2.2.3 - Estimação dos parâmetros do modelo

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Apresentamos agora os intervalos de confiança para os parâmetros no método hierárquico em que  $ F_{\alpha,n_1, n_2} $ representa o quantil $ (1-\alpha)100\% $ da distribuição F-Snedecor com n1 graus de liberdade no numerador e n2 graus de liberdade no denominador. Para a construção desses intervalos, utilizaremos constante, assim como no capítulo de ANOVA com 1 fator aleatório. A tabela  2.2.3.1  representa o caso particular do modelo (2.2.1).

Para facilitar a notação definimos $ n_1=a-1 $, $ n_2=a(b-1) $, $ n_3=a~b~(r-1) $ e $ w=b(a) $

Constante Definição
$ G_a $ $ 1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,n_1\right)} $
$ G_b $ $ 1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,n_2\right)} $
$ G_e $ $ 1-F_{\left(\frac{\alpha}{2},\infty,n_3\right)} $
$ G_c $ $ F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,(n_1+n_2)\right)}-1 $
$ H_a $ $ F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,n_1\right)}-1 $
$ H_b $ $ F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,n_2\right)}-1 $
$ H_e $ $ F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,n_3\right)}-1 $
$ H_c $ $ F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},\infty,(n_1+n_2)\right)}-1 $
$ F_{ae1} $ $ F_{\left(\frac{\alpha}{2},n_1,n_3\right)} $
$ F_{ae2} $ $ F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},n_1,n_3\right)} $
$ F_{ba1} $ $ F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},n_2,n_3\right)} $
$ F_{ba2} $ $ F_{\left(\frac{\alpha}{2},n_2,n_3\right)} $
$ G_{ae} $ $ \cfrac{(F_{ae1}-1)^2-(G_a F_{ae1})^2-H^2_e}{F_{ae1}} $
$ H_{ae} $ $ \cfrac{(1-F_{ae2})^2-(H_a F_{ae2})^2-G^2_e}{F_{ae2}} $
$ G_{be} $ $ \cfrac{(F_{wa1}-1)^2-(G_w F_{wa1})^2-H^2_e}{F_{ae1}} $
$ H_{be} $ $ \cfrac{(1-F_{wa2})^2-(H_w F_{wa2})^2-G^2_e}{F_{ae2}} $
$ G_{aw} $ $ \cfrac{(n_1+n_2)^2}{n_1~n_2}G^2_c-\frac{n_1}{n_2}G^2_a-\frac{n_2}{n_1}G^2_w $

Tabela 2.2.3.1: Constantes para a construção dos intervalos de confiança para os parâmetros do modelo.

Intervalo de confiança para $ \mu_y $

Para o modelo (2.2.1), foram estudados vários métodos para a construção de intervalos de confiança para $ \mu_y $. Assim, o intervalo de confiança para $ \mu_y $ é dado por:

$$LI_{\mu_y}=\overline{Y}_{...}-\sqrt{\frac{QMA~F_{(1-\alpha,1,n_1)}}{a~b~r}}$$

e

$$LS_{\mu_y}=\overline{Y}_{...}+\sqrt{\frac{QMA~F_{(1-\alpha,1,n_1)}}{a~b~r}}~~~~(2.2.3.1)$$

Intervalo de confiança para $ \sigma^2_\alpha $

Para o intervalo de confiança para $ \sigma^2_\alpha, $ temos que

$$\hat{\sigma}^2_\alpha=\frac{QMA-QMB(A)}{a~r}$$

Assim, quando envolvemos a diferença de dois quadrados médios, temos um intervalo de confiança de:

$$LI_{\sigma^2_\alpha}=\hat{\sigma}^2_\alpha-\frac{\sqrt{V_{LA}}}{b~r}$$

e

$$LS_{\sigma^2_\alpha}=\hat{\sigma}^2_\alpha+\frac{\sqrt{V_{UA}}}{b~r}$$

em que

$$V_{LA}=G^2_a*QMA^2+H^2_i*QMB(A)^2+G_{aw}*QMA*QMB(A)$$

e

$$V_{UA}=H^2_a*QMA^2+G^2_i*QMB(A)^2+H_{aw}*QMA*QMB(A)$$

Intervalo de confiança para $ \sigma^2_{\beta(\alpha)} $

Para o intervalo de confiança para $ \sigma^2_{\beta(\alpha)}, $ temos que

$$\hat{\sigma}^2_{\beta(\alpha)}=\frac{QMB(A)-QME}{r}$$

Assim, quando envolvemos a diferença de dois quadrados médios, temos um intervalo de confiança de:

$$LI_{\sigma^2_{\beta(\alpha)}}=\hat{\sigma}^2_{\beta(\alpha)}-\frac{\sqrt{V_{L{B(A)}}}}{r}$$

e

$$LS_{\sigma^2_{\beta(\alpha)}}=\hat{\sigma}^2_{\beta(\alpha)}+\frac{\sqrt{V_{U{B(A)}}}}{r}~~~~(2.2.3.2)$$

em que

$$V_{L{B(A)}}=G^2_w*QM{B(A)}^2+H^2_e*QME^2+G_{ew}*QM{B(A)}*QME$$

e

$$V_{U{B(A)}}=H^2_w*QM{B(A)}^2+G^2_e*QME^2+H_{we}*QM{B(A)}*QME$$

Intervalo de confiança para $ \sigma^2_\varepsilon $

Para o intervalo de confiança para $ \sigma^2_\varepsilon, $ temos que

$$\hat{\sigma}^2_\varepsilon=QME$$

Assim, o intervalo de confiança para $ \sigma^2_\varepsilon $ é dada por

$$LI_{\sigma^2_\varepsilon}=(1-G_e) QME$$

e

$$LS_{\sigma^2_\varepsilon}=(1+H_e) QME~~~~(2.2.3.3)$$

 

 

 

ANOVA

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