2.2.3 - Estimação dos parâmetros do modelo

Apresentamos agora os intervalos de confiança para os parâmetros no método hierárquico em que $F_{\alpha,n_1, n_2}$ representa o quantil $(1-\alpha)100\%$ da distribuição F-Snedecor com n₁ graus de liberdade no numerador e n₂ graus de liberdade no denominador. Para a construção desses intervalos, utilizaremos constante, assim como no capítulo de ANOVA com 1 fator aleatório. A tabela 2.2.3.1 representa o caso particular do modelo (2.2.1).

Para facilitar a notação definimos $n_1=a-1$ , $n_2=a(b-1)$ , $n_3=a~b~(r-1)$ e $w=b(a)$

Constante	Definição
$G_a$	$1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,n_1\right)}$
$G_b$	$1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,n_2\right)}$
$G_e$	$1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,n_3\right)}$
$G_c$	$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,(n_1+n_2)\right)}-1$
$H_a$	$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,n_1\right)}-1$
$H_b$	$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,n_2\right)}-1$
$H_e$	$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,n_3\right)}-1$
$H_c$	$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,(n_1+n_2)\right)}-1$
$F_{ae1}$	$F_{\left(\frac{\alpha}{2},n_1,n_3\right)}$
$F_{ae2}$	$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},n_1,n_3\right)}$
$F_{ba1}$	$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},n_2,n_3\right)}$
$F_{ba2}$	$F_{\left(\frac{\alpha}{2},n_2,n_3\right)}$
$G_{ae}$	$\cfrac{(F_{ae1}-1)^2-(G_a F_{ae1})^2-H^2_e}{F_{ae1}}$
$H_{ae}$	$\cfrac{(1-F_{ae2})^2-(H_a F_{ae2})^2-G^2_e}{F_{ae2}}$
$G_{be}$	$\cfrac{(F_{wa1}-1)^2-(G_w F_{wa1})^2-H^2_e}{F_{ae1}}$
$H_{be}$	$\cfrac{(1-F_{wa2})^2-(H_w F_{wa2})^2-G^2_e}{F_{ae2}}$
$G_{aw}$	$\cfrac{(n_1+n_2)^2}{n_1~n_2}G^2_c-\frac{n_1}{n_2}G^2_a-\frac{n_2}{n_1}G^2_w$

Tabela 2.2.3.1: Constantes para a construção dos intervalos de confiança para os parâmetros do modelo.

Intervalo de confiança para $\mu_y$

Para o modelo (2.2.1), foram estudados vários métodos para a construção de intervalos de confiança para $\mu_y$ . Assim, o intervalo de confiança para $\mu_y$ é dado por:

$LI_{\mu_y}=\overline{Y}_{...}-\sqrt{\frac{QMA~F_{(1-\alpha,1,n_1)}}{a~b~r}}$

e

$LS_{\mu_y}=\overline{Y}_{...}+\sqrt{\frac{QMA~F_{(1-\alpha,1,n_1)}}{a~b~r}}~~~~(2.2.3.1)$

Intervalo de confiança para $\sigma^2_\alpha$

Para o intervalo de confiança para $\sigma^2_\alpha,$ temos que

$\hat{\sigma}^2_\alpha=\frac{QMA-QMB(A)}{a~r}$

Assim, quando envolvemos a diferença de dois quadrados médios, temos um intervalo de confiança de:

$LI_{\sigma^2_\alpha}=\hat{\sigma}^2_\alpha-\frac{\sqrt{V_{LA}}}{b~r}$

e

$LS_{\sigma^2_\alpha}=\hat{\sigma}^2_\alpha+\frac{\sqrt{V_{UA}}}{b~r}$

em que

$V_{LA}=G^2_a*QMA^2+H^2_i*QMB(A)^2+G_{aw}*QMA*QMB(A)$

e

$V_{UA}=H^2_a*QMA^2+G^2_i*QMB(A)^2+H_{aw}*QMA*QMB(A)$

Intervalo de confiança para $\sigma^2_{\beta(\alpha)}$

Para o intervalo de confiança para $\sigma^2_{\beta(\alpha)},$ temos que

$\hat{\sigma}^2_{\beta(\alpha)}=\frac{QMB(A)-QME}{r}$

Assim, quando envolvemos a diferença de dois quadrados médios, temos um intervalo de confiança de:

$LI_{\sigma^2_{\beta(\alpha)}}=\hat{\sigma}^2_{\beta(\alpha)}-\frac{\sqrt{V_{L{B(A)}}}}{r}$

e

$LS_{\sigma^2_{\beta(\alpha)}}=\hat{\sigma}^2_{\beta(\alpha)}+\frac{\sqrt{V_{U{B(A)}}}}{r}~~~~(2.2.3.2)$

em que

$V_{L{B(A)}}=G^2_w*QM{B(A)}^2+H^2_e*QME^2+G_{ew}*QM{B(A)}*QME$

e

$V_{U{B(A)}}=H^2_w*QM{B(A)}^2+G^2_e*QME^2+H_{we}*QM{B(A)}*QME$

Intervalo de confiança para $\sigma^2_\varepsilon$

Para o intervalo de confiança para $\sigma^2_\varepsilon,$ temos que

$\hat{\sigma}^2_\varepsilon=QME$

Assim, o intervalo de confiança para $\sigma^2_\varepsilon$ é dada por

$LI_{\sigma^2_\varepsilon}=(1-G_e) QME$

e

$LS_{\sigma^2_\varepsilon}=(1+H_e) QME~~~~(2.2.3.3)$

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