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O método de Fisher, para comparar todos pares de médias, controla a taxa de erro ao nível de significância α para cada comparação dois a dois, mas não controla a taxa de erro do experimento. Esse procedimento usa a estatística $t$ para testar $H_{0}: \mu_{i}=\mu_{j}$, em que
$$t_{0}=\dfrac{\overline{y_{i.}}-\overline{y_{j.}}}{\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n_{i}}+\dfrac{1}{n_{j}}\right)}}.$$
O procedimento de Fisher consiste em realizar testes t múltiplos, cada um ao nível de significância α ,somente se o teste F preliminar é significante ao nível α. Este pode ser visto como um procedimento de duas etapas em que a hipótese nula H0 é testada no primeiro passo por um teste F de nível α. Se o teste F não é significativo, o procedimento termina sem precisar fazer inferências detalhadas nas diferenças dos pares das médias; caso contrário, cada diferença de par é testada por um teste t com nível α de significância. Esse procedimento é chamado de teste da diferença mínima significativa (least significant difference (LSD) test).
O LSD controla a taxa de erro do experimento ao nível α sobre H0 devido a "proteção" fornecida para essa hipótese pelo teste F preliminar. No entanto, em outras configurações (hipóteses) de médias verdadeiras, a taxa de erro do experimento pode ser maior que α.
Para tamanhos de amostras iguais (dados balanceados), o teste de Fisher considera duas médias significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar
$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}},$$
e para tamanhos de amostras diferentes (dados não balanceados)
$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}} \right)},$$
em que $t$ é um valor tabelado (ver Tabela do Teste de Fisher no Apêndice) que depende do número de graus de liberdade dos erros ($N-k$).
Em outras palavras, rejeitamos a igualdade entre as médias dos dois níveis se $\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater LSD.$
Há um segundo procedimento de Fisher popularmente chamado como procedimento de Bonferroni que controla a taxa de família de erros do experimento no sentido forte, ou seja, em todas as configurações (hipóteses). Veremos mais detalhes desse procedimento na próxima seção.
Voltando ao Exemplo 1 (resistência da fibra sintética), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.
Fator | Resistência_da_Fibra |
15 | 7 |
15 | 7 |
15 | 15 |
15 | 11 |
15 | 9 |
20 | 12 |
20 | 17 |
20 | 12 |
20 | 18 |
20 | 18 |
25 | 14 |
25 | 18 |
25 | 18 |
25 | 19 |
25 | 19 |
30 | 19 |
30 | 25 |
30 | 22 |
30 | 19 |
30 | 23 |
35 | 7 |
35 | 10 |
35 | 11 |
35 | 15 |
35 | 11 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Como os dados são balanceados, temos que:
$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}$$
$$LSD=t_{(0,025;25-5)}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$
$$LSD=2,086\sqrt{3,224}$$
$$LSD=3,7455$$
Rejeita-se a igualdade entre dois níveis se
$\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater 3,7455$
$\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid$ | $\mbox{Resultado}$ | $\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid$ | $\mbox{Resultado}$ |
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{20}\mid$ | $5,6$ | $\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{30}\mid$ | $6,2$ |
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{25}\mid$ | $7,8$ | $\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{35}\mid$ | $4,6$ |
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{30}\mid$ | $11,8$ | $\mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{30}\mid$ | $4,0$ |
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{35}\mid$ | $1,0$ | $\mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{35}\mid$ | $6,8$ |
$\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{25}\mid$ | $2,2$ | $\mid\overline{y}_{30}-\overline{y}_{35}\mid$ | $10,8$ |
Usando o software Action temos os seguintes resultados:
Ao considerarmos um nível de significância de $5\%$, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis: $(15,35); (20,25)$.
Voltando ao Exemplo 3.2.1 (modelos de pacotes e volumes de vendas), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.
Fator | Vendas |
1 | 11 |
1 | 17 |
1 | 16 |
1 | 14 |
1 | 15 |
2 | 12 |
2 | 10 |
2 | 15 |
2 | 19 |
2 | 11 |
3 | 23 |
3 | 20 |
3 | 18 |
3 | 17 |
4 | 27 |
4 | 33 |
4 | 22 |
4 | 26 |
4 | 28 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Como os dados não são balanceados, temos que
$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)}$$
Observemos que n1= n2= n4 . Dessa maneira, teremos aqui dois valores distintos para LSD, o valor para comparar o nível 3 com os demais e o valor que compara os níveis com mesmo tamanho de amostras (1, 2 e 4). Calculemos aqui para ilustrar, o valor da LSD para as diferenças entre as médias $\mu_1$ e $\mu_2$ e para $\mu_1$ e $\mu_3$.
$$LSD=t_{\left(\frac{\alpha}{2},N-k\right)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}=t_{(\frac{0,05}{2},15)}\sqrt{2\frac{10,55}{5}}=4,378.$$
$$LSD=t_{\left(\frac{\alpha}{2},N-k\right)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{3}}\right)}=t_{(\frac{0,05}{2},15)}\sqrt{10,55\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4} \right)}=4,643.$$
Como os dados são não balanceados, a taxa LSD considerada é a média aritmética entre as todas as taxas do experimento. Neste exemplo, como temos dois valores distintos para LSD, o valor utlizado é $LSD=\frac{4,643+4,378}{2}=4,513$.
Assim, rejeitamos a igualdade entre os níveis se:
$$|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|\textgreater4,513$$
$|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|$ | $\mbox{Resultado}$ | $|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|$ | $\mbox{Resultado}$ |
$|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{2.}}|$ | $1,2$ | $|\bar{y_{2.}}-\bar{y_{3.}}|$ | $6,1$ |
$|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{3.}}|$ | $4,9$ | $|\bar{y_{2.}}-\bar{y_{4.}}|$ | $13,8$ |
$|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{4.}}|$ | $12,6$ | $|\bar{y_{3.}}-\bar{y_{4.}}|$ | $7,7$ |
Usando o software Action temos os seguintes resultados:
Ao considerarmos um nível de significância de $5\%$, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis 1 e 2.
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