2.1.1 - Decomposição da Soma de Quadrados

A análise de variância para o modelo (2.4.1.1) é obtida pela decomposição da variação toral $Y_{ijk}-\overline{Y}_{...}$ como segue

$$SQT=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{...})^2=$$

$$=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}\left[(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})+(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})+(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})+(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})\right]^2=$$

$$=o~r\sum_{i=1}^{p}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2 +p~r\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})^2 +r~\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})^2+\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^2$$

$$=SQP+SQO+SQI+SQE$$

em que

$$SQT=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{...})^2$$

$$SQP=o~r\sum_{i=1}^{p}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2$$

$$SQO=p~r\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})^2$$

$$SQI=r~\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})^2$$

$$SQE=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^2 $$

Graus de liberdade e estimativas da variância

Uma forma para calcularmos os graus de liberdade consiste em determinarmos o valor esperado das componentes SQP, SQO, SQI e SQE.

Vamos calcular os valores esperados das somas de quadrados. Inicialmente, calculamos para o fator P da seguinte forma.

$$E(QMP)=\frac{1}{p-1}\left[E\left(\sum_{i=1}^{p}\frac{Y_{i..}^2}{o~r}\right)-E\left(\frac{Y_{...}^2}{p~o~r}\right)\right]$$

$$=\frac{1}{p-1}\left\{\frac{1}{o~r}\sum^{p}_{i=1}E\left[\left(\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}Y_{ijk}\right)^2\right]-\frac{1}{p~o~r}E\left[\left(\sum^{p}_{i=1}\sum^{o}_{j=1}\sum_{k=1}^{r}Y_{ijk}\right)^2\right]\right\}$$

$$=\frac{1}{p-1}\left\{\frac{1}{o~r}\sum^{p}_{i=1}E\left[\left(\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}\left(\mu + \alpha_i + \beta_j + \tau_{ij} + \varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]\right.-$$

$$-\left.\frac{1}{p~o~r}E\left[\left(\sum^{p}_{i=1}\sum^{o}_{j=1}\sum_{k=1}^{r}\left(\mu + \alpha_i + \beta_j + \tau_{ij}+\varepsilon_{ijk}\right)\right)^2\right]\right\}$$

$$=\frac{1}{p-1}\left\{\frac{1}{o~r}\sum^{p}_{i=1}\left[\left(o~r~\mu\right)^2+\left(o~r~\sigma_P\right)^2 + o~r^2~\sigma^2_O + o~r^2~\sigma^2_I+o~r~\sigma^2_E \right]\right.-$$

$$-\left.\frac{1}{p~o~r}\left[\left(p~o~r~\mu\right)^2+p~\left(o~r~\sigma_P\right)^2+o~\left(p~r~\sigma_O\right)^2+o~p~\left(r~\sigma_I\right)^2 + p~o~r~\sigma^2_E \right]\right\}$$

$$=o~r~\sigma^2_P+r~\sigma^2_I+\sigma^2_E$$

Agora, calculamos para o fator O da seguinte forma.

$$E(QMO)=E\left(\frac{SQO}{o-1}\right)=\frac{1}{o-1}E\left(p~r\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})^2\right)=\frac{1}{o-1}E\left(\sum^o_{j=1}\frac{\overline{Y}^2_{.j.}}{pr}-\frac{\overline{Y}^2_{...}}{por}\right)=$$

$$=\sum^o_{j=1}\frac{1}{pr}E\left((pr(\mu+\gamma_j)+\sum^p_{i=1}r\alpha_i+\sum^p_{i=1}r\tau_{ij}+\varepsilon_{.j.})^2\right)-$$

$$-\frac{1}{por}E\left((por\mu+\sum^p_{i=1}or\alpha_i+\sum^o_{j=1}pr\gamma_j+\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}r\tau_{ij}+\varepsilon_{...})^2\right)=$$

$$=\frac{1}{o-1}((o-1)\sigma^2_E+r(o-1)\sigma^2_I+pr(o-1)\sigma^2_O)=$$

$$=\sigma^2_E+r\sigma^2_I+pr\sigma^2_O$$

Para o fator I temos

$$E(QMI)=E\left(\frac{SQI}{(p-1)(o-1)}\right)=\frac{1}{(p-1)(o-1)}E\left[r~\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})^2\right]=$$

$$=\frac{1}{(p-1)(o-1)}\left(\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\frac{1}{r}E\left[(\mu+\alpha_i+\gamma_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ij.})^2\right.-\right.$$

$$\left.-\sum^p\frac{1}{pr}E\left[(pr~\mu+pr~\gamma_j+r\sum^p_{i=1}(\alpha_i+\tau_{ij})+\varepsilon_{.j.})^2\right]-$$

$$-\sum^o_{j=1}\frac{1}{or}E\left[(or~\mu+or~\gamma_j+r\sum^p_{i=1}(\alpha_i+\tau_{ij})+\varepsilon_{.j.})^2\right]+$$

$$\left.+\frac{1}{por}E\left[(por~\mu+pr\sum^p_{i=1}\alpha_i+or\sum^o_{j=1}\gamma_j+r\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\tau_{ij}+\varepsilon_{...})^2\right]\right)=$$

$$=\frac{1}{(p-1)(o-1)}\left[por(\mu^2+\sigma^2_P+\sigma^2_O+\sigma^2_I)+(po)\sigma^2_E-por(\mu^2+\sigma^2_P)+\frac{r^2}{or}(\sigma^2_O+\sigma^2_I)+\right.$$

$$\left.+p\sigma^2_E-por(\mu^2+\sigma^2_O)+\frac{r^2}{pr}(\sigma^2_P+\sigma^2_I)+o\sigma^2_E+por~\mu^2+(or)^2\sigma^2_P+(pr)^2\sigma^2_O+\frac{r^2}{por}\sigma^2_I+\sigma^2_E\right]=$$

