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A seguir,vamos desenvolver um teste $F$ para avaliarmos o efeito da interação e os efeitos principais, conforme tabela abaixo:
Objetivo |
Hipótese |
efeito do fator A | (A)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\alpha_{1}=...=\alpha_{a}=0\\H_{a}:\alpha_{i}\neq 0~(i=1,\ldots,a)\\\end{array}\right.$ |
efeito do fator B | (B)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\beta_{1}=...=\beta_{b}=0\\H_{a}:\beta_{j}\neq 0~(j=1,\ldots,b)\\\end{array}\right.$ |
efeito da Interação($A\times B$) | (C)$\left\{\begin{array}{ll}H_{0}:\tau_{ij}=0~\mbox{para todos os valores de i e j}\\H_{a}:\tau_{ij}\neq 0\\\end{array}\right.$ |
Sabemos que a soma de quadrados total é decomposta na forma $SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E.$
Assim, através do teorema de Cochran, garantimos, sob $\mbox{H}_0$, a independência das somas de quadrados e
$$\cfrac{SQ_A}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2 } \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))},$$
Desta forma, sob $\mbox{H}_0$ (hipóteses A) a estatística $$F_0=\cfrac{\displaystyle\frac{SQ_A}{(\sigma^2)~(a-1)}}{\cfrac{SQ_E}{\sigma^2~a~b~(r-1)}}~~=~~\cfrac{QM_A}{QM_E}~~\sim~~F(a-1;~a~b~(r-1)),$$
isto é, $\mbox{F}_0$ tem distribuição F-Snedecor com (a-1) graus de liberdade no numerador e [ab(r-1)] graus de liberdade no denominador.
Para determinarmos a estatística do teste para as hipóteses B, obtemos do teorema de Cochran que, sob $\mbox{H}_0$
$$\cfrac{SQ_B}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(b - 1)}~~~~~\mbox{e}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))}~,$$
são independentes. Assim, concluímos que a estatística (sob $\mbox{H}_0$)
$$F_0 =\cfrac{\displaystyle\cfrac{SQ_B}{(\sigma^2)~(b-1)}}{\cfrac{SQ_E}{\sigma^2~(a~b~(r-1))}}~~=~~\cfrac{QM_B}{QM_E}~~\sim~~F(b - 1;a~b~(r - 1)),$$
ou seja, $\mbox{F}_0$ tem distribuição de F-Snedecor com (b-1) graus de liberdade no numerador e [a b (r - 1)] graus de liberdade no denominador.
Para determinarmos a estatística do teste para as hipóteses C, obtemos do teorema de Cochran que, sob $\mbox{H}_0$
$$\cfrac{SQ_{AB}}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a - 1)(b - 1)}~~~~~\mbox{e também,}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))}~~,$$
são independentes. Assim, sob $\mbox{H}_0$ temos que a estatística
$$F_0=\cfrac{\displaystyle\cfrac{SQ_{AB}}{(\sigma^2)~(a-1)(b-1)}}{\cfrac{SQ_E}{(\sigma^2 )~(a~b~(r-1)))}}~~=~~\cfrac{QM_{AB}}{QM_E}~~\sim~F((a-1)(b-1);(ab(r-1)))$$
tem distribuição de F-Snedecor com (a - 1)(b - 1) graus de liberdade no numerador e [a b (r - 1)] graus de liberdade no denominador.
A região crítica (RC) do teste F é dada por $RC=\{F~\in~\Re^+ ~\mid~F \textgreater F_{1-\alpha}\}$.
O valor crítico $F_{1-\alpha}$ corresponde ao quantil $(1-\alpha)100\%$ da distribuição F-Snedecor com os respectivos graus de liberdade do numerador e do denominador e o nível de significância $\alpha$. A Figura 2.2.1 mostra a região crítica do teste.
Figura 2.3.1: Região crítica do teste F.
O teste estatístico para as hipóteses (A, B, C) propostas, está resumido na tabela abaixo.
