3.3 - Teste de Bonferroni

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O segundo método de comparação múltipla proposto por Fisher e usualmente chamado de teste ou procedimento de Bonferroni, consiste na realização de um teste $t$ para cada par de médias a uma  taxa de erro por comparação (TPC)  de $\frac{\alpha}{\binom{k}{2}}$. Usando esse teste, o nível de significância da família é no máximo $\alpha$, para qualquer configuração (formação) das médias da população. Dessa forma, temos que o teste de Bonferroni protege a taxa de erro da família dos testes. Isso ilustra a taxa de erro conhecida como taxa de erro por família, que como vimos representa o valor esperado de erros na família.

O teste de Bonferroni pode ser usado para quaisquer que sejam os dados balanceados ou não balanceados. Não é um teste exato, sendo baseado em uma aproximação conhecida como primeira desigualdade de Bonferroni. Em algumas situações, o teste de Bonferroni se mostra bastante "conservativo" (fraco), isto é, a taxa de erro da família de testes (FWER) é muito menor do que o nível de significância $\alpha$ estabelecido. Para  a família de todas as comparações duas a duas, irá produzir intervalos de confiança maiores que o teste de Tukey ou Tukey-Kramer.

Para tamanhos de amostras iguais (dados balanceados), o teste de Bonferroni considera duas médias significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}},$$

e para tamanhos de amostras diferentes (dados não balanceados)$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)}$$ em que $\alpha^{,}=\frac{1}{2}(\alpha/c)$ e  $c$ é o número de comparações duas a duas (ou também podemos dizer que é o número de intervalos em estudo). O quantil $t_{(\alpha^{,},N-k)}$ é da distribuição de probabilidade $t$-Student com parâmetro $N-k$ (ver Tabela do Teste de Bonferroni no apêndice). Temos assim que a margem de erro da equação anterior depende do número de comparações.

Dado uma família de taxa de erros (FWER) de $\alpha$, o intervalo de confiança para $\mu_i-\mu_j$ é calculado usando a  seguinte expressão $$\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}-t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n_{i}}+\dfrac{1}{n_{j}}\right)}\leq\mu_{i}-\mu_{j}\\\leq\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}+t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n_{i}}+ \dfrac{1}{n_{j}}\right)},$$

Exemplo 3.3.1:

Voltando ao Exemplo 1 (resistência da fibra sintética), vamos calcular o valor de LSD para o Teste de Bonferroni e verificar quais níveis são iguais.

Fator Resistência_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Como os dados são balanceados, temos que

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}$$

$$LSD= t_{(\frac{1}{2}(\alpha/\binom{5}{2}),25-5)}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$

$$LSD= t_{(\frac{1}{2}(0,05/10),20)}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$

$$LSD= 3,153\sqrt{3,224}$$

$$LSD= 5,662$$

Rejeitamos a igualdade entre os níveis se

$\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater 5,662$

$\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid$ $\mbox{Resultado}$ $\mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid$ $\mbox{Resultado}$
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{20}\mid$ $5,6$ $\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{30}\mid$ $6,2$
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{25}\mid$ $7,8$ $\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{35}\mid$ $4,6$
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{30}\mid$ $11,8$ $\mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{30}\mid$ $4,0$
$\mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{35}\mid$ $1,0$ $\mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{35}\mid$ $6,8$
$\mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{25}\mid$ $2,2$ $\mid\overline{y}_{30}-\overline{y}_{35}\mid$ $10,8$

Conclusão:

Ao considerarmos um nível de significância de $5\%$, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis: (15,35); (20,25); (20,35) e (25,30).

 

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 3.3.2:  

 Voltando ao Exemplo 3.2.1 (modelos de pacotes e volumes de vendas), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.

Fator Vendas
1 11
1 17
1 16
1 14
1 15
2 12
2 10
2 15
2 19
2 11
3 23
3 20
3 18
3 17
4 27
4 33
4 22
4 26
4 28

Como os dados não são balanceados, temos que

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k})\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)},$$

em que $\alpha^{,}=\frac{1}{2}(\alpha/c)$, $c=\binom{4}{2}$ e $\alpha=0,05$.

Observemos que n1= n2= n4 . Dessa maneira, teremos aqui dois valores distintos para LSD, o valor para comparar o nível 3 com os demais e o valor que compara os níveis com mesmo tamanho  de amostras  (1, 2 e 4). Calculemos aqui para ilustrar, o valor da LSD para as diferenças entre as médias $\mu_1$  e $\mu_2$ e  para $\mu_1$ e $\mu_3$. $$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k})\sqrt{2\frac{QME}{n}}=t_{(\frac{1}{2}(\alpha/c),19-4})\sqrt{2 \frac{10,55}{5}}=3,036\sqrt{2\frac{10,55}{5}}=6,236.$$

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k})\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{3}}\right)}=t_{(\frac{1}{2}(\alpha/c),19-4})\sqrt{10,55\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)}=6,615.$$

Rejeitamos as igualdades entre as médias dos níveis se $|\bar{y_{1}}-\bar{y_{2}}|\textgreater6,236$; $|\bar{y_{1}}-\bar{y_{3}}|\textgreater6,615$; $|\bar{y_{1}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,236$; $|\bar{y_{2}}-\bar{y_{3}}|\textgreater6,615$; $|\bar{y_{2}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,236$ e $|\bar{y_{3}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,615.$

 

$|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|$ Resultado $|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|$ Resultado
$|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{2.}}|$ $1,2$ $|\bar{y_{2.}}-\bar{y_{3.}}|$ $6,1$
$|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{3.}}|$ $4,9$ $|\bar{y_{2.}}-\bar{y_{4.}}|$ $13,8$
$|\bar{y_{1.}}-\bar{y_{4.}}|$ $12,6$ $|\bar{y_{3.}}-\bar{y_{4.}}|$ $7,7$

Conclusão:

Ao considerarmos um nível de significância de $5\%$, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis (1,2), (1,3) e (2,3).

 

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

 

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