2.1.2 - Análise Estatística

A seguir,vamos desenvolver um teste $F$ para avaliarmos o efeito da interação e os efeitos principais, conforme tabela abaixo:

Objetivo

Hipótese
efeito do fator P $(A)\left\{\begin{array}{l}H_{0}:\alpha_{1}=...=\alpha_{p}=0\\H_{1}:\alpha_{i}\neq 0~(i=1,\ldots,p)\\\end{array}\right.$
efeito do fator O $(B)\left\{\begin{array}{l}H_{0}:\beta_{1}=...=\beta_{o}=0\\H_{1}:\beta_{j}\neq 0~(j=1,\ldots,o)\\\end{array}\right.$
efeito da Interação($P\times O$) $(C)\left\{\begin{array}{l}H_{0}:\tau_{ij}=0~\mbox{para todos os valores de i e j}\\H_{1}:\tau_{ij}\neq 0\\\end{array}\right.$

Sabemos que a soma de quadrados total é decomposta  na forma $SQT = SQP + SQO + SQI + SQE.$

Assim, através do teorema de Cochran, garantimos, sob $\mbox{H}_0$, a independência das somas de quadrados e

$$\displaystyle\frac{SQP}{\sigma^2_P} \sim \chi^2_{(p - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\frac{SQI}{\sigma^2_I } \sim \chi^2_{((p-1)(o - 1))},$$

Desta forma, sob $\mbox{H}_0$ (hipóteses A) a estatística $$F_0=\frac{\displaystyle\frac{SQP}{(\sigma^2_P)~(p-1)}}{\displaystyle\frac{SQI}{\sigma^2_i~(p-1)~(o-1)}}~~=~~\frac{QMP}{QMI}~~\sim~~F(p-1;~(p-1)~(o-1)),$$

isto é, $\mbox{F}_0$ tem distribuição F-Snedecor com (p-1) graus de liberdade no numerador e [(p - 1)(o - 1)] graus de liberdade no denominador.

Para determinarmos a estatística do teste  para as hipóteses B, obtemos do teorema de Cochran que, sob $\mbox{H}_0$

$$\frac{SQO}{\sigma^2_O} \sim \chi^2_{(o - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\frac{SQI}{\sigma^2_I} \sim \chi^2_{((p-1)(o - 1))}~,$$

são independentes. Assim,  concluímos que a estatística (sob $\mbox{H}_0$)

$$F_0 =\frac{\displaystyle\frac{SQO}{(\sigma^2_O)~(o-1)}}{\displaystyle\frac{SQI}{\sigma^2_I~((p-1)(o-1))}}~~=~~\frac{QMO}{QMI}~~\sim~~F(o - 1;(p-1)(o - 1)),$$

ou seja, $\mbox{F}_0$ tem distribuição de F-Snedecor com (b-1) graus de liberdade no numerador e [(p - 1) (o - 1)] graus de liberdade no denominador.

Para determinarmos a estatística do teste  para as hipóteses C, obtemos do teorema de Cochran que, sob $\mbox{H}_0$

$$\frac{SQI}{\sigma^2_I} \sim \chi^2_{(p - 1)(o - 1)}~~~~~\mbox{e também,}~~~~~\frac{SQE}{\sigma^2_E} \sim \chi^2_{(p~o~(r - 1))}~~,$$

são independentes. Assim, sob $\mbox{H}_0$ temos que a estatística

$$F_0=\frac{\displaystyle\frac{SQI}{(\sigma^2_I)~(p-1)(o-1)}}{\cfrac{SQE}{(\sigma^2_E )~(p~o~(r-1)))}}~~=~~\frac{QMI}{QME}~~\sim~F((p-1)(o-1);(po(r-1)))$$

tem distribuição de F-Snedecor com (p - 1)(o - 1) graus de liberdade no numerador e [p o (r - 1)] graus de liberdade no denominador.

A região crítica (RC) do teste F é dada por $RC=\{F~\in~\Re^+ ~\mid~F \textgreater F_{1-\alpha}\}$.

O valor crítico $F_{1-\alpha}$ corresponde ao quantil $(1-\alpha)100\%$ da distribuição F-Snedecor com os respectivos graus de liberdade do numerador e do denominador e o nível de significância $\alpha$. A Figura 2.2.1 mostra a região crítica do teste.

Figura 2.1.2.1: Região crítica do teste F.

 

O teste estatístico para as hipóteses (A, B, C) propostas, está resumido na tabela abaixo.

Fator Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios F P-Valor
Fator P $p -1$ $SQP$ $QMP$ $F_{P}=\frac{QMP}{QMI}$ $P(F\textgreater F_P)$
Fator O $o -1$ $SQO$ $QMO$ $F_{O}=\frac{QMO}{QMI}$ $P(F\textgreater F_O)$
Interação ($P\times O$) $(p -1)(o -1)$ $SQI$ $QMI$ $F_{I}=\frac{QMI}{QME}$ $P(F\textgreater F_{I})$
Erro $p~o~(r -1)$ $SQE$ $QME$   
Total $p~o~r - 1$ $SQT$    

Tabela 2.1.2.1: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

ANOVA

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