3.4 - Teste de Scheffe

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O método proposto por Scheffe (1959) é também conhecido como teste de Scheffe da diferença completamente significativa (fully significant difference (FSD)) e como teste de Scheffe da diferença globalmente significativa (globally significant difference(GSD)). É um método exato no sentido em que, para as famílias (finitas) envolvendo todos os contrastes das $ k $ médias, a FWER é exatamente $ \alpha $.

O Teste de Scheffe pode ser usado quando as comparações são selecionadas depois de olhar para os dados e  incluem os contrastes, que nem todos  são  aos pares. Também pode ser utilizado quando um grande número de contrastes, nem todos aos pares, são especificados antes de coletar os dados.

Dada uma FWER de valor $ \alpha $, o intervalo de confiança para o contraste

é calculado utilizando a seguinte fórmula


$$\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\bar{y_{i}}\pm\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{QME\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}},$$

em que o quantil $ F_{\alpha,k-1,v} $ é da distribuição $ F $ com parâmetros $ k-1 $ e $ v $  (ver Tabela do Teste de Scheffe no apêndice). A margem de erro da expressão anterior não depende do número de contrastes, mas sim do número de médias no contraste.

O método de Sheffe também pode  ser usado para a família de todas as comparações duas a duas, mas quase sempre resultará em intervalos de confiança maiores que os métodos estudados anteriormente (Tukey, Tukey-Kramer, Fisher e Bonferroni). Dado uma FWER de $ \alpha $, o intervalo de confiança para $ \mu_i-\mu_j $ é calculado usando a seguinte expressão

$$\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}\pm\sqrt{(k-1)F_{\alpha,k-1,N-k}}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}.$$

Dessa forma, temos que o Teste de Scheffe considera duas médias significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar


$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}.$$

Em outras palavras, rejeitamos a igualdade da média de dois níveis se

$$|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|\textgreater FSD$$

Uma observação trazida por alguns autores é que, pelo fato desse procedimento ser extremamente conservador, quando o interesse está apenas na comparação duas a duas, o teste de Scheffe não é adequado. Recomendam ainda que se o número de contrastes utilizados no estudo não é consideravelmente maior que o número de grupos, e os contrastes não foram sugeridos pelos dados, o procedimento de Bonferroni, provavelmente será  mais poderoso que Scheffe. Contudo, se os contrastes forem sugeridos pelos dados, o método de Scheffe deve ser empregado ao invés de Bonferroni, desde que todos os contrastes possíveis tenham sido considerados implicitamente.

Exemplo 3.4.1

Para os dados do Exemplo 1, vamos calcular o valor de FSD e verificar quais níveis são iguais.

Fator Resistência_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11

   clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Como os dados são balanceadoos, temos que:


$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{2\frac{QME}{n}}$$


$$FSD=\sqrt{(5-1)F_{(0.05,5-1,25-4)}}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$


$$FSD= \sqrt{(5-1)2,866}\sqrt{3,224}$$


$$FSD=6,079$$

Rejeitamos a igualdade entre dois níveis se

$ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater 6,079 $

$ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid $ $ \mbox{Resultado} $ $ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid $ $ \mbox{Resultado} $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{20}\mid $ $ 5,6 $ $ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 6,2 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{25}\mid $ $ 7,8 $ $ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 4,6 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 11,8 $ $ \mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 4,0 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 1,0 $ $ \mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 6,8 $
$ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{25}\mid $ $ 2,2 $ $ \mid\overline{y}_{30}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 10,8 $

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Conclusão:

Ao considerarmos um nível de significância de $ 5\% $, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis: $ (20,15),(15,35); (20,25); (20,35); (25,30) $

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 3.4.2

Voltando ao Exemplo 3.2.1 (modelos de pacotes e volumes de vendas), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.

Fator Vendas
1 11
1 17
1 16
1 14
1 15
2 12
2 10
2 15
2 19
2 11
3 23
3 20
3 18
3 17
4 27
4 33
4 22
4 26
4 28

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Como os dados não são balanceados, temos que


$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{\alpha,k-1,N-k}}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}.$$

Observemos que n1= n2= n4 . Dessa maneira, teremos aqui dois valores distintos para FSD, o valor para comparar o nível 3 com os demais e o valor que compara os níveis com mesmo tamanho  de amostras  (1, 2 e 4). Calculemos aqui para ilustrar, o valor da FSD para as diferenças entre as médias $ \mu_1 $  e $ \mu_2 $ e  para $ \mu_1 $ e $ \mu_3 $.

$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{2\frac{QME}{n}}=\sqrt{3\times F_{(0.05,3,15)}}\sqrt{2\frac{10,55}{5}}=6,450$$


$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{\alpha,k-1,N-k}}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}=\sqrt{3\times F_{(0.05,3,15)}}\sqrt{10,55\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)}=6,841$$

Como os dados não são balanceados e temos neste exemplos dois valores distintos para FSD, consideramos aqui a média aritmética das duas taxas, ou seja, $ FSD=\frac{6,841+6,450}{2}=6,645 $.

