2 - ANOVA - Dois Fatores

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ANOVA - Dois Fatores

Muita vezes, ao estudarmos um processo, produto ou serviço, temos diversos fatores que podem influenciar na característica de interesse. A técnica da ANOVA permite avaliar o impacto que estes fatores provocam na característica de interesse. Para isto, considere um experimento com dois fatores, denominados A e B, no qual o fator A tem a níveis e o fator B tem b níveis. Para cada combinação de níveis, realizamos r réplicas. Na tabela abaixo, apresentamos os dados do experimento: 

$ \textbf\mbox{Fator A} $ $ \textbf \mbox{Fator B} $ $ \textbf\mbox{Média} $
$ 1 $ $ 2 $ $ \dots $ $ b $
$ 1 $ $ y_{111},\ldots,y_{11r} $ $ y_{121},\ldots,y_{12r} $ $ \ldots $ $ y_{1b1},\ldots,y_{1or} $ $ \overline{y}_{1..} $
$ 2 $ $ y_{211},\ldots,y_{21r} $ $ y_{221},\ldots,y_{22r} $ $ \ldots $ $ y_{2b1},\ldots,y_{2or} $ $ \overline{y}_{2..} $
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
$ a $ $ y_{a11},\ldots,y_{a1r} $ $ y_{a21},\ldots,y_{a2r} $ $ \ldots $ $ y_{ab1},\ldots,y_{abr} $ $ \overline{y}_{a..} $
$ \mbox{Média} $ $ \overline{y}_{.1.} $ $ \overline{y}_{.2.} $ $ \ldots $ $ \overline{y}_{.b.} $ $ \overline{y}_{...} $

Tabela 2.1: Apresentação dos dados para dois fatores.

Exemplo 2.1

Uma empresa que produz limpadores de para-brisas para automóveis quer saber como os fatores Tipo de Caixa Redutora e Tipo de Eixo, utilizados na fabricação dos motores que acionam os limpadores, influenciam o ruído produzido, quando da utilização destes. Para isso realizamos um experimento com $ 54 $ motores, com $ 3 $ tipos de Eixo (Rolado, Cortado e Importado) e  $ 2 $ tipos de Caixas Redutora (Nacional e Importada). Para cada motor (unidade experimental)  medimos o ruído. Os dados estão na Tabela 2.2.

$ \mbox{Tipo de Caixa Redutora} $ $ \mbox{Tipo de Eixo} $
$ \mbox{Rolado} $ $ \mbox{Cortado} $ $ \mbox{Importado} $
$ \mbox{Nacional} $ $ 42,1 $ $ 42 $ $ 40,3 $ $ 38,2 $ $ 37,4 $ $ 37 $ $ 40,9 $ $ 40,7 $ $ 39,4 $
$ 38,9 $ $ 38,9 $ $ 43,7 $ $ 42,3 $ $ 42,3 $ $ 42,1 $ $ 42 $ $ 41,4 $ $ 41,3 $
$ 41 $ $ 40,1 $ $ 40,3 $ $ 40,5 $ $ 41,3 $ $ 40,4 $ $ 40,6 $ $ 41,3 $ $ 41,6 $
$ \mbox{Importada} $ $ 39,6 $ $ 40,2 $ $ 48,4 $ $ 41,3 $ $ 46,8 $ $ 40,3 $ $ 39,6 $ $ 36,9 $ $ 39,9 $
$ 40,9 $ $ 41 $ $ 41 $ $ 40,5 $ $ 39,9 $ $ 39,3 $ $ 38,1 $ $ 38 $ $ 36,2 $
$ 39,9 $ $ 41 $ $ 42,7 $ $ 41,3 $ $ 40,1 $ $ 41,6 $ $ 36,7 $ $ 37,2 $ $ 36,7 $

Tabela 2.2: Ruído (dB) do limpador de para-brisa.

