2.1.2 - Análise Estatística

A seguir,vamos desenvolver um teste $ F $ para avaliarmos o efeito da interação e os efeitos principais, conforme tabela abaixo:

Objetivo

Hipótese
efeito do fator P \alpha_{i}\neq 0~(i=1,\ldots,p)\\\end{array}\right. $
efeito do fator O \beta_{j}\neq 0~(j=1,\ldots,o)\\\end{array}\right. $
efeito da Interação($ P\times O $) \tau_{ij}\neq 0\\\end{array}\right. $

Sabemos que a soma de quadrados total é decomposta  na forma $ SQT = SQP + SQO + SQI + SQE. $

Assim, através do teorema de Cochran, garantimos, sob $ \mbox{H}_0 $, a independência das somas de quadrados e


$$\displaystyle\frac{SQP}{\sigma^2_P} \sim \chi^2_{(p - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\frac{SQI}{\sigma^2_I } \sim \chi^2_{((p-1)(o - 1))},$$

Desta forma, sob $ \mbox{H}_0 $ (hipóteses A) a estatística

$$F_0=\frac{\displaystyle\frac{SQP}{(\sigma^2_P)~(p-1)}}{\displaystyle\frac{SQI}{\sigma^2_i~(p-1)~(o-1)}}~~=~~\frac{QMP}{QMI}~~\sim~~F(p-1;~(p-1)~(o-1)),$$

isto é, $ \mbox{F}_0 $ tem distribuição F-Snedecor com (p-1) graus de liberdade no numerador e [(p - 1)(o - 1)] graus de liberdade no denominador.

Para determinarmos a estatística do teste  para as hipóteses B, obtemos do teorema de Cochran que, sob $ \mbox{H}_0 $


$$\frac{SQO}{\sigma^2_O} \sim \chi^2_{(o - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\frac{SQI}{\sigma^2_I} \sim \chi^2_{((p-1)(o - 1))}~,$$

são independentes. Assim,  concluímos que a estatística (sob $ \mbox{H}_0 $)


$$F_0 =\frac{\displaystyle\frac{SQO}{(\sigma^2_O)~(o-1)}}{\displaystyle\frac{SQI}{\sigma^2_I~((p-1)(o-1))}}~~=~~\frac{QMO}{QMI}~~\sim~~F(o - 1;(p-1)(o - 1)),$$

ou seja, $ \mbox{F}_0 $ tem distribuição de F-Snedecor com (b-1) graus de liberdade no numerador e [(p - 1) (o - 1)] graus de liberdade no denominador.

Para determinarmos a estatística do teste  para as hipóteses C, obtemos do teorema de Cochran que, sob $ \mbox{H}_0 $


$$\frac{SQI}{\sigma^2_I} \sim \chi^2_{(p - 1)(o - 1)}~~~~~\mbox{e também,}~~~~~\frac{SQE}{\sigma^2_E} \sim \chi^2_{(p~o~(r - 1))}~~,$$

são independentes. Assim, sob $ \mbox{H}_0 $ temos que a estatística


$$F_0=\frac{\displaystyle\frac{SQI}{(\sigma^2_I)~(p-1)(o-1)}}{\cfrac{SQE}{(\sigma^2_E )~(p~o~(r-1)))}}~~=~~\frac{QMI}{QME}~~\sim~F((p-1)(o-1);(po(r-1)))$$

tem distribuição de F-Snedecor com (p - 1)(o - 1) graus de liberdade no numerador e [p o (r - 1)] graus de liberdade no denominador.

A região crítica (RC) do teste F é dada por $ RC=\{F~\in~\Re^+ ~\mid~F \textgreater F_{1-\alpha}\} $.

O valor crítico $ F_{1-\alpha} $ corresponde ao quantil $ (1-\alpha)100\% $ da distribuição F-Snedecor com os respectivos graus de liberdade do numerador e do denominador e o nível de significância $ \alpha $. A Figura 2.2.1 mostra a região crítica do teste.

Figura 2.1.2.1: Região crítica do teste F.

 

O teste estatístico para as hipóteses (A, B, C) propostas, está resumido na tabela abaixo.

Fator Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios F P-Valor
Fator P $ p -1 $ $ SQP $ $ QMP $ $ F_{P}=\frac{QMP}{QMI} $ $ P(F\textgreater F_P) $
Fator O $ o -1 $ $ SQO $ $ QMO $ $ F_{O}=\frac{QMO}{QMI} $ $ P(F\textgreater F_O) $
Interação ($ P\times O $) $ (p -1)(o -1) $ $ SQI $ $ QMI $ $ F_{I}=\frac{QMI}{QME} $ $ P(F\textgreater F_{I}) $
Erro $ p~o~(r -1) $ $ SQE $ $ QME $   
Total $ p~o~r - 1 $ $ SQT $    

Tabela 2.1.2.1: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

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ANOVA

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