Aplicação 4 - Efeito na engorda de tilápias

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Uma empresa deseja testar o efeito de duas diferentes dietas no desempenho de tilápias na engorda. Os peixes foram divididos aleatoriamente em 40 gaiolas e submetidos a dieta durante 90 dias.

  • Ração: Ração A e ração B;
  • Tamanho: Peixes pequenos e peixes grandes;
  • Densidade: Gaiolas com 102 (1) e 150 (2) peixes. 

As gaiolas foram montadas com duas quantidades de peixes diferentes, considere: densidade 1 – 102 peixes; densidade 2 – 150 peixes. 

A variável resposta é o peso médio por peixe ganho durante os 90 dias em que foram submetidos à dieta.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Raçao Tamanho Densidade Peso_médio
 A   Small  1 444,4
 B   Small  1 326,5
 B   Big  1 371,2
 A   Big  1 439,3
 B   Small  2 364,6
 A   Small  2 432,0
 A   Big  2 517,8
 B   Big  2 451,5
 A   Small  1 447,6
 B   Small  1 350,8
 B   Big  1 407,6
 A   Big  1 455,6
 B   Small  2 388,0
 A   Small  2 472,6
 A   Big  2 566,0
 B   Big  2 435,7
 A   Small  1 412,2
 B   Small  1 366,5
 B   Big  1 379,0
 A   Big  1 488,6
 B   Small  2 395,1
 A   Small  2 544,2
 A   Big  2 500,6
 B   Big  2 497,0
 A   Small  1 453,2
 B   Small  1 327,3
 B   Big  1 395,4
 A   Big  1 470,6
 B   Small  2 413,1
 A   Small  2 475,5
 A   Big  2 553,1
 B   Big  2 427,4
 A   Small  1 453,7
 B   Small  1 381,8
 B   Big  1 398,5
 A   Big  1 449,3
 B   Small  2 437,9
 A   Small  2 484,5
 A   Big  2 493,2
 B   Big  2 472,3

Primeiramente, a fim de conhecer melhor o comportamento dos dados em estudo, faremos a combinação de todos os fatores, com isso identificamos que há 8 possíveis combinações e 5 réplicas. 

Para conhecer melhor os dados faremos uma análise gráfica, dessa forma poderemos verificar se graficamente há diferença entre as rações.

Em seguida, faremos o gráfico de interações a fim de verificar a existência das mesmas.

Agora, faremos um gráfico de efeitos principais para nos ajudar a detectar o efeito de cada fator individualmente, isto é, verificar em qual nível do fator o efeito é mais evidente.

 

Modelo para os dados

Nessa análise consideramos Ração, Tamanho e Densidade como variáveis de entrada e Peso médio como variável de saída. Dessa forma obtemos o modelo abaixo: 

$$y_{ijlk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\gamma_l+\alpha\beta_{ij}+\alpha\gamma_{il}+\beta\gamma_{jl}+\alpha\beta\gamma_{ijl}+\varepsilon_{ijlk}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{c}i = 1, 2,..., a ~~~\mbox{Fator Ração}\\j = 1, 2, ..., b ~~~\mbox{Fator Tamanho}\\l = 1, 2, ..., c ~~~\mbox{Fator Densidade}\\k = 1, 2, ..., r~~~\mbox{Réplica}\end{array} \right.$$


Em que:

$ \mu $ é a média geral;
$ \alpha_i $ é o efeito do Fator Ração;
$ \beta_j $ é o efeito do Fator Tamanho;
$ \gamma_l $ é o efeito do Fator Densidade;
$ \alpha\beta_{ij} $ é o efeito da interação entre os fatores Ração e Tamanho;
$ \alpha\gamma_{il} $ é o efeito da interação entre os fatores Ração e Densidade;
$ \beta\gamma_{jl} $ é o efeito da interação entre os fatores Tamanho e Densidade;
$ \alpha\beta\gamma_{ijl} $ é o efeito da interação entre os fatores Ração, Tamanho e Densidade;
$ \varepsilon_{ijlk} $ é o erro aleatório.

Temos por interesse verificar se os dois diferentes tipos de rações tem impacto semelhante no desempenho das tilápias na engorda. Dessa forma, a partir do modelo proposto, definimos as hipóteses como:  

\text{As rações são diferentes}\end{array}\right.$$

 

Assim obtemos os seguintes resultados:

Podemos notar que as interações não são significativas, como já havia sido observado através da análise gráfica, dessa forma deveremos repetir o processo, agora desconsiderando as interações.

Verificaremos se as suposições necessárias para a ANOVA são atendidas.

Em seguida calcularemos o intervalo de confiança de 95% para a média do i-ésimo nível do fator.

Agora calcularemos o intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias no fator Ração. 

$$\overline{y}_{i...}-\overline{y}_{l...}-t_{(1-{\frac{\alpha}{2} };abc(r-1))}*\sqrt{\frac{2*QME}{abr} }~~\leq~~\mu_{i...}-\mu_{l...}~~\leq~~\overline{y}_{i...}-\overline{y}_{l...}+t_{(1-{\frac{\alpha}{2} };abc(r-1))}*\sqrt{\frac{2*QME}{abr}}$$

 


$$477,69-399,36-t_{(0,975;32)}*\sqrt{\frac{2*687,95}{20} }~~\leq~~\mu_{1}-\mu_{2}~~477,69-399,36-t_{(0,975;32)}*\sqrt{\frac{2*687,95}{20}}$$


$$61,44~~\leq~~\mu_{1}-\mu_{2}~~95,22$$

Em que:

$ \mu_{1}= $ Média geral dos dados + efeito do nível 1 do fator Ração

$ \mu_{2}= $ Média geral dos dados + efeito do nível 2do fator Ração

Através dos resultados apresentados é possível notar que a Ração proporciona diferença no desempenho das tilápias na engorda, sendo que a diferença de peso varia entre 61,44 e 95,22.

Por fim, baseados nas análises apresentadas, podemos afirmar que:

  • A Ração que proporciona melhor desempenho na engorda das tilápias é a Ração A.

 

ANOVA

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