2.5 - Análise de resíduos

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A decomposição da variabilidade na análise de variância é puramente algébrica. Entretanto, para realizarmos os testes estatísticos e os intervalos de confiança, utilizamos as seguintes hipóteses:

  1. Os erros $ \varepsilon_{ijk} $ são normais e independentes, com média $ 0 $ e variância constante $ \sigma^2; $ e
  2. As observações são descritas através do modelo $ y_{ijk}=\mu + \alpha_{i} + \beta_{j} + \tau_{ij} + \varepsilon_{ijk}. $

Na prática, precisamos verificar se estas suposições não são absurdas. Violações nestas suposições são verificadas através dos resíduos. O resíduo para a k-ésima observação do nível i do fator A e nível j do fator B é definido por:


$$\widehat{e}_{ijk}=y_{ijk}-\widehat{y}_{ijk}.~~~(2.5.1)$$

onde $ \widehat{y}_{ijk} $ é uma estimativa da observação $ y_{ijk} $

obtida por:


$$\widehat{y}_{ijk}=\widehat{\mu}+\widehat{\alpha}_i+\widehat{\beta}_j+\widehat{\tau}_{ij}$$


$$=\overline{y}_{...}+(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{..})+(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{..})+\left(\overline{y}_{ij.}-(\widehat{\alpha}_i+\widehat{\beta}_j-\overline{y}_{...})\right)=\overline{y}_{ij.},$$

Portanto


$$\widehat{y}_{ijk}=\overline{y}_{ij.}.~~~(2.5.2)\end$$

Para mais detalhes verificar o conteúdo de Testes de Normalidade (Inferência Estatística).

Exemplo 2.5.1

Consideremos os dados apresentados no Exemplo 2.1, calcular os resíduos das observações.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Lembramos que os resíduos são calculados usando a equação $ \widehat{e}_{ijk}=y_{ijk}-\widehat{y}_{ijk}, $ conforme (2.5.1), sendo que os $ y_{ijk} $ são cada um dos valores da variável resposta, nesse caso o Ruído produzido pelo limpador de para-brisas, e que $ \widehat{y}_{ijk} = \overline{y}_{ij.}, $ conforme expressão (2.5.2).

A tabela 2.5.1 contém os resíduos dos dados do exemplo.

Tipo de Caixa Redutora  Tipo de eixo
Rolado Cortado Importado
Nacional

1,29

-1,91

0,19

1,19

-1,91

-0,71

-0,51

2,89

-0,51

-1,86

2,24

0,44

-2,66

1,24

1,24

-3,06

2,04

0,34

-0,12

0,98

-0,42

-0,32

0,38

0,28

-1,62

0,28

0,58
Importado

-2,03

-0,73

-1,73

-1,43

-0,63

-0,63

6,77

-0,63

1,07

0,07

-0,73

0,07

5,57

-1,33

-1,13

-0,93

-1,93

0,37

1,9

0,4

-1

-0,8

0,3

-0,5

2,2

-1,5

-1

Tabela 2.5.1: Cálculo dos Resíduos.

Uma ferramenta importante na análise de resíduos são os gráficos apresentados a seguir.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Figura 2.5.1: Gráficos de resíduos.

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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