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios
SQP p-1 $ \cfrac{SQP}{p-1} $
SQO o-1 $ \cfrac{SQO}{o-1} $
SQI (p-1)(o-1) $ \cfrac{SQI}{(p-1)(o-1)} $
SQE po(r-1) $ \cfrac{SQE}{po(r-1)} $
SQT por-1  

Agora, mostramos a seguir um breve resumo dos valores esperados dos quadrados médios e das estatísticas.

Fator Graus de Liberdade Quadrados Médios Valor Esperado dos Quadrados Médios
Fator P p-1 QMP $ E(QMP)=\sigma^2_E+r\sigma^2_I+or\sigma^2_P $
Fator O o-1 QMO $ E(QMO)=\sigma^2_E+r\sigma^2_I+pr\sigma^2_O $
Interação $ P\times O $ (p-1)(o-1) QMI $ E(QMI)=\sigma^2_E+r\sigma^2_I $
Erro po(r-1) QME $ E(QME)=\sigma^2_E $

Tabela 2.1.1.1: Valores Esperados dos Quadrados Médios.

 

Estatística
$ QMP $ $ or\displaystyle\sum^p_{i=1}\frac{(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2}{p-1} $
$ QMO $ $ pr\displaystyle\sum^o_{j=1}\frac{(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})^2}{o-1} $
$ QMI $ $ r\displaystyle\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\frac{(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})^2}{(p-1)(o-1)} $
$ QME $ $ \displaystyle\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\sum^r_{k=1}\frac{(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^2}{po(r-1)} $
$ \overline{Y}_{i..} $ $ \displaystyle\sum^o_{j=1}\sum^r_{k=1}\frac{Y_{ijk}}{or} $
$ \overline{Y}_{.j.} $ $ \displaystyle\sum^p_{i=1}\sum^r_{k=1}\frac{Y_{ijk}}{pr} $
$ \overline{Y}_{ij.} $ $ \displaystyle\sum^r_{k=1}\frac{Y_{ijk}}{r} $
$ \overline{Y}_{...} $ $ \displaystyle\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\sum^r_{k=1}\frac{Y_{ijk}}{por} $

Tabela 2.1.1.2: Resumo dos Quadrados médios e médias para o modelo (2.1.1).

Com os resultados obtidos na tabela 2.1.1.1 temos os seguintes estimadores:

Para a componente do erro temos


$$\hat{\sigma}^2_E=QME~~~~(2.1.1.1)$$

Para o efeito da interação temos


$$\hat{\sigma}^2_I=\frac{QMI-\hat{\sigma}^2_E}{r}=\frac{QMI-QME}{r}~~~~(2.1.1.2)$$

Agora, para calcular o efeito do fator O, utilizamos as equações (2.1.1.1) e (2.1.1.2) da seguinte forma


$$\hat{\sigma}^2_O=\frac{QMO-\hat{\sigma}^2_E-r~\hat{\sigma}^2_I}{pr}\overset{(2.1.1.1)~\mbox{e}~(2.1.1.2)}{=}$$


$$=\frac{QMO-QME-(QMI-QME)}{pr}=\frac{QMO-QMI}{pr}~~~~(2.1.1.3)$$

Por fim, de forma análoga, para o efeito do fator P temos


$$\hat{\sigma}^2_P=\frac{QMP-QMI}{or}~~~(2.1.1.4)$$

A tabela 2.1.1.3 resume os estimadores pontuais do modelo (2.1.1).

Representação do Modelo Estimador Pontual
$ \mu_y $ $ \overline{Y}_{...} $
$ \sigma^2_P $ $ \cfrac{QMP-QMI}{or} $
$ \sigma^2_O $ $ \cfrac{QMO-QMI}{pr} $
$ \sigma^2_I $ $ \cfrac{QMI-QME}{po} $
$ \sigma^2_E $ $ QME $

Tabela 2.1.1.3: Resumo dos Estimadores pontuais para o modelo (2.1.1).

 

 

 

 

 

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