Neste experimento, temos por interesse encontrar a combinação entre caixa redutora e eixo que minimiza o ruído. Ao realizamos um experimento com dois ou mais fatores, temos que ter muito cuidado na interpretação dos resultados. Um dos pontos fundamentais da análise é a avaliação da interação entre os fatores (caixa redutora e eixo) com respeito a característica de interesse (ruído).

Gráfico de interação

A interação entre os fatores corresponde a diferença de comportamento de um fator (exemplo, caixa redutora) nos diferentes níveis do outro fator (eixo) com respeito a característica de interesse (ruído). Uma das forma mais simples de avaliarmos a interação entre os fatores é o gráfico de interação.  A seguir, vamos construir o gráfico de interação para exemplo do ruído no motor que aciona os limpadores de para-brisas.

Exemplo 2.2

Neste exemplo, vamos construir o gráfico de interação para o Exemplo 2.1. Para construirmos o gráfico de interação precisamos calcular as médias $ \overline{y}_{ij.} $ para $ i=1,2 $ e $ j=1,2,3 $ de cada combinação dos níveis dos fatores. Assim, para o tratamento Caixa Redutora Nacional e Eixo Rolado, temos:


$$\overline{y}_{11.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{42,1+42+40,3+38,9+38,9+43,7+41+40,1+40,3}{9}$$


$$={367,3}{9}=40,81,$$

Caixa Redutora Nacional e Eixo Cortado, temos:

 

$$\overline{y}_{12.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{38,2+ 37,4+37+42,3+41,3+42,1+40,5+41,3+40,4}{9}$$


$$={360,5}{9}=40,06.$$

Da mesma forma, temos:

$ \overline{y}_{13.}= 41,02, $$ \overline{y}_{21.}= 41,63, $$ \overline{y}_{22.}= 41,23 $  e $ \overline{y}_{23.}= 37,7. $

Exemplo 2.3

 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

A seguir, dispomos estas médias em um gráfico.  Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

Figura 2.3: Gráfico de interações.

Conclusão:

A interação entre os fatores está associada à mudança de comportamento de um fator nos diferentes níveis do outro fator, com relação à característica de interesse. Na figura 2.3, observamos que quando a caixa redutora é nacional (linha vermelha), os três níveis de eixo (Cortado, Importado e Rolado) não provocam mudança significativa no ruído do motor. Porém, quando a caixa redutora é importada (linha pontilhada), existe diferença de ruído entre os três tipos de eixo. Neste caso, para um eixo importado temos menor ruído. Desta forma, evidenciamos uma interação entre os fatores (caixa redutora e eixo) na característica de interesse (ruído).  Dependendo do tipo de caixa redutora, o comportamento do eixo, com respeito ao ruído, é diferente.  Essa diferença caracteriza o que denominamos interação. 

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Gráfico de efeitos principais

Quando avaliamos os resultados de nosso experimento e evidenciamos a presença de interação, devemos ter muito cuidado na interpretação destes resultados. Em geral, nesta situação, perdemos a interpretação da influência isolada dos fatores. Porém, se não evidenciamos interação entre os fatores, podemos avaliar a influência isolada dos fatores via o gráfico de efeitos principais. O gráfico de efeitos principais, nos ajuda a avaliar o efeito de cada fator individualmente.

A Figura 2.4, não tem relação com o exemplo dos limpadores de para-brisa.

Figura 2.4: Exemplo de gráfico de efeitos principais.

Exemplo 2.4

Um engenheiro de processo deseja avaliar o impacto da ferramenta de corte no diâmetro de peças. Para isto, realizou em experimento com dois fatores, desgaste da ferramenta e ângulo de corte. Para cada fator foram considerados dois níveis.

