2.2 - Decomposição da Soma de Quadrados

Aqui, vamos "quebrar" a variabilidade total dos dados, denominada soma de quadrados total, em diversos componentes. Neste caso, mostramos que

$SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E$

no qual $SQ_T$ é a soma de quadrados total, $SQ_A$ é a soma de quadrados do fator A, $SQ_B$ é a soma de quadrados do fator $B$, $SQ_{AB}$ é a soma de quadrados da interação $A\times B$ e $SQ_E$ é a soma de quadrados do erro. Para isto, temos que

$$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}- \overline{y}_{...})^2=$$

$$=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}\left[(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})+(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})+(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{...})+ (y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})\right]^2 $$

Após algumas manipulações algébricas, obtemos que

$$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{...})^2=b~r \sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^2 +a~r\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})^2 +r~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{...})^2$$

$$+\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^2$$

Portanto

$$SQ_T=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{...})^2$$

$$SQ_A=b~r\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^2$$

$$SQ_B=a~r\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})^2$$

$$SQ_{AB}=r~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{...})^2$$

$$SQ_E=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^2 $$

Uma forma conveniente para se calcular a soma de quadrados é utilizar o cálculo de variância amostral. Na Tabela 2.2.1 apresentamos quais variâncias devemos calcular.

Tabela 2.2.1: Entrada de dados e variâncias.

Portanto,

$$SQ_T=(a~b~r - 1)~s^2_g~~~(2.2.1)$$

$$SQ_A=b~r~(a - 1)~s^2_A~~~(2.2.2)$$

$$SQ_B=a~r~(b - 1)~s^2_B~~~(2.2.3)$$

$$SQ_E=(r - 1)~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}~s^2_{ij}~~~(2.2.4)$$

$$SQ_{AB}=SQ_T-SQ_B-SQ_A-SQ_E~~~(2.2.5)$$

Sendo que:

• $s^2_g$: representa a variância amostral com relação a todos os dados,
      $$s^2_g~=~\frac{1}{a~b~r~-~1}\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{b}\sum^{r}_{k=1}(y_{ijk}~-~\overline{y}_{...})^2;$$
• $s^2_A$: representa a variância amostral com relação as médias dos níveis do Fator A,
       $$s^2_A~=~\frac{1}{a~-~1}\sum^{a}_{i=1}(\overline{y}_{i..}~-~\overline{y}_{...})^2;$$
• $s^2_B$: representa a variância amostral com relação as médias dos níveis do Fator B,
           $$s^2_B~=~\frac{1}{b~-~1}\sum^{b}_{j=1}(\overline{y}_{.j.}~-~\overline{y}_{...})^2; \quad \mbox{e}$$
• $s^2_{ij}$: representa a variância amostral com relação a cada combinação de A e B,
       $$s^2_{ij}~=~\frac{1}{r~-~1}\sum^{r}_{k=1}(y_{ijk}~-~\overline{y}_{ij.})^2.$$

Cálculo dos Graus de Liberdade

O número de graus de liberdade em uma soma de quadrados é a quantidade de elementos independentes nessa soma. Por exemplo, consideremos a soma de quadrados $\sum\limits_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}- \overline{y}_{...})^2$. Neste caso, como $\sum\limits_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})=0$, nem todos os elementos $(\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{...}),\ldots, (\overline{y}_{a..}-\overline{y}_{...})$ são independentes. Portanto, temos $(a-1)$ graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:

Cálculo dos quadrados médios
 

Cada soma de quadrados dividido por seu grau de liberdade determina o quadrado médio (QM), ou seja

$$QM_A~~~=~~~\frac{SQ_A}{a - 1}~~~(2.2.6)~~~~~~~~~~~~~~~\mbox{Fator A}$$

$$QM_B~~~=~~~\frac{SQ_B}{b - 1}~~~(2.2.7)~~~~~~~~~~~~~~~\mbox{Fator B}$$

$$QM_{AB}~~~=~~~\frac{SQ_{AB}}{(a - 1)(b - 1)}~~~(2.2.8)~~~~\mbox{A\times B}$$

$$QM_E~~~=~~~\frac{SQ_E}{a~b~(r - 1)}~~~(2.2.9)~~~~~~~~~\mbox{Réplica}$$

Considerando as expressões (2.2.1)-(2.2.5) e lembrando que o modelo está restrito às condições (2.1.2)

$$\alpha_{.}=\ds\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0,\\\beta_{.}=\ds\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0,\\\tau_{.j}=\ds\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0,\\\tau_{i.}=\ds\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0,$$

vamos calcular o valor esperado do QM.

