2.4 - Estimação dos Parâmetros do Modelo - ANOVA

A seguir, vamos apresentar os estimadores para os parâmetros do modelo

Modelo:

$Y_{ijk}=\mu +\alpha_{i}+\beta_{j}+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk},\quad i=1,\ldots,a \quad \mbox{e} \quad j=1,\ldots,b.$

e intervalos de confiança. Como estimador da média geral, tomamos

$\widehat{\mu}=\overline{y}_{...},$

para os efeitos tomamos

$\widehat{\alpha}_{i}=\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...}$

$\widehat{\beta}_{j}=\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...}$

Um intervalo de confiança para a média do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B, pode ser facilmente estabelecido. A média do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B, é dada por

$\mu_{i.}=\mu + \alpha_i$

$\mu_{j.}=\mu + \beta_j$

Então, um estimador pontual para $\mu_{i.}$ e $\mu_{j.}$ é definido por

$\widehat{\mu}_{i.}=\widehat{\mu}+\widehat{\alpha_i}~=~\overline{y}_{i..}$

$\widehat{\mu}_{j.}=\widehat{\mu}+\widehat{\beta_j}~=~\overline{y}_{.j.}$

Sabemos que $Y_{ijk} \sim N(\mu + \alpha_i + \beta_j +\tau_{ij}~;~\sigma^2)$ .

Vamos assumir as restrições (2.1.2), ou seja, $\sum\limits^{a}_{i=1}\alpha_i~=~0$ , $\sum\limits^{b}_{j=1}\beta_j~=~0$ $\sum\limits^{a}_{i=1}\tau_{ij}~=~0$ e $\sum\limits^{b}_{j=1}\tau_{ij}~=~0$ . Com isso, temos que

$\overline{Y}_{i..}\sim N\left(\mu+\alpha_i~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right)~~\mbox{e}~~\overline{Y}_{.j.}\sim N\left(\mu+\beta_j~;~\frac{\sigma^2}{a~r}\right).$

Além disso, concluímos que

$z~=~\frac{\overline{Y}_{i..}~-~\mu_{i.}}{\sqrt{\mbox{var}(\overline{Y}_{i..})}}\sim N(0,1)~~\mbox{e}~~\frac{a~b~(r - 1)QM_E}{\sigma^2}~\sim~\chi^2_{(a~b~(r-1))}$

Desta forma, obtemos que

$T~=~\cfrac{\cfrac{\ds\overline{Y}_{i..}~-~\mu_{i.}}{\ds\sqrt{\mbox{var}(\overline{Y}_{i..})}}}{\sqrt{\cfrac{\cfrac{a~b~(r-1)QM_E}{\sigma^2}}{a~b~(r-1)}}}~=~\cfrac{\overline{Y}_{i..}~-~\mu_{i.}}{\sqrt{\cfrac{QM_E}{b~r}}}~\sim~t_{(a~b~(r-1))}$

ou seja, T tem distribuição t-Student com $[a~b~(r - 1)]$ graus de liberdade. Portanto, o intervalo com confiança de $(1-\alpha)100\%$ para a média do i-ésimo nível do fator A é definido por

$\overline{y}_{i..}-t(1-\alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{b~r} }~~\leq~~\mu_{i.}~~\leq~~\overline{y}_{i..}+t(1- \alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{b~r}},$

no qual $t(1-\alpha/2;a~b~(r-1))$ representa o quantil $(1-\alpha/2)$ da distribuição t-Student com $a~b~(r-1)$ graus de liberdade. Da mesma forma, temos que o intervalo com confiança de $(1-\alpha)100\%$ para a média do j-ésimo nível do fator B é definido por

$\overline{y}_{.j.}-t(1-\alpha/2;a~b~(r - 1))*\sqrt{\frac{QME}{a~r} } ~~\leq~~\mu_{.j}~~\leq~~ \overline{y}_{.j.}+ t(1-\alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{a~r}}$

Podemos ainda, criar um intervalo de confiança para a diferença entre as médias de um mesmo fator, visto que

$\overline{Y}_{i..} \sim N\left(\mu+\alpha_i~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right)$

são independentes para $i=1,\ldots,a$ , temos que

$\overline{Y}_{i..} - \overline{Y}_{l..} \sim N\left(\alpha_i-\alpha_l~;~\frac{2\sigma^2}b~r}\right).$

Logo

$\cfrac{\overline{Y}_{i..} - \overline{Y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\sqrt{\cfrac{2\sigma^2}{b~r}}}\sim N(0,1)$

Desta forma, obtemos que

$T=\frac{\displaystyle\cfrac{\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\displaystyle\sqrt{\cfrac{2\sigma^2}{b~r}}}}{\sqrt{\cfrac{\cfrac{a~b~(r - 1)QM_E}{\sigma^2}}{a~b~(r -1)}}}=\cfrac{\overline{Y}_{i..}-\overline{Y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\sqrt{\cfrac{2*QM_E}{b~r}}}~\sim~t_{(a~b~(r- 1))}$

Assim um intervalo de confiança de $(1-\alpha)100\%$ para a diferença entre as médias dos níveis fator A, será dado por

$\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{l..}-\Delta~~\leq~~ \mu_{i.}-\mu_{l.} ~~\leq~~ \overline{y}_{i..} -\overline{y}_{l..} + \Delta$

onde

$\Delta=t(1- \alpha/2;a~b~(r - 1))*\sqrt{\frac{2*QME}{b~r}}.$

Similarmente podemos construir um intervalo de confiança de $(1-\alpha)100\%$ para a diferença entre as médias dos níveis do fator B, na forma

$\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{.l.}-\Delta ~~\leq~~ \mu_{.j}-\mu_{.l}~~\leq~~\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{.l.} + \Delta$

onde

$\Delta=t(1- \alpha/2;a~b~(r - 1))*\sqrt{\frac{2*QME}{a~r}}.$

Exemplo 2.4.1

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Voltando ao Exemplo 2.1 (ruído do limpador de para-brisa), encontramos as seguintes estimativas para a média geral e para os efeitos dos níveis.

$\widehat{\mu}=\overline{y}_{...}~=~40,41$	$\widehat{\beta}_{1}=41,22-40,41=0,81$
$\widehat{\alpha}_{1}=40,63-40,41=0,22$	$\widehat{\beta}_{2}=40,64-40,41=0,24$
$\widehat{\alpha}_{2}=40,19-40,41=-0,22$	$\widehat{\beta}_{3}=39,36-40,41=-1,05$