2.2 - Método Hierárquico (Nested)

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Às vezes, as restrições nos impede de cruzar todos os níveis de um fator com todos os níveis do outro fator. Nestes casos, somos forçados para o que é conhecido como uma disposição hierarquizada.

Análise de variância hierarquizada é uma extensão da  ANOVA, em que cada fator é dividido em subgrupos destes fatores. Mais especificamente, estes subgrupos são escolhidos aleatoriamente à partir de um conjunto maior de subgrupos possíveis.

Por exemplo, em sistemas de medição, podemos citar os experimentos não replicáveis, ou seja, são experimentos que a peça não pode ser reavaliada devido à alterações em sua estrutura como o de destruição da peça.

A primeira medida a ser feita antes de abordar estes experimentos, neste caso é garantir que todas as condições que englobam o teste sejam definidas, padronizadas e controladas. No exemplo de sistemas de medição, os operadores devem ser similarmente qualificados e treinados, a iluminação deve ser adequada e sempre controlada, instruções de trabalho devem ser detalhadas e operacionalmente definidas, condições ambientais devem ser controladas dentro de um grau adequado, equipamentos devem ser calibrados e receber manutenção adequada etc.

Depois disto, uma vez que a peça não pode ser reavaliada devido à alterações em sua estrutura (ou destruição), diversas peças semelhantes (homogêneas) devem ser escolhidas para o estudo e deve ser feita a suposição de que as peças são idênticas (ou similares). Desta forma, as peças devem ser amostradas consecutivamente (dentro de um mesmo lote de produção) sendo idênticas (ou similares) o suficiente para que elas possam ser tratadas como se fossem a mesma peça.

Assim, no arranjo experimental definido, os níveis do fator lote (peças similares) ocorrem em combinação com os níveis do fator operador, por exemplo. Tais arranjos experimentais são denominados  hierárquicos ("nested'').

 O modelo de dois fatores aleatórios hierárquicos com dados desbalanceados é dada por


$$y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_{j(i)}+\varepsilon_{k(ij)}\quad\quad\left\{\begin{array}{c}i=1,\dots,a\\j=1,\dots,b_i\\k=0,\dots, n_{ij}\end{array}\right.~~~~(2.2.1)$$

em que,

yijk é a k-ésima observação do j-ésimo nível do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A;
μ é a média geral;
αi é o efeito devido ao i-ésimo nível do fator A;
βj(i) é o efeito devido ao j-ésimo nível do fator B hierarquizado sob o i-ésimo nível do fator A;
σk(ij) é a componente aleatória do erro.​

Agora, vamos desenvolver a análise de variância para o modelo de efeitos aleatórios. A partir de considerações dos dados, temos:


~~ \mbox{soma das observações do nível i e j do fator;}$$


~~ \mbox{média das observações do nível i e j do fator;}$$


~~ \mbox{soma das observações do nível i do fator;}$$


~~ \mbox{média das observações do nível $i$ do fator;}$$


~~ \mbox{soma de todas as observações}$$


~~ \mbox{é a média geral das observações}$$

temos que $ N $ é o total de observações, isto é,

com $ n_{i.}=\displaystyle\sum^{b_i}_{j=1}n_{ij} $ e $ N = \displaystyle \sum^{a}_{i=1} n_{i.}, $ número total de observações, sendo $ a $ e $ b_i $ níveis do fator B (subclasses) dentro de cada nível do fator A.

Denotamos também $ b_{.} $ o número total de subclasses, sendo $ b_.=\displaystyle \sum^a_{i=1}b_i $ e o número de observações na j-ésima subclasse da i-ésima classe é $ n_{ij}. $

Assumimos que o erro tem distribuição Normal com média $ 0 $ e variância $ \sigma^{2}_{\varepsilon} $, além disso, temos que os erros são mutuamente independentes. Com isso, obtemos


$$\varepsilon_{k(ij)}\sim N(0,\sigma^{2}_{\varepsilon}).$$

Agora, para o efeito $ \alpha_i $, assumimos que tem distribuição Normal com média zero e variância $ \sigma^2_{\alpha}, $ e temos que os efeitos são mutuamente independentes. Assim,


$$\alpha_{i}\sim N(0,\sigma^{2}_{\alpha}).$$

E por fim, para o efeito $ \beta_{j(i)} $, assumimos que tem distribuição Normal com média zero e variância $ \sigma^2_{\beta(\alpha)}, $ e temos que os efeitos são mutuamente independentes. Assim,


$$\beta_{j(i)}\sim N(0,\sigma^{2}_{\beta(\alpha)}).$$

 

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