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Aqui, vamos "quebrar" a variabilidade total dos dados, denominada soma de quadrados total, em diversos componentes. Neste caso, mostramos que
$SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E$
no qual $SQ_T$ é a soma de quadrados total, $SQ_A$ é a soma de quadrados do fator A, $SQ_B$ é a soma de quadrados do fator $B$, $SQ_{AB}$ é a soma de quadrados da interação $A\times B$ e $SQ_E$ é a soma de quadrados do erro. Para isto, temos que
$$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}- \overline{y}_{...})^2=$$
$$=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}\left[(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})+(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})+(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{...})+ (y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})\right]^2 $$
Após algumas manipulações algébricas, obtemos que
$$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{...})^2=b~r \sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^2 +a~r\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})^2 +r~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{...})^2$$
$$+\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^2$$
Portanto
$$SQ_T=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{...})^2$$
$$SQ_A=b~r\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^2$$
$$SQ_B=a~r\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})^2$$
$$SQ_{AB}=r~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{...})^2$$
$$SQ_E=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^2 $$
Uma forma conveniente para se calcular a soma de quadrados é utilizar o cálculo de variância amostral. Na Tabela 2.2.1 apresentamos quais variâncias devemos calcular.
Fator A | Fator B | |||||
1 | 2 | $\ldots$ | b | Média | ||
1 |
$y_{111},\ldots,y_{11r}$ $s^2_{11}$ |
$y_{121},\ldots,y_{12r}$ $s^2_{12}$ |
$\ldots$ |
$y_{1b1},\ldots,y_{1br}$ $s^2_{1b}$ |
$\overline{y}_{1..}$ | $s^2_A$ |
2 |
$y_{211},\ldots,y_{21r}$ $s^2_{21}$ |
$y_{221},\ldots,y_{22r}$ $s^2_{22}$ |
$\ldots$ |
$y_{2b1},\ldots,y_{2br}$ $s^2_{2b}$ |
$\overline{y}_{2..}$
|
|
$\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
a |
$y_{a11},\ldots,y_{a1r}$ $s^2_{a1}$ |
$y_{a21},\ldots,y_{a2r}$ $s^2_{a2}$ |
$\ldots$ |
$y_{ab1},\ldots,y_{abr}$ $s^2_{ab}$ |
$\overline{y}_{a..}$ | |
Média | $\overline{y}_{.1.}$ | $\overline{y}_{.2.}$ | $\ldots$ | $\overline{y}_{.b.}$ | $\overline{y}_{...}$ | |
$s^2_B$ |
Tabela 2.2.1: Entrada de dados e variâncias.
Portanto,
$$SQ_T=(a~b~r - 1)~s^2_g~~~(2.2.1)$$
$$SQ_A=b~r~(a - 1)~s^2_A~~~(2.2.2)$$
$$SQ_B=a~r~(b - 1)~s^2_B~~~(2.2.3)$$
$$SQ_E=(r - 1)~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}~s^2_{ij}~~~(2.2.4)$$
$$SQ_{AB}=SQ_T-SQ_B-SQ_A-SQ_E~~~(2.2.5)$$
Sendo que:
O número de graus de liberdade em uma soma de quadrados é a quantidade de elementos independentes nessa soma. Por exemplo, consideremos a soma de quadrados $\sum\limits_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}- \overline{y}_{...})^2$. Neste caso, como $\sum\limits_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})=0$, nem todos os elementos $(\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{...}),\ldots, (\overline{y}_{a..}-\overline{y}_{...})$ são independentes. Portanto, temos $(a-1)$ graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:
Efeito | Grau de Liberdade |
Fator A | a - 1 |
Fator B | b - 1 |
Interação $A \times B$ | $(a - 1)(b - 1)$ |
Erro |
$a~b~(r - 1)$ |
Total | $a~b~r - 1$ |
Cada soma de quadrados dividido por seu grau de liberdade determina o quadrado médio (QM), ou seja
$$QM_A~~~=~~~\frac{SQ_A}{a - 1}~~~(2.2.6)~~~~~~~~~~~~~~~\mbox{Fator A}$$
$$QM_B~~~=~~~\frac{SQ_B}{b - 1}~~~(2.2.7)~~~~~~~~~~~~~~~\mbox{Fator B}$$
$$QM_{AB}~~~=~~~\frac{SQ_{AB}}{(a - 1)(b - 1)}~~~(2.2.8)~~~~\mbox{A\times B}$$
$$QM_E~~~=~~~\frac{SQ_E}{a~b~(r - 1)}~~~(2.2.9)~~~~~~~~~\mbox{Réplica}$$
Considerando as expressões (2.2.1)-(2.2.5) e lembrando que o modelo está restrito às condições (2.1.2)
$$\alpha_{.}=\ds\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0,\\\beta_{.}=\ds\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0,\\\tau_{.j}=\ds\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0,\\\tau_{i.}=\ds\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0,$$
vamos calcular o valor esperado do QM.
