2.4 - Estimação dos Parâmetros do Modelo

A seguir, vamos apresentar os estimadores para os parâmetros do modelo
 

Modelo:

$$Y_{ijk}=\mu +\alpha_{i}+\beta_{j}+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk},\quad i=1,\ldots,a \quad \mbox{e} \quad j=1,\ldots,b.$$

e intervalos de confiança. Como estimador da média geral, tomamos

$$\widehat{\mu}=\overline{y}_{...},$$

para os efeitos tomamos

$$\widehat{\alpha}_{i}=\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...}$$

$$\widehat{\beta}_{j}=\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...}$$

Um intervalo de confiança para a média do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B, pode ser facilmente estabelecido. A média do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B, é dada por

$$\mu_{i.}=\mu + \alpha_i$$

$$\mu_{j.}=\mu + \beta_j$$

Então, um estimador pontual para $\mu_{i.}$ e $\mu_{j.}$ é definido por

$$\widehat{\mu}_{i.}=\widehat{\mu}+\widehat{\alpha_i}~=~\overline{y}_{i..}$$

$$\widehat{\mu}_{j.}=\widehat{\mu}+\widehat{\beta_j}~=~\overline{y}_{.j.}$$

Sabemos que $Y_{ijk} \sim N(\mu + \alpha_i + \beta_j +\tau_{ij}~;~\sigma^2)$.

Vamos assumir as restrições (2.1.2), ou seja, $\sum\limits^{a}_{i=1}\alpha_i~=~0$, $\sum\limits^{b}_{j=1}\beta_j~=~0$ $\sum\limits^{a}_{i=1}\tau_{ij}~=~0$ e $\sum\limits^{b}_{j=1}\tau_{ij}~=~0$. Com isso, temos que

$$\overline{Y}_{i..}\sim N\left(\mu+\alpha_i~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right)~~\mbox{e}~~\overline{Y}_{.j.}\sim N\left(\mu+\beta_j~;~\frac{\sigma^2}{a~r}\right).$$

Além disso, concluímos que

$$z~=~\frac{\overline{Y}_{i..}~-~\mu_{i.}}{\sqrt{\mbox{var}(\overline{Y}_{i..})}}\sim N(0,1)~~\mbox{e}~~\frac{a~b~(r - 1)QM_E}{\sigma^2}~\sim~\chi^2_{(a~b~(r-1))}$$

Desta forma, obtemos que

$$T~=~\cfrac{\cfrac{\ds\overline{Y}_{i..}~-~\mu_{i.}}{\ds\sqrt{\mbox{var}(\overline{Y}_{i..})}}}{\sqrt{\cfrac{\cfrac{a~b~(r-1)QM_E}{\sigma^2}}{a~b~(r-1)}}}~=~\cfrac{\overline{Y}_{i..}~-~\mu_{i.}}{\sqrt{\cfrac{QM_E}{b~r}}}~\sim~t_{(a~b~(r-1))}$$

ou seja, T tem distribuição t-Student com $[a~b~(r - 1)]$ graus de liberdade. Portanto, o intervalo com confiança de $(1-\alpha)100\%$ para a média do i-ésimo nível do fator A é definido por

$$\overline{y}_{i..}-t(1-\alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{b~r} }~~\leq~~\mu_{i.}~~\leq~~\overline{y}_{i..}+t(1- \alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{b~r}},$$

no qual $t(1-\alpha/2;a~b~(r-1))$ representa o quantil $(1-\alpha/2)$ da distribuição t-Student com $a~b~(r-1)$ graus de liberdade. Da mesma forma, temos que o intervalo com confiança de $(1-\alpha)100\%$ para a média do j-ésimo nível do fator B é definido por

$$\overline{y}_{.j.}-t(1-\alpha/2;a~b~(r - 1))*\sqrt{\frac{QME}{a~r} } ~~\leq~~\mu_{.j}~~\leq~~ \overline{y}_{.j.}+ t(1-\alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{a~r}}$$

Podemos ainda, criar um intervalo de confiança para a diferença entre as médias de um mesmo fator, visto que

$$\overline{Y}_{i..} \sim N\left(\mu+\alpha_i~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right)$$

são independentes para $i=1,\ldots,a$, temos que

$$\overline{Y}_{i..} - \overline{Y}_{l..} \sim N\left(\alpha_i-\alpha_l~;~\frac{2\sigma^2}b~r}\right).$$

