2.1.3 - Estimação dos parâmetros do modelo

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Apresentamos agora os intervalos de confiança para os parâmetros para o método cruzado definidos na Tabela 2.1.3.1 em que  $F_{\alpha,df_1, df_2}$ representa o quantil $(1-\alpha)100\%$ da distribuição F-Snedecor com $df_1$ graus de liberdade no numerador e $df_2$ graus de liberdade no denominador. A tabela 2.1.3.1 representa o caso particular do modelo (2.1.1).

Constante Definição
$G_a$ $1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,(p-1)\right)}$
$G_b$ $1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,(o-1)\right)}$
$G_i$ $1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,(p-1)(o-1)\right)}$
$G_e$ $F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,po(r-1)\right)}-1$
$H_a$ $F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,(o-1)\right)}-1$
$H_b$ $F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,(p-1)(o-1)\right)}-1$
$H_i$ $F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,po(r-1)\right)}-1$
$H_e$ $F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},(p-1),(p-1)(o-1)\right)}$
$F_a$ $F_{\left(\frac{\alpha}{2},(p-1),(p-1)(o-1)\right)}$
$F_b$ $F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},(p-1),(p-1)(o-1)\right)}$
$F_i$ $F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},(p-1),(o-1)\right)}$
$F_e$ $F_{\left(\frac{\alpha}{2},(p-1),(o-1)\right)}$
$G_{ae}$ $\frac{(F_a-1)^2-(G_a F_a)^2-H^2_i}{F_a}$
$H_{ae}$ $\frac{(1-F_b)^2-(H_a F_b)^2-G^2_i}{F_b}$
$G_{be}$ $\frac{(F_b-1)^2-(G_b F_b)^2-H^2_i}{F_b}$
$H_{be}$ $\frac{(1-F_a)^2-(H_b F_a)^2-G^2_i}{F_a}$
$G_{ie}$ $\frac{(F_i-1)^2-(G_i F_i)^2-H^2_e}{F_i}$
$H_{ie}$ $\frac{(1-F_e)^2-(H_i F_e)^2-G^2_e}{F_e}$

Tabela 2.1.3.1: Constantes usadas para construir o intervalo de confiança.

Intervalo de confiança para $\mu_y$

Para o modelo (2.1.1), foram estudados vários métodos para a construção de intervalos de confiança para $\mu_y$. Aqui, adotaremos o intervalo de confiança baseado em Milliken and Johnson página 281.

$$LI_{\mu_y}=\overline{Y}_{...}-C\sqrt{\frac{K}{por}}$$

e

$$LS_{\mu_y}=\overline{Y}_{...}+C\sqrt{\frac{K}{por}}~~~~(2.1.3.1)$$

em que

$$K=QMA+QMB-QMI$$

e

$$C=\frac{QMA\sqrt{F_{\left(1-\alpha,1,(p-1)\right)}}+QMB\sqrt{F_{\left(1-\alpha,1,(o-1)\right)}}-QMI\sqrt{F_{\left(1-\alpha,1,(p-1)(o-1)\right)}}}{K}$$

Se K<0 então, substitua K por QMI e C por $\sqrt{F_{\left(1-\alpha,1,(p-1)(o-1)\right)}}$, mantendo o nível de confiança na equação (2.1.3.1).

Intervalo de confiança para $\sigma^2_P$

Para o intervalo de confiança para $\sigma^2_A,$ vimos na tabela 2.1.3.1 que

$$\hat{\sigma}^2_P=\frac{QMP-QMI}{or}$$

Assim, quando envolvemos a diferença de dois quadrados médios, usaremos o método proposto por Ting que é dado por:

$$LI_{\sigma^2_P}=\hat{\sigma}^2_P-\frac{\sqrt{V_{LP}}}{or}$$

e

$$LS_{\sigma^2_P}=\hat{\sigma}^2_P+\frac{\sqrt{V_{UP}}}{or}~~~~(2.1.3.2)$$

em que

$$V_{LP}=G^2_p*QMP^2+H^2_i*QMI^2+G_{pi}*QMP*QMI$$

e

$$V_{UP}=H^2_p*QMP^2+G^2_i*QMI^2+H_{pi}*QMP*QMI$$

 

Intervalo de confiança para $\sigma^2_O$

Para o intervalo de confiança para $\sigma^2_O,$ vimos na tabela 2.1.3.1 que

$$\hat{\sigma}^2_O=\frac{QMO-QMI}{pr}$$

Assim, quando envolvemos a diferença de dois quadrados médios, usaremos o método proposto por Ting que é dado por:

$$LI_{\sigma^2_O}=\hat{\sigma}^2_O-\frac{\sqrt{V_{LO}}}{pr}$$

e

$$LS_{\sigma^2_O}=\hat{\sigma}^2_O+\frac{\sqrt{V_{UO}}}{pr}~~~~(2.1.3.3)$$

em que

$$V_{LO}=G^2_o*QMO^2+H^2_i*QMI^2+G_{oi}*QMO*QMI$$

e

$$V_{UO}=H^2_o*QMO^2+G^2_i*QMI^2+H_{oi}*QMO*QMI$$

 

Intervalo de confiança para $\sigma^2_I$

Para o intervalo de confiança para $\sigma^2_I,$ vimos na tabela 2.1.3.1 que

$$\hat{\sigma}^2_I=\frac{QMI-QME}{po}$$

Assim, quando envolvemos a diferença de dois quadrados médios, usaremos o método proposto por Ting que é dado por:

$$LI_{\sigma^2_I}=\hat{\sigma}^2_I-\frac{\sqrt{V_{LI}}}{po}$$

e

$$LS_{\sigma^2_I}=\hat{\sigma}^2_I+\frac{\sqrt{V_{UI}}}{po}~~~~(2.1.3.4)$$

em que

$$V_{LI}=G^2_i*QMI^2+H^2_e*QME^2+G_{ie}*QME*QMI$$

e

$$V_{UI}=H^2_i*QMI^2+G^2_e*QME^2+H_{ie}*QME*QMI$$

 

Intervalo de confiança para $\sigma^2_E$

Para o intervalo de confiança para $\sigma^2_E,$ vimos na tabela 2.1.3.1 que

$$\hat{\sigma}^2_E=QME$$

Assim, o intervalo de confiança para $\sigma^2_E$ é dada por

$$LI_{\sigma^2_E}=(1-G_e) QME$$

e

$$LS_{\sigma^2_E}=(1+H_e) QME~~~~(eq6)$$

em que $G_B$ e $H_B$ são definidos na tabela 4.

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