Assim, rejeitamos a igualdades entre dois níveis se


$$|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|\textgreater6,645$$

$ |\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}| $ Resultado $ |\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}| $ Resultado
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{2.}}| $ $ 1,2 $ $ |\bar{y_{2.}}-\bar{y_{3.}}| $ $ 6,1 $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{3.}}| $ $ 4,9 $ $ |\bar{y_{2.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 13,8 $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 12,6 $ $ |\bar{y_{3.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 7,7 $

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Conclusão:

Ao considerarmos um nível de significância de $ 5\% $, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis (1,2), (1,3) e (2,3).

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 3.4.3 (Intervalos de confiança para diferentes contrastes das médias)

Os dados na tabela abaixo resultaram de um experimento executado em um delineamento (planejamento) inteiramente casualizado, em que cada um dos quatro tratamentos foi repetido cinco vezes. Para exemplificar, vamos considerar como os tratamentos 4 métodos de ensinos que foram aplicados  cada um em 5 grupos de crianças em que, para cada aplicação de um método temos o  desempenho  médio de cada grupo de crianças.

Métodos Desempenho Total Média Grupos
i $ Y_{i1} $ $ Y_{i2} $ $ Y_{i3} $ $ Y_{i4} $ $ Y_{i5} $ $ Y_{i} $ $ \bar{Y_{i.}} $ $ n_{i} $
1 7,2 6,7 5,6 4,4 5,2 29,1 5,82 5
2 8,8 6,5 7,1 9,4 5,7 37,5 7,5 5
3 7,8 9,9 8,3 7 9,1 42,1 8,42 5
4 4,9 4,6 6,2 5 6,3 27 5,4 5

Para efetuarmos as análises do software Action devemos montar a tabela da seguinte maneira:

Método Desempenho médio
1 7,2
1 6,7
1 5,6
1 4,4
1 5,2
2 8,8
2 6,5
2 7,1
2 9,4
2 5,7
3 7,8
3 9,9
3 8,3
3 7
3 9,1
4 4,9
4 4,6
4 6,2
4 5
4 6,3

Usando o software Action, a tabela da ANOVA para esses dados é

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Neste exemplo temos interesse em encontrar intervalos de confiança para diferentes contrastes das médias. Como vimos anteriormente, um contraste arbitrário é definido por


$$C=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\mu_i \quad\mbox{em que,}\quad \sum\limits_{i=1}^{k}c_i=0.$$

Estimamos $ C $ por $ \hat{C}=\sum\limits_{i=1}^{k}c_{i}\bar{Y_{i.}}, $ para que a variância estimada seja $ S^{2}_{\hat{C}}=QME\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}. $

Assim,  como visto acima, todos os intervalos de confiança são dados por


$$\hat{C}=\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\bar{y_{i}}\pm\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{QME\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{c_{i}^{2}}{n_{1}}}.$$

Neste exemplo, desejamos estimar e contruir intervalos de confiança para  os seguintes contrastes:


$$C_{1}=\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\frac{\mu_{3}+\mu_{4}}{2}$$


$$C_{2}=\frac{\mu_1+\mu_2}{2}-\frac{\mu_{3}+\mu_{4}}{2}$$

Os pontos estimados são:


$$\hat{C_{1}}=\frac{\bar{Y_{1}}+\bar{Y_{2}}}{2}-\frac{\bar{Y_{3}}+\bar{Y_{4}}}{2}=\frac{5,82+7,5}{2}-\frac{8,42+5,4}{2}=-0,25$$


$$\hat{C_{1}}=\frac{\bar{Y_{1}}+\bar{Y_{3}}}{2}-\frac{\bar{Y_{2}}+\bar{Y_{4}}}{2}=\frac{5,82+8,42}{2}-\frac{7,5+5,4}{2}=0,67$$

Pela tabela da Anova acima temos que QME=1,40. Aplicando as fórmulas anteriores obtemos em ambos os casos que


$$S^{2}_{\hat{C}}=QME\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{c_{i}^{2}}{n_{i}}=1,4\sum\limits_{i=1}^{4} \frac{c_{i}^{2}}{5}=1,40\times\left(\frac{4\times(1/2)^{2}}{5}\right)=1,40\times 0,2=0,28.$$

Dessa maneira, um intervalo de confiança de 95% para os contrastes $ C1_{1} $ e $ C_{2} $  são dados por  


$$\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\bar{y_{i}}\pm\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{QME\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{c_{i}^{2}}{n_{1}}},$$

em que $ F_{\alpha,k-1,N-k}=F_{0,05;3;16}=3,239 $.

Assim, os limites de confiança para $ C_{1} $ e $ C_{2} $ serão respectivamente $ -0.25\pm\sqrt{(4-1)F_{(0,05;3;16)}}\sqrt{0,28}=1,631 $ e $ 0,67\pm\sqrt{(4-1)F_{(0,05;3;16)}}\sqrt{0,28}=1,631 $. Portanto, os intervalos de confiança são dados por


$$-1,881\leq C_{1}\leq1,381$$


$$-0,961\leq C_{2}\leq2,301$$

 

 

 

ANOVA

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