FV | Graus de Liberdade | Soma de Quadrados | Quadrados Médios | F | P-Valor |
Fator A | $a -1$ | $SQ_A$ | $QM_A$ | $F_{A}=\cfrac{QM_A}{QM_E}$ | $P(F\textgreater F_A)$ |
Fator B | $b -1$ | $SQ_B$ | $QM_B$ | $F_{B}=\cfrac{QM_B}{QM_E}$ | $P(F\textgreater F_B)$ |
Interação ($A\times B$) | $(a -1)(b -1)$ | $SQ_{AB}$ | $QM_{AB}$ | $F_{AB}=\cfrac{QM_{AB}}{QM_E}$ | $P(F\textgreater F_{AB})$ |
Erro | $a~b~(r -1)$ | $SQ_E$ | $QM_E$ | ||
Total | $a~b~r - 1$ | $SQ_T$ |
Tabela 2.3.3: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).
Faremos um estudo completo para os dados do Exemplo 2.1, que estão repetidos na Tabela 2.3.3.
Tipo de Caixa Redutora | Tipo de Eixo | ||||||||
Rolado | Cortado | Importado | |||||||
Nacional | 42,1 | 42 | 40,3 | 38,2 | 37,4 | 37 | 40,9 | 40,7 | 39,4 |
38,9 | 38,9 | 43,7 | 42,3 | 41,3 | 42,1 | 42 | 41,4 | 41,3 | |
41 | 40,1 | 40,3 | 40,5 | 41,3 | 40,4 | 40,6 | 41,3 | 41,6 | |
Importado | 39,6 | 40,2 | 48,4 | 41,3 | 46,8 | 40,3 | 39,6 | 36,9 | 39,9 |
40,9 | 41 | 41 | 40,5 | 39,9 | 39,3 | 38,1 | 38,1 | 36,2 | |
39,9 | 41 | 42,7 | 41,3 | 40,1 | 41,6 | 36,7 | 36,7 | 36,7 |
Tabela 2.3.3: Ruído (dB) do limpador de para-brisa.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Para os dados do exemplo, temos:
$$y_{11.}=42,1+42+40,3+38,9+38,9+43,7+41+40,1+40,3=367,3,\quad\mbox{e}$$
$$\overline{y}_{11.}=\cfrac{367,3}{9}=40,81, \quad \mbox{e}$$
$$\sqrt{s^2_{11}}=\sqrt{\cfrac{1}{8}[(42,1-40,81)^2+(42-40,81)^2+\ldots+(40,1-40,81)^2+(40,3-40,81)^2]}$$
$$=\sqrt{\cfrac{19,79}{8}} = 1,5728.$$
Tipo de Caixa Redutora | Tipo de Eixo | Média | ||
Rolado | Cortado | Importado | ||
Nacional |
$y_{11.}=367,30$ $\overline{y}_{11.}=40,81$ $\sqrt{s^2_{11}}=1,57$ |
$y_{12.}=360,50$ $\overline{y}_{12.}=40,06$ $\sqrt{s^2_{12}}=2,01$ |
$y_{13.}=369,20$ $\overline{y}_{13.}=41,02$ $\sqrt{s^2_{13}}=0,75$ |
$y_{1..}=1097$ $\overline{y}_{1..}=40,63$ |
Importado |
$y_{21.}=374,70$ $\overline{y}_{21.}=41,63$ $\sqrt{s^2_{21}}=2,69$ |
$y_{22.}=371,10$ $\overline{y}_{22.}=41,23$ $\sqrt{s^2_{22}}=2,22$ |
$y_{23.}=339,30$ $\overline{y}_{23.}=37,70$ $\sqrt{s^2_{23}}=1,32$ |
$y_{2..}=1085,10$ $\overline{y}_{2..}=40,19$ |
Média |
$y_{.1.}=742$ $\overline{y}_{.1.}=41,22$ |
$y_{.2.}=731,60$ $\overline{y}_{.2.}=40,64$ |
$y_{.3.}=708,50$ $\overline{y}_{.3.}=39,36$ |
$y_{...}=2182,10$ $\overline{y}_{...}=40,41$ |
Tabela 2.3.4: Ruído (dB) do limpador de para-brisa.
