1 - ANOVA Um Fator

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Vamos apresentar uma ferramenta para analisar o comportamento de diversos tratamentos de um fator aplicados a um processo, produto ou serviço.  Por exemplo, considere o processo de tratamento térmico no qual controlamos a dureza do material. Neste caso, temos como objetivo avaliar o efeito da temperatura do forno na dureza do material. Para isto, elaboramos um experimento no qual produzimos peças em diferentes níveis de temperatura do forno e medimos a dureza destas peças. Com estas observações, podemos aplicar a técnica da ANOVA para escolhermos  o nível adequado de temperatura que garanta  peças com boas propriedades.

Considere um processo, produto ou serviço no qual  queremos avaliar o impacto do fator A , tal que A tenha k níveis, sendo que esses níveis são fixos. Suponha que uma amostra de N unidades experimentais é selecionada completamente aleatória de uma população de unidades experimentais. A unidade experimental é a unidade básica para o qual os tratamentos são aplicados, para mais detalhes sobre unidades experimentais ver módulo de planejamento de experimento.  A matriz de dados é apresentada conforme a tabela 1

Nível  Fator A    Somas  Médias
1  $ y_{11} $  $ y_{12} $  $ \dots $  $ y_{1n_1} $ $ y_{1.} $  $ \overline{y}_{1.} $
2  $ y_{21} $  $ y_{22} $  $ \dots $  $ y_{1n_2} $ $ y_{2.} $  $ \overline{y}_{2.} $
$ \vdots $  $ \vdots $  $ \vdots $  $ \vdots $  $ \vdots $ $ \vdots $  $ \vdots $
k  $ y_{k1} $  $ y_{k2} $  $ \dots $  $ y_{1n_k} $ $ y_{k.} $  $ \overline{y}_{k.} $

 

 

Tabela 1.1: Apresentação dos dados para um fator.

Na sequência, apresentamos um exemplo no qual queremos estudar o comportamento de um processo nos diferentes níveis de um fator de controle.

Exemplo 1.1:

Considere o processo de produção de uma fibra sintética, no qual o experimentador quer conhecer a influência da porcentagem de algodão na resistência da fibra. Para isto, foi realizado um experimento totalmente aleatorizado, no qual diversos níveis de porcentagem de algodão foram avaliados com respeito à resistência da fibra. Um ponto importante no planejamento do experimento é que para cada nível do fator (porcentagem de algodão), os outros fatores que influenciam o processo (como o meio ambiente, máquina, matéria prima, etc) devem apresentar um padrão homogêneo de variabilidade. No experimento, tomamos 5 níveis para a porcentagem de algodão e 5 replicações.

k Algodão Resistência da Fibra Somas ($ y_{i.} $ ) Médias ($ \overline{y}_{i.} $)
1 15 7 7 15 11 9 49 9,8
2 20 12 17 12 18 18 77 15,4
3 25 14 18 18 19 19 88 17,6
4 30 19 25 22 19 23 108 21,6
5 35 7 10 11 15 11 54 10,8
        $ y_{..}=376 $ $ \overline{y}_{..}=15,04 $

Para efetuarmos as análises no software Action devemos montar a tabela da seguinte forma:

Fator Resistência
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Inicialmente, faremos uma análise descritiva dos dados que facilita a interpretação dos mesmos e a aplicação do modelo da ANOVA. Diversos gráficos podem nos auxiliar na apresentação dos dados, abaixo apresentamos algumas alternativas. Um dos gráficos mais utilizados é o Box-Plot.

 

Figura 1.1.1: Gráfico de Boxplot.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Outra opção é o  Dotplot. Neste caso, todos os pontos são alocados em uma mesma escala o que facilita a comparação.

 

Figura 1.1.2: Gráfico de Dotplot

 

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

O gráfico de intervalo de Confiança das Médias também é bastante utilizado. Neste caso, calculamos a média e o desvio padrão para cada nível do fator e com isso, obtemos o desvio padrão agrupado. Na sequência, utilizamos a distribuição t-student para construirmos o intervalo de confiança para a média de cada nível.

Fator Média Desvio Padrão Limite Inferior Limite Superior
15 9,8 2,83 7,15 12,45
20 15,4 2,83 12,75 18,05
25 17,6 2,83 14,95 20,25
30 21,6 2,83 18,95 24,25
35 10,8 2,83 8,15 13,45

 

 

Figura 1.1.3: Intervalo de Confiança das Médias.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 Também podemos fazer um gráfico apenas com as médias, que denominamos de gráfico de efeitos principais.

Figura 1.3: Gráfico de efeitos principais para o Exemplo 1.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Note que para construirmos este gráfico utilizamos as médias $ \overline{y}_{i.} $ de cada nível versus os níveis do fator, ou seja, para 15 % de algodão temos uma resistência média de 9,8, para 25 % a média é 15,4 e assim por diante. A linha pontilhada representa a média geral dos dados.

Através dos gráficos, observamos que o valor da resistência aumenta com a porcentagem de algodão até o nível de 30%, para o nível de 35% ocorre um queda na resistência da fibra, tudo indica que o sistema saturou. Além disso, observamos que a variabilidade é similar ao longo dos níveis de porcentagem de algodão.

Do ponto de vista prático queremos avaliar se variações no fator (porcentagem de algodão) provocam alterações significativas na resistência da fibra. Através dos gráficos, temos indicações de que a resposta é afirmativa.

Neste exemplo simples, os k níveis foram especificados e fixados pelo experimentador. Nesta situação, queremos testar hipóteses sobre as médias dos níveis, e nossas conclusões não podem ser estendidas para níveis não considerados no experimento. Este modelo é denominado modelo de efeito fixo.  Alternativamente, se os k níveis são escolhidos aleatoriamente de uma população de níveis, podemos estender as conclusões para todos os demais níveis da população. Neste caso, os efeitos são variáveis aleatórias e denominados efeitos aleatórios e a discussão deste conteúdo está no módulo modelo com efeitos aleatórios. Neste módulo, vamos avaliar apenas a ANOVA com efeitos fixos.

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