2.2.2 - Análise Estatística

Sob a suposição de normalidade, QME é estatisticamente independente do QMA e QMB(A) e


$$\frac{SQE}{\sigma^2_{\varepsilon}}\sim \chi^2_{[N-b_{.}]}$$

No entanto, em geral, QMA e QMB(A) não tem distribuição Qui-Quadrado e nem são estatisticamente independentes. No caso especial quando nij = ni ( i = 1, 2,..., a ), tem sido demonstrado por Cummings (1972) que QMA e QMB(A) são independentes, mas eles não têm distribuição Qui-Quadrado devido a diferentes números de observações nas subclasses. Cummings (1972) também mostrou que os dados com bi= 2, ni1= n1, ni2= n2 ( i = 1,2,...,a ) têm quadrados médios QMA e QMB(A) com distribuição Qui-Quadrado, porém dependentes. Agora, se tomarmos nij= n para todo i e j, temos que QMA e QMB(A) são independentes pois


$$\frac{SQB(A)}{(\sigma^2_{\varepsilon}+n \sigma^2_{\beta})}\sim \chi^2_{[b_{.}-a]}$$

mas QMA, em geral, não tem distribuição Qui-Quadrado (ver, por exemplo, Scheffé, 1959, p. 252). Ela tem uma distribuição Qui-Quadrado, se e somente se $ \sigma^2_{\alpha}= 0. $ Finalmente, se bi= b para que o desbalanceamento ocorra apenas na última etapa, um método proposto por Khuri (1990) pode ser usado para construir um conjunto de somas de quadrados conjuntamente independentes para cada um tendo uma distribuição Qui-Quadrado exata.

Teste de Hipóteses

Vamos considerar o problema do teste de hipóteses


\sigma^2_{\beta(\alpha)}\textgreater 0~~~(2.2.2.2)\end{array}\right.$$

e


\sigma^2_{\alpha}\textgreater 0~~~(2.2.2.3)\end{array}\right.$$

usando os resultados da análise de variância baseado na soma de quadrados do tipo I (ver figura 2.2.1.1).

Para o teste $ \sigma^2_{\beta}=0 $ em (2.2.2.2) note que QME e QMB(A) são independentes, com QME e QMB(A) tendo uma distribuição Qui-Quadrado com correção de escala, e, além disso, sob a hipótese nula, eles têm o mesmo valor esperado. Portanto, uma estatística de teste é construída pela razão de variâncias.


$$F^B_{0}=\cfrac{\cfrac{SQB(A)}{b_{.}-a}}{\cfrac{SQE}{N-b_{.}}}=\cfrac{QMB(A)}{QME}\sim F_{(b_{.}-a,~N-b_{.})}~~~~~(2.2.2.4)$$

O teste baseado na estatística em (2.2.2.4) é exata e é equivalente ao teste correspondente para dados balanceados. Tem sido demonstrado que não existe um teste uniformemente mais poderoso invariante ou uniformemente mais poderoso invariante imparcial. Porém, Hussein e Milliken (1978) discutem um teste exato para σ2β(α)= 0 em (2.2.2.2), quando $ \beta_{j(i)} $ têm estrutura de variância heterogênea.

No modelo desbalanceado em (2.2.1), não existe um teste exato para σ2α= 0 em (2.2.2.2). Temos que QMA e QMB(A) não são independentes e não têm uma distribuição Qui-Quadrado com correção de escala, o teste usual baseada na estatística $ \frac{QMA}{QMB(A)} $ já não é aplicável. Um procedimento comum é ignorar a suposição de independência e de que tem distribuição Qui-Quadrado e construir uma síntese do pseudo teste F usando quadrados médios com base no procedimento de Satterthwaite (ver, por exemplo, Cummings e Gaylor, 1974). Para a construção de um pseudo teste F podemos obter um componente numerador ou um componente denominador da estatística de teste, ou ambos. Para a construção de um componente do denominador da estatística de teste para  σ2α=0 obtemos uma combinação linear de QMB(A) e QME que tem valor esperado igual $ \sigma^2_{\varepsilon}+r_3\sigma^2_{\beta}. $ Assim, a estatística é dada por


