3.2 - Teste de Fisher

Teste de Fisher (ou LSD)

O método de Fisher, para comparar todos pares de médias, controla a taxa de erro ao nível de significância α para cada comparação dois a dois, mas não controla a taxa de erro do experimento. Esse procedimento usa a estatística $t$ para testar $H_{0}: \mu_{i}=\mu_{j}$, em que

$$t_{0}=\dfrac{\overline{y_{i.}}-\overline{y_{j.}}}{\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n_{i}}+\dfrac{1}{n_{j}}\right)}}.$$

O procedimento de  Fisher consiste em realizar testes t múltiplos, cada um ao nível de  significância α ,somente se o teste F preliminar é significante ao nível α. Este pode ser visto como um procedimento de duas etapas em que a hipótese nula H₀ é testada no primeiro passo por um teste F de nível α. Se o teste F não é significativo, o procedimento termina sem precisar fazer inferências detalhadas nas diferenças dos pares das médias; caso contrário, cada diferença de par é testada por um teste t com nível α de significância. Esse procedimento é chamado de teste da diferença mínima significativa (least significant difference (LSD) test).

O LSD controla a taxa de erro do experimento ao nível α sobre H₀ devido a  "proteção" fornecida para essa hipótese pelo teste F preliminar. No entanto, em outras configurações (hipóteses) de médias verdadeiras, a taxa de erro do experimento pode ser maior que α.

Para tamanhos de amostras iguais (dados balanceados), o teste de Fisher considera duas médias significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar

$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}},$$

e para tamanhos de amostras diferentes (dados não balanceados)

$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}} \right)},$$

em que $t$ é um valor tabelado (ver Tabela do Teste de Fisher no Apêndice) que depende do número de graus de liberdade dos erros ($N-k$).

Em outras palavras, rejeitamos a igualdade entre as médias dos dois níveis se $\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater LSD.$

Há um segundo procedimento de Fisher popularmente chamado como procedimento de Bonferroni que controla a taxa de família de erros do experimento no sentido forte, ou seja, em todas as configurações (hipóteses). Veremos mais detalhes desse procedimento na próxima seção.

Exemplo 3.2.1:  

Voltando ao Exemplo 1 (resistência da fibra sintética), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Como os dados são balanceados, temos que:

$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}$$

$$LSD=t_{(0,025;25-5)}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$

$$LSD=2,086\sqrt{3,224}$$

$$LSD=3,7455$$

Rejeita-se a igualdade entre dois níveis se

$\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater 3,7455$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Conclusão:

Ao considerarmos um nível de significância de $5\%$, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis: $(15,35); (20,25)$.

Exemplo 3.2.2:   

Voltando ao Exemplo 3.2.1 (modelos de pacotes e volumes de vendas), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais. 

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Como os dados não são balanceados, temos que

$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)}$$

Observemos que n₁= n₂= n₄ . Dessa maneira, teremos aqui dois valores distintos para LSD, o valor para comparar o nível 3 com os demais e o valor que compara os níveis com mesmo tamanho  de amostras  (1, 2 e 4). Calculemos aqui para ilustrar, o valor da LSD para as diferenças entre as médias $\mu_1$  e $\mu_2$ e  para $\mu_1$ e $\mu_3$.

$$LSD=t_{\left(\frac{\alpha}{2},N-k\right)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}=t_{(\frac{0,05}{2},15)}\sqrt{2\frac{10,55}{5}}=4,378.$$

$$LSD=t_{\left(\frac{\alpha}{2},N-k\right)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{3}}\right)}=t_{(\frac{0,05}{2},15)}\sqrt{10,55\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4} \right)}=4,643.$$

Como os dados são não balanceados, a taxa LSD considerada é a média aritmética entre as todas as taxas do experimento. Neste exemplo, como temos dois valores distintos para LSD, o valor utlizado é $LSD=\frac{4,643+4,378}{2}=4,513$.

Assim, rejeitamos a igualdade entre os níveis se:

$$|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|\textgreater4,513$$

 Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Conclusão:

Ao considerarmos um nível de significância de $5\%$, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis 1 e 2.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.