Na soma de quadrados, que segue, A representa o fator Tipo de Caixa Redutora e B o fator Tipo de Eixo.
$$SQ_A=3*9\left((40,63-40,41)^2+(40,19-40,41)^2\right)$$
$$=2,6224$$
$$SQ_B=2*9 \left((41,22-40,41)^2+(40,64-40,41)^2 + (39,36 - 40,41)^2\right)$$
$$=32,6670$$
$$SQ_E=(42,1-40,81)^2+(42-40,81)^2+\ldots+(37,2-37,70)^2+(36,7-37,70)^2$$
$$=167,8067$$
$$SQ_T=(42,1-40,41)^2+(42-40,41)^2+\ldots+(37,2-40,41)^2+(36,7-40,41)^2$$
$$=259,4254$$
$$SQ_{AB}=259,43-2,62-32,67-167,81$$
$$=56,3293$$
Os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:
Efeito | Grau de Liberdade |
Fator A | 1 |
Fator B | 2 |
Interação $A \times B$ | 2 |
Erro | 48 |
Total | 53 |
Os quadrados médios (QM) são:
$$QM_A=\cfrac{2,62224}{1}=2,62224$$
$$QM_B=\crac{32,6670}{2}=16,3335$$
$$QM_{AB}=\cfrac{56,3293}{2}=28,1646$$
$$QM_E=\cfrac{167,8067}{48}=3,4960$$
FV | Graus de Liberdade | Soma de Quadrados | Quadrados Médios | F | P-valor |
Eixo (B) | 2 | 32,6670 | 16,3335 | $\cfrac{16,3335}{3,4960}=4,6721$ | 0,0140 |
Caixa Redutora (A) | 1 | 2,6224 | 2,6224 | $\cfrac{2,6224}{3,4960}=0,7501$ | 0,3907 |
Interação ($A \times B$) | 2 | 56,3629 | 28,1646 | $\cfrac{28,1646}{3,4960}=8,0563$ | 0,0010 |
Resíduo | 48 | 167,8067 | 3,4960 | ||
Total | 53 | 259,4254 |
Tabela 2.3.5:Tabela de Análise de Variância (ANOVA).
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Faremos um estudo completo para os dados do Exemplo 2.4
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Para os dados do exemplo, temos:
Na soma de quadrados, que segue, A representa o fator Ferramenta e B o fator Ângulo.
$$SQ_A=15,8404$$
$$SQ_B=0,0059$$
$$SQ_E=3,547$$
$$SQ_{AB}=0,00037$$
$$SQ_T=19,3936$$
Os quadrados médios (QM) são:
$$QM_A=\cfrac{15,84}{1}=15,84$$
$$QM_B=\cfrac{0,0059}{1}=0,0059$$
$$QM_{AB}=\cfrac{0,00037}{1}=0,00037$$
$$QM_E=\cfrac{3,547}{96}=0,0369$$
FV | GL | SQ | QM | F | P-valor |
Ferramenta (A) | 1 | 15,84 | 15,84 |
$\cfrac{15,8404}{0,037}=428,73$ |
0 |
Ângulo (B) | 1 | 0,0059 | 0,0059 | $\cfrac{0,0059}{0,037}=0,16$ | 0,6901 |
Interação ($A \times B$) | 1 | 0,00036 | 0,00036 | $\cfrac{0,00036}{0,037}=0,01$ | 0,9206 |
Resíduo | 96 | 3,547 | 0,037 | ||
Total | 99 | 19,3936 |
Tabela 2.3.6:Tabela de Análise de Variância (ANOVA).
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
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