Aplicação 2 - Influência na medição de um furo

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Uma empresa de motores está interessada na influência dos fatores Dureza (HB) e Ferramenta, na medida de um furo. São usados três tipos de Ferramenta: Nova, Meia-vida e Velha, e duas medidas de Dureza: 91 HB e 95 HB. Os dados coletados no experimento estão na Tabela 4.2.1. A variável Medida está na unidade mícron (1 mícron equivale a 1 milésimo de milímetro).

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Medida Dureza Ferramenta
18046,9 91 Nova
18046,9 91 Nova
18047 91 Nova
18047 91 Nova
18047,3 91 Nova
18047,3 91 Nova
18047 91 Nova
18047,1 91 Nova
18047 91 Nova
18046,9 91 Nova
18047,7 91 Nova
18047,7 91 Nova
18047,8 91 Nova
18047,6 91 Nova
18047,8 91 Nova
18047,6 91 Nova
18047,7 91 Nova
18047,7 91 Nova
18047,5 91 Nova
18047,4 91 Nova
18048 91 Meia-vida
18047,8 91 Meia-vida
18047,8 91 Meia-vida
18047,5 91 Meia-vida
18047,9 91 Meia-vida
18047,5 91 Meia-vida
18047,6 91 Meia-vida
18047,6 91 Meia-vida
18047,7 91 Meia-vida
18047,4 91 Meia-vida
18048,4 91 Meia-vida
18048,2 91 Meia-vida
18048,1 91 Meia-vida
18048,4 91 Meia-vida
18047,9 91 Meia-vida
18047,9 91 Meia-vida
18047,9 91 Meia-vida
18048 91 Meia-vida
18047,8 91 Meia-vida
18047,9 91 Meia-vida
18048 91 Meia-vida
18047,8 91 Meia-vida
18048,1 91 Meia-vida
18048,2 91 Meia-vida
18047,9 91 Meia-vida
18047,7 91 Meia-vida
18048,1 91 Meia-vida
18047,8 91 Meia-vida
18047,8 91 Meia-vida
18048 91 Meia-vida
18047,9 91 Velha
18047,4 91 Velha
18047,9 91 Velha
18047,7 91 Velha
18047,7 91 Velha
18047,6 91 Velha
18047,8 91 Velha
18047,8 91 Velha
18047,6 91 Velha
18047 91 Velha
18048,4 91 Velha
18048,6 91 Velha
18048,3 91 Velha
18048,3 91 Velha
18048,2 91 Velha
18048,3 91 Velha
18048,3 91 Velha
18048,4 91 Velha
18048,2 91 Velha
18048,4 91 Velha
18047,7 95 Meia-vida
18047,7 95 Meia-vida
18047,9 95 Meia-vida
18047,2 95 Meia-vida
18047,5 95 Meia-vida
18047,8 95 Meia-vida
18047,7 95 Meia-vida
18047,7 95 Meia-vida
18047,6 95 Meia-vida
18047,2 95 Meia-vida
18047,6 95 Velha
18047,9 95 Velha
18047,8 95 Velha
18047,8 95 Velha
18047,8 95 Velha
18047,7 95 Velha
18047,8 95 Velha
18047,7 95 Velha
18047,9 95 Velha
18047,8 95 Velha
18048 95 Velha
18048,3 95 Velha
18048,2 95 Velha
18048,3 95 Velha
18048,4 95 Velha
18048,5 95 Velha
18048,3 95 Velha
18048,3 95 Velha
18048,3 95 Velha
18048,3 95 Velha

Tabela 4.2.1: Dados do experimento.

Faremos uma Análise de Variância considerando os fatores Dureza e Ferramenta.

Para facilitar a notação, chamaremos Dureza (A) e Ferramenta (B), assim temos a tabela da ANOVA:

A tabela a seguir apresenta a Análise de Variância (ANOVA) para os fatores Fábrica, Máquina e a Interação.

Primeiramente vamos construir o gráfico de interações. Para o gráfico de interações precisamos de alguns cálculos auxiliares, que são as médias $ y_{ij.} $ para i = 1, 2 e j = 1, 2, 3.

Assim, quando temos Dureza de 91 HB, temos:


$$\overline{y}_{11.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{18046,9+\dots+18048}{70}=\frac{1263343,4}{70}=18047,76$$

Dreza de 95 HB, temos:


$$\overline{y}_{12.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{18047,7+\dots+18048,3}{30}=\frac{541436,7}{30}=18047,89.$$

Da mesma forma, temos:

$ \overline{y}_{21.}=18047,82, $$ \overline{y}_{22.}=18047,34 $  e $ \overline{y}_{23.}= 18048,01. $

Com esses dados podemos construir o gráfico, obtendo a Figura 4.2.1.

Figura 4.2.1: Gráfico de interações.

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Observamos no gráfico que há uma mudança de comportamento no nível de dureza de 95 HB. Assim, podemos ter indícios de interação no nível de dureza.

Agora, faremos um gráfico de efeitos principais para nos ajuda a detectar o efeito de cada fator individualmente, isto é, verificar em qual nível do fator o efeito é mais evidente.

Construiremos agora, o gráfico de efeitos principais e utilizamos as médias de cada nível, da seguinte forma


$$\overline{y}_{i..} =\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~~~\mbox{e}~~~\overline{y}_{.j.}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}.$$

Após feitos os cálculos, obtemos os seguintes resultados:

Figura 4.2.2: Intervalo de Confiança para os Efeitos.

Figura 4.2.3: Gráfico de Efeitos Principais.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Notamos na Figura 4.2.3  que os níveis do fator Dureza e Ferramenta não apresentam o mesmo comportamento, indicando que sua mudança influencia na medição.

Modelo para os dados

Como parte da análise dos dados o ajuste de um modelo. Esse modelo pode ser definido como:


$$y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \tau_{ij} + \varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{cc}i = 1, 2 ~~~\mbox{Fator Dureza}\\j = 1, 2, 3 ~~~\mbox{Fator Ferramenta}\\k = 1, 2 ~~~\mbox{Réplica}\end{array} \right.$$

restrito a


$$\alpha_{.}=\ds\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0~~,~~\beta_{.}=\ds\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0~~,~~\tau_{.j}=\ds\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0~~,~~\tau_{i.}=\ds\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0.$$

  • $ y_{ijk} $ representa a $ k $-ésima leitura no $ i $-ésimo nível do fator Dureza e $ j $-ésimo nível do fator Ferramenta;
  • $ \mu $ é a média geral dos efeitos;
  • $ \alpha_i $ é o efeito do Fator Dureza;
  • $ \beta_j $ é o efeito do Fator Ferramenta;
  • $ \tau_{ij} $ é o efeito da interação entre os fatores;
  • $ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório.

 

Assim, obtemos os seguintes resultados:

Figura 4.2.4: Tabela da ANOVA e Teste de Falta de Ajuste.

Figura 4.2.5: Papel de Probabilidade.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

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