$$QM_{Den}=\frac{r_1}{r_3}QMB(A)+\left(1-\frac{r_1}{r_3}\right)QME~~~(2.2.2.5)$$

Agora, assumimos que QMB(A) tem distribuição Qui-Quadrado com correção de escala e é independente de QMA. Desde que, QME tem distribuição Qui-Quadrado com correção de escala e é independente de QMB(A) e QMA, a combinação linear (2.2.2.5) é aproximada por uma distribuição Qui-Quadrado com correção de escala. Seja (N-a) o grau de liberdade da estatística Qui-Quadrada aproximada dada por (2.2.2.5). Então, o procedimento de teste para testar σ2α= 0 em (2.2.2.3) é baseada na estatística


$$F^{A*}_{0}=\frac{QMA}{QM_{Den}}\sim F_{(a-1,~N-a)}~~~(2.2.2.6)$$

que pressupomos que elas sigam uma distribuição F aproximada com a - 1 e N - a graus de liberdade. Note que quando r1 > r3, o coeficiente $ 1 - \frac{r_1}{r_3}, $ pode assumir um valor negativo que pode afetar a precisão do teste F. As discussões sobre a adequação da aproximação envolvendo coeficiente negativo, consulte Ojeda (Apêndice F).

Alguns autores têm ignorado a estrutura de experimento desbalanceado e usa o teste F convencional baseado na estatística


$$F^A_{0}=\frac{QMA}{QMB(A)}\sim F_{(a-1,~b_.-a)}~~~(2.2.2.7)$$

(ver, por exemplo, Bliss, 1967, p. 353) .

Tietjen (1974) investigou o tamanho da amostra e poder de teste das estatísticas em (2.2.2.6) e (2.2.2.7) para uma variedade de experimentos desbalanceados utilizando simulação Monte Carlo. Ele descobriu que sob a hipótese nula a estatística de teste em (2.2.2.7) estava sempre no intervalo (0,044 , 0,058) para todos os 61 experimentos estudados por ele e, em geral, seu desempenho foi muito melhor do que a estatística em (2.2.2.6). Cummings e Gaylor (1974) também investigaram o efeito da violação das suposições de independência e de distribuição Qui-Quadrado na convergência do teste e em usar os procedimentos com base na estatística de teste em (2.2.2.6) e relataram que a dependência e não distribuição Qui-Quadrado parecem ter efeito de cancelamento e o procedimento parece ser satisfatório. Seus resultados parecem indicar que a convergência do teste desta estatística são apenas levemente afetadas para um amplo intervalo de relações de componentes de variância e experimentos desbalanceados. Tan e Cheng (1984) estudou o desempenho dos procedimentos de teste em (2.2.2.6) e (2.2.2.7), utilizando uma melhor aproximação para a distribuição da estatística de teste baseada na expansão polinomial Laguerre, e descobriu que todos eles tinham um desempenho satisfatório, mas a estatística do teste em (2.2.2.7) é inferior para experimentos extremamente desbalanceados e não pode ser recomendada para uso geral.

Logo, após todos os resultados apresentados vamos apresentar a tabela da ANOVA com efeitos aleatórios usando o método hierárquico para os testes (2.2.2.6) e (2.2.2.7).

Fator Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios Estatística F p-valor
Fator A $ a-1 $ SQA QMA $ F_A=\frac{QMA}{QMB(A)} $ $ P(F\textgreater F_A) $
Fator B hierarquizado ao fator A $ b_.-1 $ SQB(A) QMB(A) $ F_B=\frac{QMB(A)}{QME} $ $ P(F\textgreater F_B) $
Erro $ N-b_. $ SQE QME    
Total $ N-1 $ SQT      

Tabela 2.2.2.1: Tabela da ANOVA baseado na estatística F.

 

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