2.3 - Análise Estatística

A seguir,vamos desenvolver um teste $F$ para avaliarmos o efeito da interação e os efeitos principais, conforme tabela abaixo:

Objetivo	Hipótese
efeito do fator A	(A)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\alpha_{1}=...=\alpha_{a}=0\\H_{a}:\alpha_{i}\neq 0~(i=1,\ldots,a)\\\end{array}\right.$
efeito do fator B	(B)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\beta_{1}=...=\beta_{b}=0\\H_{a}:\beta_{j}\neq 0~(j=1,\ldots,b)\\\end{array}\right.$
efeito da Interação($A\times B$)	(C)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\tau_{ij}=0~\mbox{para todos os valores de i e j}\\H_{a}:\tau_{ij}\neq 0\\\end{array}\right.$

Sabemos que a soma de quadrados total é decomposta  na forma $SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E.$

Assim, através do teorema de Cochran, garantimos, sob $\mbox{H}_0$, a independência das somas de quadrados e

$$\cfrac{SQ_A}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2 } \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))},$$

Desta forma, sob $\mbox{H}_0$ (hipóteses A) a estatística $$F_0=\cfrac{\displaystyle\frac{SQ_A}{(\sigma^2)~(a-1)}}{\cfrac{SQ_E}{\sigma^2~a~b~(r-1)}}~~=~~\cfrac{QM_A}{QM_E}~~\sim~~F(a-1;~a~b~(r-1)),$$

isto é, $\mbox{F}_0$ tem distribuição F-Snedecor com (a-1) graus de liberdade no numerador e [ab(r-1)] graus de liberdade no denominador.

Para determinarmos a estatística do teste  para as hipóteses B, obtemos do teorema de Cochran que, sob $\mbox{H}_0$

$$\cfrac{SQ_B}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(b - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))}~,$$

são independentes. Assim,  concluímos que a estatística (sob $\mbox{H}_0$)

$$F_0 =\cfrac{\displaystyle\cfrac{SQ_B}{(\sigma^2)~(b-1)}}{\cfrac{SQ_E}{\sigma^2~(a~b~(r-1))}}~~=~~\cfrac{QM_B}{QM_E}~~\sim~~F(b - 1;a~b~(r - 1)),$$

ou seja, $\mbox{F}_0$ tem distribuição de F-Snedecor com (b-1) graus de liberdade no numerador e [a b (r - 1)] graus de liberdade no denominador.

Para determinarmos a estatística do teste  para as hipóteses C, obtemos do teorema de Cochran que, sob $\mbox{H}_0$

 
$$\cfrac{SQ_{AB}}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a - 1)(b - 1)}~~~~~\mbox{e também,}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))}~~,$$

são independentes. Assim, sob $\mbox{H}_0$ temos que a estatística
       $$F_0=\cfrac{\displaystyle\cfrac{SQ_{AB}}{(\sigma^2)~(a-1)(b-1)}}{\cfrac{SQ_E}{(\sigma^2 )~(a~b~(r-1)))}}~~=~~\cfrac{QM_{AB}}{QM_E}~~\sim~F((a-1)(b-1);(ab(r-1)))$$

tem distribuição de F-Snedecor com (a - 1)(b - 1) graus de liberdade no numerador e [a b (r - 1)] graus de liberdade no denominador.

A região crítica (RC) do teste F é dada por $RC=\{F~\in~\Re^+ ~\mid~F \textgreater F_{1-\alpha}\}$.

O valor crítico $F_{1-\alpha}$ corresponde ao quantil $(1-\alpha)100\%$ da distribuição F-Snedecor com os respectivos graus de liberdade do numerador e do denominador e o nível de significância $\alpha$. A Figura 2.2.1 mostra a região crítica do teste.

Figura 2.3.1: Região crítica do teste F.

 

O teste estatístico para as hipóteses (A, B, C) propostas, está resumido na tabela abaixo.

FV	Graus de Liberdade	Soma de Quadrados	Quadrados Médios	F	P-Valor
Fator A	$a -1$	$SQ_A$	$QM_A$	$F_{A}=\cfrac{QM_A}{QM_E}$	$P(F\textgreater F_A)$
Fator B	$b -1$	$SQ_B$	$QM_B$	$F_{B}=\cfrac{QM_B}{QM_E}$	$P(F\textgreater F_B)$
Interação ($A\times B$)	$(a -1)(b -1)$	$SQ_{AB}$	$QM_{AB}$	$F_{AB}=\cfrac{QM_{AB}}{QM_E}$	$P(F\textgreater F_{AB})$
Erro	$a~b~(r -1)$	$SQ_E$	$QM_E$
Total	$a~b~r - 1$	$SQ_T$

Tabela 2.3.3: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

Exemplo 2.3.1

Faremos um estudo completo para os dados do Exemplo 2.1, que estão repetidos na Tabela 2.3.3.

Tipo de Caixa Redutora	Tipo de Eixo
	Rolado			Cortado			Importado
Nacional	42,1	42	40,3	38,2	37,4	37	40,9	40,7	39,4
	38,9	38,9	43,7	42,3	41,3	42,1	42	41,4	41,3
	41	40,1	40,3	40,5	41,3	40,4	40,6	41,3	41,6
Importado	39,6	40,2	48,4	41,3	46,8	40,3	39,6	36,9	39,9
	40,9	41	41	40,5	39,9	39,3	38,1	38,1	36,2
	39,9	41	42,7	41,3	40,1	41,6	36,7	36,7	36,7

Tabela 2.3.3: Ruído (dB) do limpador de para-brisa.  