Para o Fator $A$, temos que

$$E(QM_A)~~~=~~~ E\left(\frac{SQ_A}{a - 1}\right) ~=~\frac{1}{a - 1}E(SQ_A)$$

$$~~~=~~~ \frac{1}{a - 1}~E \left[b~r \sum^{a}_{i=1}\left(\overline{Y}_{i..}~-~\overline{Y}_{...}\right)^2\right]$$

$$~~~=~~~ \frac{b~r}{a - 1}~E\left[\sum^{a}_{i=1}\overline{Y}^2_{i..}~-~a~\overline{Y}_{...}^2\right]~=~\frac{b~r}{a-1}\left[\sum^{a}_{i=1}E(\overline{Y}^2_{i..})~-~a~E(\overline{Y}_{...}^2)\right]$$

Sabemos que

$$\overline{Y}_{i..}~\sim~N \left(\mu + \alpha_{i}+\overline{\beta_.}+\overline{\tau}_{i.}~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right),~~~~~~~~~~~~\overline{Y}_{...}~\sim~N\left(\mu+\overline{\alpha}_{.}+\overline{\beta}_{.}+\overline{\tau}_{..}~;~\frac{\sigma^2}{a~b~r}\right)$$

com

$\overline{\alpha}_{.}~=\ds\cfrac{\alpha_{.}}{a}$,$\overline{\beta}_{.}~=\ds\cfrac{\beta_{.}}{b}$,

$\overline{\tau}_{i.}=\ds\cfrac{\tau_{i.}}{a}$,

$\overline{\tau}_{.j}=\ds\cfrac{\tau_{.j}}{b}$,

e $\overline{\tau}_{..}~=\ds\cfrac{\tau_{..}}{a b}$.

Lembrando das restrições (2.1.2), ficamos com

$$\overline{Y}_{i..}~\sim~N \left(\mu + \alpha_{i} ~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right),~~~~~~~~~~~~\overline{Y}_{...}~\sim~N \left(\mu ~;~\frac{\sigma^2}{a~b~r}\right).$$

Com isso,

$$E(QM_A)~~~=~~~ \frac{b~r}{a - 1}~\left[\sum^{a}_{i=1}\left[\mbox{var}(\overline{Y}_{i..})+(E(\overline{Y}_{i..}))^2\right]~-~a~\left[\mbox{var}(\overline{Y}_{...})+(E(\overline{Y}_{...}))^2\right]\right]$$

usando as restrições (2.1.2) temos

$$~~~=~~~ \sigma^2 + \frac{b~r}{a - 1}~\sum^{a}_{i=1}\left(\alpha_i+\overline{\alpha}_{.}+ \overline{\tau}_{i.}+\overline{\tau}_{..}\right)^2 =\sigma^2+\frac{b~r}{a-1}~\sum^{a}_{i=1}\left(\alpha_i\right)^2$$

De forma semelhante obtemos as esperanças dos demais quadrados médios. Resumidamente temos:

$$E(QM_A)~~~=~~~\sigma^2+\frac{b~r}{a-1}~\sum^{a}_{i=1}\left(\alpha_i\right)^2$$

$$E(QM_B)~~~=~~~\sigma^2 + \frac{a~r}{b - 1}~\sum^{b}_{j=1}\left(\beta_j\right)^2$$

$$E(QM_{AB})~~~=~~~\sigma^2 + \frac{r}{(b-1)(a-1)}~\sum^{a}_{i=1}\sum^{b}_{j=1}\left(\tau_{ij}\right)^2$$

$$E(QM_E)~~~=~~~\sigma^2$$