3.6 - Teste de HSU

Teste de HSU (Multiple Comparisons with the Best-MCB)

Vimos anteriormente o problema de compararmos  os tratamentos de estudo com um tratamento controle  que é usado como uma “referência” (Teste de Dunnet). Em algumas aplicações, a referência relevante (desconhecida) é o “melhor” tratamento, que é, o tratamento que tem maior valor de média (largest) ou menor (smallest), dependendo da análise de interesse. O teste proposto por Jason Hsu,  tem como característica comparar todos os tratamentos com o melhor.

Como motivação, consideremos a  seguinte situação. Suponhamos que entre cinco tratamentos que estão sendo comparados, dois tratamentos são tão ruins que,  a maioria dos pacientes que receberam um dos dois morreram dentro de um curto período de tempo. Então, possivelmente não é de interesse primordial  saber qual desses dois tratamentos é pior, a inferência  de que nenhum é melhor é suficiente. Suponhamos que o segundo melhor tratamento (entre os três restantes) é quase tão bom quanto o melhor tratamento verdadeiro. Assim, a inferência estatística que identifica ambos como praticamente o melhor pode ser de interesse, pois podem ter outras considerações que impactam na escolha do tratamento. Dessa maneira, nestas situações  todas as comparações duas a duas não são de interesse. A principal questão aqui é “Quais comparações são de interesse preliminar?”

Podemos caracterizar as comparações de interesse principais  nessas situações como “comparações múltiplas com o melhor.” Assim, se um efeito do tratamento maior é melhor,  mesmo que  o melhor tratamento seja desconhecido, podemos definir os parâmetros de interesse preliminar como
$$\max_{j=1,\ldots,k}\mu_{j}-\mu_{i},i=1,\ldots,k,\quad (3.6.1)$$

a diferença entre o efeito  do melhor tratamento verdadeiro e cada um dos $k$ efeitos do tratamento.

Contudo, na maioria dos casos tona-se vantajoso comparar cada tratamento com o melhor dos outros tratamentos. Suponhamos  que o maior efeito do tratamento implica  em um tratamento melhor. Então os parâmetros

$$\mu_{i}-\max_{j\neq i}\mu_{j}, i=1,\ldots,k$$

contém todas as informações que os parâmetros  dados pela expressão (3.6.1).

Naturalmente, se o menor efeito do tratamento implica no melhor tratamento, então por simetria os parâmetros de interesse preliminares são

$$\mu_{i}-\min_{j\neq i}\mu_{j},i=1,\ldots,k.$$

Supondo que o melhor é a maior média entre os níveis do fator, vamos considerar um conjunto de intervalos com nível de confiança de $(1-\alpha)100\%$ simultâneos para a diferença entre a média do i-ésimo nível do fator e o máximo entre as médias dos demais níveis do fator. O cálculo dos limites desses intervalos são obtidos usando as seguintes equações:

$$D^{-}_{i}=-\left[\overline{y_{i.}}-\max_{j \neqi}(\overline{y_{j.}})-d_{\alpha}(k,N-k)\sqrt{2\left(\frac{QME}{n}\right)}~\right]^-~~~~~~\mbox{Limite Inferior}$$

$$D^{+}_{i}=\left[\overline{y_{i.}}-\max_{j \neqi}(\overline{y_{j.}})+d_{\alpha}(k,N-k)\sqrt{2\left(\frac{QME}{n}\right)}~\right]^+~~~~~~\mbox{Limite Superior}$$

sendo que $d_{\alpha}(k,N-k)$ é um valor tabelado (ver Tabela hsu no Apêndice) que depende do número de níveis ($k$) e do número de graus de liberdade dos erros ($N-k$) e $n_i$ é o número de réplicas do nível $i$ (para dados não balanceados). Para dados balanceados todos os $n_i$ são iguais.

Se o intervalo ($D^-_i~;~D^+_i$) assumir somente valores positivos, consideramos que o $i$-ésimo nível do fator é o melhor.