Para o Fator $A$, temos que
$$E(QM_A)~~~=~~~ E\left(\frac{SQ_A}{a - 1}\right) ~=~\frac{1}{a - 1}E(SQ_A)$$
$$~~~=~~~ \frac{1}{a - 1}~E \left[b~r \sum^{a}_{i=1}\left(\overline{Y}_{i..}~-~\overline{Y}_{...}\right)^2\right]$$
$$~~~=~~~ \frac{b~r}{a - 1}~E\left[\sum^{a}_{i=1}\overline{Y}^2_{i..}~-~a~\overline{Y}_{...}^2\right]~=~\frac{b~r}{a-1}\left[\sum^{a}_{i=1}E(\overline{Y}^2_{i..})~-~a~E(\overline{Y}_{...}^2)\right]$$
Sabemos que
$$\overline{Y}_{i..}~\sim~N \left(\mu + \alpha_{i}+\overline{\beta_.}+\overline{\tau}_{i.}~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right),~~~~~~~~~~~~\overline{Y}_{...}~\sim~N\left(\mu+\overline{\alpha}_{.}+\overline{\beta}_{.}+\overline{\tau}_{..}~;~\frac{\sigma^2}{a~b~r}\right)$$
com
$\overline{\alpha}_{.}~=\ds\cfrac{\alpha_{.}}{a}$,$\overline{\beta}_{.}~=\ds\cfrac{\beta_{.}}{b}$,
$\overline{\tau}_{i.}=\ds\cfrac{\tau_{i.}}{a}$,
$\overline{\tau}_{.j}=\ds\cfrac{\tau_{.j}}{b}$,
e $\overline{\tau}_{..}~=\ds\cfrac{\tau_{..}}{a b}$.
Lembrando das restrições (2.1.2), ficamos com
$$\overline{Y}_{i..}~\sim~N \left(\mu + \alpha_{i} ~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right),~~~~~~~~~~~~\overline{Y}_{...}~\sim~N \left(\mu ~;~\frac{\sigma^2}{a~b~r}\right).$$
Com isso,
$$E(QM_A)~~~=~~~ \frac{b~r}{a - 1}~\left[\sum^{a}_{i=1}\left[\mbox{var}(\overline{Y}_{i..})+(E(\overline{Y}_{i..}))^2\right]~-~a~\left[\mbox{var}(\overline{Y}_{...})+(E(\overline{Y}_{...}))^2\right]\right]$$
usando as restrições (2.1.2) temos
$$~~~=~~~ \sigma^2 + \frac{b~r}{a - 1}~\sum^{a}_{i=1}\left(\alpha_i+\overline{\alpha}_{.}+ \overline{\tau}_{i.}+\overline{\tau}_{..}\right)^2 =\sigma^2+\frac{b~r}{a-1}~\sum^{a}_{i=1}\left(\alpha_i\right)^2$$
De forma semelhante obtemos as esperanças dos demais quadrados médios. Resumidamente temos:
$$E(QM_A)~~~=~~~\sigma^2+\frac{b~r}{a-1}~\sum^{a}_{i=1}\left(\alpha_i\right)^2$$
$$E(QM_B)~~~=~~~\sigma^2 + \frac{a~r}{b - 1}~\sum^{b}_{j=1}\left(\beta_j\right)^2$$
$$E(QM_{AB})~~~=~~~\sigma^2 + \frac{r}{(b-1)(a-1)}~\sum^{a}_{i=1}\sum^{b}_{j=1}\left(\tau_{ij}\right)^2$$
$$E(QM_E)~~~=~~~\sigma^2$$
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