Logo

$$ \cfrac{\overline{Y}_{i..} - \overline{Y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\sqrt{\cfrac{2\sigma^2}{b~r}}}\sim N(0,1)$$

Desta forma, obtemos que

$$T=\frac{\displaystyle\cfrac{\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\displaystyle\sqrt{\cfrac{2\sigma^2}{b~r}}}}{\sqrt{\cfrac{\cfrac{a~b~(r - 1)QM_E}{\sigma^2}}{a~b~(r -1)}}}=\cfrac{\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\sqrt{\cfrac{2*QM_E}{b~r}}}~\sim~t_{(a~b~(r- 1))}$$

Assim um intervalo de confiança de $(1-\alpha)100\%$ para a diferença entre as médias dos níveis fator A, será dado por

$$ \overline{y}_{i..}-\overline{y}_{l..}-\Delta~~\leq~~ \mu_{i.}-\mu_{l.} ~~\leq~~ \overline{y}_{i..} -\overline{y}_{l..} + \Delta$$

onde

$$\Delta=t(1- \alpha/2;a~b~(r - 1))*\sqrt{\frac{2*QME}{b~r}}.$$

Similarmente podemos construir um intervalo de confiança de $(1-\alpha)100\%$ para a diferença entre as médias dos níveis do fator B, na forma

$$ \overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{.l.}-\Delta ~~\leq~~ \mu_{.j}-\mu_{.l}~~\leq~~\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{.l.} + \Delta$$

onde

$$\Delta=t(1- \alpha/2;a~b~(r - 1))*\sqrt{\frac{2*QME}{a~r}}.$$

Exemplo 2.4.1

 ^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Voltando ao Exemplo 2.1 (ruído do limpador de para-brisa), encontramos as seguintes estimativas para a média geral e para os efeitos dos níveis.

$\widehat{\mu}=\overline{y}_{...}~=~40,41$	$\widehat{\beta}_{1}=41,22-40,41=0,81$
$\widehat{\alpha}_{1}=40,63-40,41=0,22$	$\widehat{\beta}_{2}=40,64-40,41=0,24$
$\widehat{\alpha}_{2}=40,19-40,41=-0,22$	$\widehat{\beta}_{3}=39,36-40,41=-1,05$

Um intervalo com confiança de 95 % para a média do nível 1 (Nacional) do fator A (Tipo de Caixa Redutora) é dado por

$$\overline{y}_{1..}-t_{(0,975; 48)}*\sqrt{\frac{QME}{b~r}}~~\leq~~\mu_{1.}~~0\leq~~\overline{y}_{1..}+t_{(0,975;48)}*\sqrt{\frac{QME}{b~r}}$$

$$40,63-2,010635*\sqrt{\frac{3,4960}{27}}~~\leq~~\mu_{1.}~~\leq~~40,63+2,010635*\sqrt{\frac{3,4960}{27}}$$

$$39,91 ~~\leq~~\mu_{1.}~~\leq~~41,35$$

Um intervalo com confiança de 95 % para a média do nível 2 (Importado) do fator B (Tipo de Eixo) é dado por

$$\overline{y}_{.2.}-t_{(0,975; 48)}*\sqrt{\frac{QME}{a~r}}~~\leq~~\mu_{.2}~~\leq~~\overline{y}_{.2.}+t_{(0,975; 48)}*\sqrt{\frac{QME}{a~r}}$$

$$39,36-2,010635*\sqrt{\frac{3,4960}{18}}~~\leq~~\mu_{.2}~~\leq~~39,36+2,010635*\sqrt{\frac{3,4960}{18}}$$

$$38,47~~\leq~~\mu_{.3}~~\leq~~40,23$$

Um intervalo com confiança de 95% para a diferença entres as médias do nível Cortado e Importado do fator B (Tipo de Eixo) é dado por

$$\Delta=t_{(0,975; 48)}*\sqrt{\frac{2*QME}{a~r}}$$

$$\Delta=2,010635*\sqrt{\frac{2*3.4960}{18}}=0,6232506$$

$$ \overline{y}_{.2.}-\overline{y}_{.3.}-\Delta~~\leq~~\mu_{2.}-\mu_{3.}~~\leq~~\overline{y}_{.2.}-\overline{y}_{.3.}+\Delta$$

$$40,64-39,36-0,6232506~~\leq~~\mu_{2.}-\mu_{3.}~~\leq~~40,64-39,36+0,6232506$$

$$0,6567~~\leq~~\mu_{2.}-\mu_{3.}~~\leq~~1,903251$$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

 

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.