Agora, suponhamos que o melhor á a menor média entre os níveis do fator, ou o a maior média é melhor, mas temos interesse em fazer comparação múltipla com o “pior” tratamento, assim os parâmetros de interesse são $\mu_{i}-\min_{j\neq i}\mu_{j},i=1,\ldots,k.$Considerando um conjunto de intervalos com nível de confiança de $(1-\alpha)100\%$ simultâneos para a diferença entre a média do i-ésimo nível do fator e o mínimo entre as médias dos demais níveis do fator. O cálculo dos limites desses intervalos são obtidos usando as seguintes equações:

$$D^{-}_{i} = -\left[\overline{y_{i.}} - \min_{j \neq i}(\overline{y_{j.}}) - d_{\alpha}(k,N-k)\sqrt{2\left(\frac{\text{QME}}{n_i}\right)}~\right]^-~~~~~~\mbox{Limite Inferior}$$
$$D^{+}_{i} = \left[\overline{y_{i.}} - \min_{j \neq i}(\overline{y_{j.}}) +d_{\alpha}(k,N-k)\sqrt{2\left(\frac{\text{QME}}{n_i}\right)}~\right]^+~~~~~~\mbox{Limite Superior}$$

sendo que $d_{\alpha}(k,N-k)$ é um valor tabelado (ver Tabela do Teste HSU no Apêndice) que depende do número de níveis ($k$) e do número de graus de liberdade dos erros ($N-k$) e $n_i$ é o número de réplicas do nível $i$ (para dados não balanceados). Para dados balanceados todos os $n_i$ são iguais.

Se  o intervalo ($D^-_i~;~D^+_i$) assumir somente valores negativos, consideramos que o $i$-ésimo nível do fator é o melhor.

Para simplificar a análise e disposição dos resultados em um gráfico, realizamos a seguinte transformação dos limites dos intervalos de confiança. Para cada valor de $D_i$, calculamos:

$$[D_i^-]^\prime = \min\{0,D_i^-\} = \left\{\begin{array}{ll}D_i^-~~~\mbox{se} ~x \textless 0 \\0~~~~\mbox{caso contrário} \\\end{array}\right. \mbox{ e }~~~(3.4.1)$$

$$[D_i^+]^\prime = \max\{0,D_i^+\} = \left\{\begin{array}{ll} D_i^+~~~\mbox{se} ~x \textgreater 0 \\0 ~~~~\mbox{caso contrário} \\\end{array}\right.~~~(3.4.2)$$

Exemplo 3.6.1:

Voltando ao Exemplo 1.1, da resistência da fibra sintética, vamos calcular os Intervalos de Confiança para todos os níveis, supondo que quanto maior a resistência da fibra sintética melhor.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Como $d_{\alpha}(k,N-k)=2,305$, $QME=8,06$ e $n=5$. Então:$$d_{\alpha}(k,N-k)\sqrt{2\left(\frac{QME}n}\right)}=4,138$$

Para o nível $15$, temos que:

$$D^-_1=-[-11,8 - 4,138]^-$$

$$=-[-15,938]^-$$

$$=-15,938$$

$$D^+_1=[-11,8 + 4,138]^+$$

$$=[-7,662]^+$$

$$=0$$

Repetindo este procedimento para os demais níveis, obtemos

Como o Intervalo de Confiança referente ao nível 30, possui grandes partes dos valores positivos, podemos dizer que ele é o melhor entre os demais.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Conclusão:

Como o intervalo de confiança referente ao nível $30$, possui grandes partes dos valores positivos, podemos dizer que ele é o melhor entre os demais.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 3.6.2:

A presença de insetos prejudiciais em campos de exploração agrícola pode ser detectada examinando os insetos presos nas placas cobertas com um material pegajoso erguidas nos campos. Foram relatados o número de besouros na  folha do cereal presos quando 24 placas soram colocadas no campo de aveia em um determinado mês.  Haviam 24 placas associadas em 4 grupos (6 placas em cada grupo) de acordo com as cores verde, branco, roxo e azul. Ao nível de significância de 0,05% vamos aplicar o Teste de HSU para  esse exemplo. Os dados para esse exemplo estão na sequência.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Usando o software Action a tabela da ANOVA para esses dados é

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Temos que $d_{o,05}(4,20)=2,192$, $QME=46,025$ e $n=6$. Dessa maneira,
$$d_{\alpha}(k,N-k)\sqrt{2\left(\frac{QME}{n}\right)}= 8,585$$

Para a cor verde, temos:
$$D_{1}^{-}=-(47,17-14,83-8,585)^{-}=-(20,7)^{-}=0$$

$$D_{1}^{+}=(47,17-14,83+8,585)^{+}=(43,98)^{+}=40,919$$

Repetindo esse procedimento para as demais cores (níveis), obtemos:

Como o intervalo de confiança referente à cor azul possui grandes partes dos valores negativos, podemos dizer que ele é o melhor entre os demais.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Conclusão:

Como o intervalo de confiança referente à cor azul possui grandes partes dos valores negativos, podemos dizer que ele é o melhor entre os demais.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.