 ^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para os dados do exemplo, temos:

$$y_{11.}=42,1+42+40,3+38,9+38,9+43,7+41+40,1+40,3=367,3,\quad\mbox{e}$$

$$\overline{y}_{11.}=\cfrac{367,3}{9}=40,81, \quad \mbox{e}$$

$$\sqrt{s^2_{11}}=\sqrt{\cfrac{1}{8}[(42,1-40,81)^2+(42-40,81)^2+\ldots+(40,1-40,81)^2+(40,3-40,81)^2]}$$

$$=\sqrt{\cfrac{19,79}{8}} = 1,5728.$$

Tipo de Caixa Redutora	Tipo de Eixo			Média
	Rolado	Cortado	Importado
Nacional	$y_{11.}=367,30$ $\overline{y}_{11.}=40,81$ $\sqrt{s^2_{11}}=1,57$	$y_{12.}=360,50$ $\overline{y}_{12.}=40,06$ $\sqrt{s^2_{12}}=2,01$	$y_{13.}=369,20$ $\overline{y}_{13.}=41,02$ $\sqrt{s^2_{13}}=0,75$	$y_{1..}=1097$ $\overline{y}_{1..}=40,63$
Importado	$y_{21.}=374,70$ $\overline{y}_{21.}=41,63$ $\sqrt{s^2_{21}}=2,69$	$y_{22.}=371,10$ $\overline{y}_{22.}=41,23$ $\sqrt{s^2_{22}}=2,22$	$y_{23.}=339,30$ $\overline{y}_{23.}=37,70$ $\sqrt{s^2_{23}}=1,32$	$y_{2..}=1085,10$  $\overline{y}_{2..}=40,19$
Média	$y_{.1.}=742$ $\overline{y}_{.1.}=41,22$	$y_{.2.}=731,60$ $\overline{y}_{.2.}=40,64$	$y_{.3.}=708,50$ $\overline{y}_{.3.}=39,36$	$y_{...}=2182,10$ $\overline{y}_{...}=40,41$

Tabela 2.3.4: Ruído (dB) do limpador de para-brisa.

 

Na soma de quadrados, que segue, A representa o fator Tipo de Caixa Redutora e B o fator Tipo de Eixo.

$$SQ_A=3*9\left((40,63-40,41)^2+(40,19-40,41)^2\right)$$

$$=2,6224$$

$$SQ_B=2*9 \left((41,22-40,41)^2+(40,64-40,41)^2 + (39,36 - 40,41)^2\right)$$

$$=32,6670$$

$$SQ_E=(42,1-40,81)^2+(42-40,81)^2+\ldots+(37,2-37,70)^2+(36,7-37,70)^2$$

$$=167,8067$$

$$SQ_T=(42,1-40,41)^2+(42-40,41)^2+\ldots+(37,2-40,41)^2+(36,7-40,41)^2$$

$$=259,4254$$

$$SQ_{AB}=259,43-2,62-32,67-167,81$$

$$=56,3293$$

Os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:

Efeito	Grau de Liberdade
Fator A	1
Fator B	2
Interação $A \times B$	2
Erro	48
Total	53

Os quadrados médios (QM) são:

$$QM_A=\cfrac{2,62224}{1}=2,62224$$

$$QM_B=\crac{32,6670}{2}=16,3335$$

$$QM_{AB}=\cfrac{56,3293}{2}=28,1646$$

$$QM_E=\cfrac{167,8067}{48}=3,4960$$

FV	Graus de Liberdade	Soma de Quadrados	Quadrados Médios	F	P-valor
Eixo (B)	2	32,6670	16,3335	$\cfrac{16,3335}{3,4960}=4,6721$	0,0140
Caixa Redutora (A)	1	2,6224	2,6224	$\cfrac{2,6224}{3,4960}=0,7501$	0,3907
Interação ($A \times B$)	2	56,3629	28,1646	$\cfrac{28,1646}{3,4960}=8,0563$	0,0010
Resíduo	48	167,8067	3,4960
Total	53	259,4254

Tabela 2.3.5:Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

 

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 2.3.2

Faremos um estudo completo para os dados do Exemplo 2.4

 ^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para os dados do exemplo, temos:

Na soma de quadrados, que segue, A representa o fator Ferramenta e B o fator Ângulo.

$$SQ_A=15,8404$$

$$SQ_B=0,0059$$

$$SQ_E=3,547$$

$$SQ_{AB}=0,00037$$

$$SQ_T=19,3936$$

Os quadrados médios (QM) são:

$$QM_A=\cfrac{15,84}{1}=15,84$$

$$QM_B=\cfrac{0,0059}{1}=0,0059$$

$$QM_{AB}=\cfrac{0,00037}{1}=0,00037$$

$$QM_E=\cfrac{3,547}{96}=0,0369$$

 

FV	GL	SQ	QM	F	P-valor
Ferramenta (A)	1	15,84	15,84	$\cfrac{15,8404}{0,037}=428,73$	0
Ângulo (B)	1	0,0059	0,0059	$\cfrac{0,0059}{0,037}=0,16$	0,6901
Interação ($A \times B$)	1	0,00036	0,00036	$\cfrac{0,00036}{0,037}=0,01$	0,9206
Resíduo	96	3,547	0,037
Total	99	19,3936

Tabela 2.3.6:Tabela de Análise de Variância (ANOVA).

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.