2.5 - Análise de resíduos

A decomposição da variabilidade na análise de variância é puramente algébrica. Entretanto, para realizarmos os testes estatísticos e os intervalos de confiança, utilizamos as seguintes hipóteses:

1. Os erros $\varepsilon_{ijk}$ são normais e independentes, com média $0$ e variância constante $\sigma^2;$ e
2. As observações são descritas através do modelo $y_{ijk}=\mu + \alpha_{i} + \beta_{j} + \tau_{ij} + \varepsilon_{ijk}.$

Na prática, precisamos verificar se estas suposições não são absurdas. Violações nestas suposições são verificadas através dos resíduos. O resíduo para a k-ésima observação do nível i do fator A e nível j do fator B é definido por:

$$\widehat{e}_{ijk}=y_{ijk}-\widehat{y}_{ijk}.~~~(2.5.1)$$

onde $\widehat{y}_{ijk}$ é uma estimativa da observação $y_{ijk}$

obtida por:

$$\widehat{y}_{ijk}=\widehat{\mu}+\widehat{\alpha}_i+\widehat{\beta}_j+\widehat{\tau}_{ij}$$

$$=\overline{y}_{...}+(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{..})+(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{..})+\left(\overline{y}_{ij.}-(\widehat{\alpha}_i+\widehat{\beta}_j-\overline{y}_{...})\right)=\overline{y}_{ij.},$$

Portanto

$$\widehat{y}_{ijk}=\overline{y}_{ij.}.~~~(2.5.2)\end$$

Para mais detalhes verificar o conteúdo de Testes de Normalidade (Inferência Estatística).

Exemplo 2.5.1

Consideremos os dados apresentados no Exemplo 2.1, calcular os resíduos das observações.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Lembramos que os resíduos são calculados usando a equação $\widehat{e}_{ijk}=y_{ijk}-\widehat{y}_{ijk},$ conforme (2.5.1), sendo que os $y_{ijk}$ são cada um dos valores da variável resposta, nesse caso o Ruído produzido pelo limpador de para-brisas, e que $\widehat{y}_{ijk} = \overline{y}_{ij.},$ conforme expressão (2.5.2).

A tabela 2.5.1 contém os resíduos dos dados do exemplo.

Tabela 2.5.1: Cálculo dos Resíduos.

Uma ferramenta importante na análise de resíduos são os gráficos apresentados a seguir.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Figura 2.5.1: Gráficos de resíduos.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.