$$=\sigma^2_E+r\sigma^2_I$$

Finalmente, para o quadrado médio do erro (QME) temos

$$E(QME)=E\left(\frac{SQE}{po(r-1)}\right)=\frac{1}{po(r-1)}E\left[\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{o}\sum_{k=1}^{r}(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^2 \right]=$$

$$=\frac{1}{po(r-1)}\left[\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\sum^r_{k=1}E[(\mu+\alpha_i+\gamma_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk})^2]\right.-$$

$$\left.-\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\frac{1}{r}E\left[(\mu+\alpha_i+\gamma_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ij.})^2]\right]\right]=$$

$$=\frac{1}{po(r-1)}\left[por(\mu^2+\sigma^2_P+\sigma^2_O+\sigma^2_I+\sigma^2_E)-por(\mu^2+\sigma^2_P+\sigma^2_P+\sigma^2_I)+(po)\sigma^2_E\right]=$$

$$=\sigma^2_E$$

O número de graus de liberdade em uma soma de quadrados é a quantidade de elementos independentes nessa soma. Por exemplo, considere a soma de quadrados $\displaystyle\sum_{i=1}^{p}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2$. Neste caso, como $\displaystyle\sum_{i=1}^{p}(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})~=~0$, nem todos os elementos $(\overline{Y}_{1..}-\overline{Y}_{...}),\cdots, (\overline{Y}_{p..}-\overline{Y}_{...})$ são independentes. Portanto, temos $p~-~1$ graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:

Soma de Quadrados	Graus de Liberdade	Quadrados Médios
SQP	p-1	$\cfrac{SQP}{p-1}$
SQO	o-1	$\cfrac{SQO}{o-1}$
SQI	(p-1)(o-1)	$\cfrac{SQI}{(p-1)(o-1)}$
SQE	po(r-1)	$\cfrac{SQE}{po(r-1)}$
SQT	por-1

Agora, mostramos a seguir um breve resumo dos valores esperados dos quadrados médios e das estatísticas.

Fator	Graus de Liberdade	Quadrados Médios	Valor Esperado dos Quadrados Médios
Fator P	p-1	QMP	$E(QMP)=\sigma^2_E+r\sigma^2_I+or\sigma^2_P$
Fator O	o-1	QMO	$E(QMO)=\sigma^2_E+r\sigma^2_I+pr\sigma^2_O$
Interação $P\times O$	(p-1)(o-1)	QMI	$E(QMI)=\sigma^2_E+r\sigma^2_I$
Erro	po(r-1)	QME	$E(QME)=\sigma^2_E$

Tabela 2.1.1.1: Valores Esperados dos Quadrados Médios.

 

Estatística
$QMP$	$or\displaystyle\sum^p_{i=1}\frac{(\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{...})^2}{p-1}$
$QMO$	$pr\displaystyle\sum^o_{j=1}\frac{(\overline{Y}_{.j.}-\overline{Y}_{...})^2}{o-1}$
$QMI$	$r\displaystyle\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\frac{(\overline{Y}_{ij.}-\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{.j.}+\overline{Y}_{...})^2}{(p-1)(o-1)}$
$QME$	$\displaystyle\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\sum^r_{k=1}\frac{(Y_{ijk}-\overline{Y}_{ij.})^2}{po(r-1)}$
$\overline{Y}_{i..}$	$\displaystyle\sum^o_{j=1}\sum^r_{k=1}\frac{Y_{ijk}}{or}$
$\overline{Y}_{.j.}$	$\displaystyle\sum^p_{i=1}\sum^r_{k=1}\frac{Y_{ijk}}{pr}$
$\overline{Y}_{ij.}$	$\displaystyle\sum^r_{k=1}\frac{Y_{ijk}}{r}$
$\overline{Y}_{...}$	$\displaystyle\sum^p_{i=1}\sum^o_{j=1}\sum^r_{k=1}\frac{Y_{ijk}}{por}$

Tabela 2.1.1.2: Resumo dos Quadrados médios e médias para o modelo (2.1.1).

Com os resultados obtidos na tabela 2.1.1.1 temos os seguintes estimadores:

Para a componente do erro temos

$$\hat{\sigma}^2_E=QME~~~~(2.1.1.1)$$

Para o efeito da interação temos

$$\hat{\sigma}^2_I=\frac{QMI-\hat{\sigma}^2_E}{r}=\frac{QMI-QME}{r}~~~~(2.1.1.2)$$

Agora, para calcular o efeito do fator O, utilizamos as equações (2.1.1.1) e (2.1.1.2) da seguinte forma

$$\hat{\sigma}^2_O=\frac{QMO-\hat{\sigma}^2_E-r~\hat{\sigma}^2_I}{pr}\overset{(2.1.1.1)~\mbox{e}~(2.1.1.2)}{=}$$

$$=\frac{QMO-QME-(QMI-QME)}{pr}=\frac{QMO-QMI}{pr}~~~~(2.1.1.3)$$

Por fim, de forma análoga, para o efeito do fator P temos

$$\hat{\sigma}^2_P=\frac{QMP-QMI}{or}~~~(2.1.1.4)$$

A tabela 2.1.1.3 resume os estimadores pontuais do modelo (2.1.1).

Representação do Modelo	Estimador Pontual
$\mu_y$	$\overline{Y}_{...}$
$\sigma^2_P$	$\cfrac{QMP-QMI}{or}$
$\sigma^2_O$	$\cfrac{QMO-QMI}{pr}$
$\sigma^2_I$	$\cfrac{QMI-QME}{po}$
$\sigma^2_E$	$QME$

Tabela 2.1.1.3: Resumo dos Estimadores pontuais para o modelo (2.1.1).