3.2 - Teste de Fisher

Teste de Fisher (ou LSD)

O método de Fisher, para comparar todos pares de médias, controla a taxa de erro ao nível de significância α para cada comparação dois a dois, mas não controla a taxa de erro do experimento. Esse procedimento usa a estatística $ t $ para testar  \mu_{i}=\mu_{j} $, em que


$$t_{0}=\dfrac{\overline{y_{i.}}-\overline{y_{j.}}}{\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n_{i}}+\dfrac{1}{n_{j}}\right)}}.$$

O procedimento de  Fisher consiste em realizar testes t múltiplos, cada um ao nível de  significância α ,somente se o teste F preliminar é significante ao nível α. Este pode ser visto como um procedimento de duas etapas em que a hipótese nula H0 é testada no primeiro passo por um teste F de nível α. Se o teste F não é significativo, o procedimento termina sem precisar fazer inferências detalhadas nas diferenças dos pares das médias; caso contrário, cada diferença de par é testada por um teste t com nível α de significância. Esse procedimento é chamado de teste da diferença mínima significativa (least significant difference (LSD) test).

O LSD controla a taxa de erro do experimento ao nível α sobre H0 devido a  "proteção" fornecida para essa hipótese pelo teste F preliminar. No entanto, em outras configurações (hipóteses) de médias verdadeiras, a taxa de erro do experimento pode ser maior que α.

Para tamanhos de amostras iguais (dados balanceados), o teste de Fisher considera duas médias significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar


$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}},$$

e para tamanhos de amostras diferentes (dados não balanceados)


$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}} \right)},$$

em que $ t $ é um valor tabelado (ver Tabela do Teste de Fisher no Apêndice) que depende do número de graus de liberdade dos erros ($ N-k $).

Em outras palavras, rejeitamos a igualdade entre as médias dos dois níveis se $ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater LSD. $

Há um segundo procedimento de Fisher popularmente chamado como procedimento de Bonferroni que controla a taxa de família de erros do experimento no sentido forte, ou seja, em todas as configurações (hipóteses). Veremos mais detalhes desse procedimento na próxima seção.

Exemplo 3.2.1:  

Voltando ao Exemplo 1 (resistência da fibra sintética), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.

Fator Resistência_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Como os dados são balanceados, temos que:


$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}$$


$$LSD=t_{(0,025;25-5)}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$


$$LSD=2,086\sqrt{3,224}$$


$$LSD=3,7455$$

Rejeita-se a igualdade entre dois níveis se

$ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater 3,7455 $

$ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid $ $ \mbox{Resultado} $ $ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid $ $ \mbox{Resultado} $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{20}\mid $ $ 5,6 $ $ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 6,2 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{25}\mid $ $ 7,8 $ $ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 4,6 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 11,8 $ $ \mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 4,0 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 1,0 $ $ \mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 6,8 $
$ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{25}\mid $ $ 2,2 $ $ \mid\overline{y}_{30}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 10,8 $

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

 

Conclusão:

Ao considerarmos um nível de significância de $ 5\% $, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis: $ (15,35); (20,25) $.

Exemplo 3.2.2:   

Voltando ao Exemplo 3.2.1 (modelos de pacotes e volumes de vendas), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais. 

Fator Vendas
1 11
1 17
1 16
1 14
1 15
2 12
2 10
2 15
2 19
2 11
3 23
3 20
3 18
3 17
4 27
4 33
4 22
4 26
4 28

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Como os dados não são balanceados, temos que


$$LSD=t_{(\frac{\alpha}{2},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)}$$

Observemos que n1= n2= n4 . Dessa maneira, teremos aqui dois valores distintos para LSD, o valor para comparar o nível 3 com os demais e o valor que compara os níveis com mesmo tamanho  de amostras  (1, 2 e 4). Calculemos aqui para ilustrar, o valor da LSD para as diferenças entre as médias $ \mu_1 $  e $ \mu_2 $ e  para $ \mu_1 $ e $ \mu_3 $.


$$LSD=t_{\left(\frac{\alpha}{2},N-k\right)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}=t_{(\frac{0,05}{2},15)}\sqrt{2\frac{10,55}{5}}=4,378.$$


$$LSD=t_{\left(\frac{\alpha}{2},N-k\right)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{3}}\right)}=t_{(\frac{0,05}{2},15)}\sqrt{10,55\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4} \right)}=4,643.$$

Como os dados são não balanceados, a taxa LSD considerada é a média aritmética entre as todas as taxas do experimento. Neste exemplo, como temos dois valores distintos para LSD, o valor utlizado é $ LSD=\frac{4,643+4,378}{2}=4,513 $.

Assim, rejeitamos a igualdade entre os níveis se:


$$|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|\textgreater4,513$$

$ |\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}| $ $ \mbox{Resultado} $ $ |\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}| $ $ \mbox{Resultado} $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{2.}}| $ $ 1,2 $ $ |\bar{y_{2.}}-\bar{y_{3.}}| $ $ 6,1 $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{3.}}| $ $ 4,9 $ $ |\bar{y_{2.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 13,8 $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 12,6 $ $ |\bar{y_{3.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 7,7 $

 Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

Conclusão:

Ao considerarmos um nível de significância de $ 5\% $, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis 1 e 2.

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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