Ferramenta Ângulo Diâmetro
Nova A 18046,9
Nova A 18046,9
Nova A 18047
Nova A 18047
Nova A 18047,3
Nova A 18047,3
Nova A 18047
Nova A 18047,1
Nova A 18047
Nova A 18046,9
Nova A 18047,1
Nova A 18047
Nova A 18046,9
Nova A 18047
Nova A 18046,8
Nova A 18047
Nova A 18046,9
Nova A 18047
Nova A 18047
Nova A 18047
Nova A 18047
Nova A 18047,1
Nova A 18046,8
Nova A 18047
Nova B 18047,1
Nova B 18047,1
Nova B 18047,1
Nova B 18046,8
Nova B 18046,8
Nova B 18047
Nova B 18047
Nova B 18046,8
Nova B 18047
Nova B 18047
Nova B 18046,8
Nova B 18047
Nova B 18046,9
Nova B 18046,9
Nova B 18046,5
Nova B 18046,5
Nova B 18047,3
Nova B 18047,1
Nova B 18047
Nova B 18047,2
Nova B 18046,9
Nova B 18047,2
Nova B 18047
Nova B 18047,2
Nova B 18047,4
Nova B 18047,1
Velha A 18048,5
Velha A 18048,3
Velha A 18047,9
Velha A 18047,8
Velha A 18047,7
Velha A 18047,8
Velha A 18047,6
Velha A 18047,5
Velha A 18048
Velha A 18047,8
Velha A 18047,9
Velha A 18047,4
Velha A 18047,9
Velha A 18047,7
Velha A 18047,7
Velha A 18047,6
Velha A 18047,8
Velha A 18047,8
Velha A 18047,6
Velha A 18047,8
Velha A 18047,6
Velha A 18047,9
Velha A 18047,8
Velha A 18047,8
Velha B 18047,8
Velha B 18047,7
Velha B 18047,8
Velha B 18047,7
Velha B 18047,9
Velha B 18047,8
Velha B 18047,7
Velha B 18048,1
Velha B 18048
Velha B 18047,6
Velha B 18047,8
Velha B 18047,6
Velha B 18047,9
Velha B 18047,9
Velha B 18047,9
Velha B 18047,8
Velha B 18047,5
Velha B 18048,3
Velha B 18048
Velha B 18047,7
Velha B 18047,6
Velha B 18047,6
Velha B 18047,6
Velha B 18047,7
Velha B 18047,6
Velha B 18047,7

 clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Inicialmente, vamos avaliar o gráfico de interação. Para construirmos o gráfico de interação precisamos calcular as médias $ \overline{y}_{ij.} $ para $ i=1,2 $ e $ j=1,2 $ de cada combinação dos níveis dos fatores. Assim, para os fatores Ferramenta e Ângulo, temos:


$$\overline{y}_{11.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=18047$$


$$\overline{y}_{12.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=18046,99$$

Da mesma forma, temos:

$ \overline{y}_{21.}= 18047,8, $$ \overline{y}_{22.}= 18047,78 $. A seguir, dispomos as médias no gráfico de interação.

 

 

 

Ao avaliarmos o gráfico acima, não evidenciamos interação entre os fatores, pois independente da vida útil da ferramenta (Nova ou Velha), o efeito provocado pelo ângulo de corte é o mesmo (desprezível). Assim, concluímos que efeito do fator ângulo de corte (A e B) é o mesmo nos dois níveis do fator vida útil da ferramenta (Nova e Velha), o que caracteriza uma ausência de interação. Neste caso, podemos interpretar os gráficos de efeitos principais.

No gráfico de efeitos principais utilizamos as médias de cada nível, da seguinte forma


$$\overline{y}_{i..}=\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~~~\mbox{e}~~~\overline{y}_{.j.}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}.$$

Assim, em relação ao fator Ferramenta, temos:


$$\overline{y}_{1..}=\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{1jk}=18046,99~~~\mbox{e}$$


$$\overline{y}_{2..}=18047,79.$$

Repetindo o mesmo procedimento para os níveis do fator Ângulo, obtemos:


$$\overline{y}_{.1.}=18047,40~~~\mbox{e}~~~\overline{y}_{.2.}=18047,38.$$

Assim construímos a Figura 2.5, com os efeitos principais.

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

Figura 2.5: Efeitos principais.

Através do gráfico de efeitos principais, temos evidência de que o fator ferramenta impacta no diâmetro da peça. Entretanto, não evidenciamos impacto do fator ângulo na característica de interesse (diâmetro).

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

 

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