Aplicação 5 - Comparação de rações em cães

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Uma empresa deseja testar a diferença entre dois tipos de ração para cães. 24 animais seguiram a dieta e foram avaliados durante 6 dias. Nos primeiros 3 dias foi oferecido um tipo de ração e nos últimos 3 dias outro tipo. 

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Animal Raçao Sequencia Período Consumido
1 1 AB 1 99,65
2 1 AB 1 43,97
3 1 AB 1 68,65
4 1 AB 1 77,50
5 1 AB 1 100,00
6 1 AB 1 100,00
7 1 AB 1 97,47
8 1 AB 1 29,58
9 1 AB 1 100,00
10 1 AB 1 100,00
11 1 AB 1 100,00
12 1 AB 1 31,62
13 2 BA 1 100,00
14 2 BA 1 45,73
15 2 BA 1 61,56
16 2 BA 1 99,40
17 2 BA 1 36,77
18 2 BA 1 100,00
19 2 BA 1 100,00
20 2 BA 1 100,00
21 2 BA 1 89,78
22 2 BA 1 74,10
23 2 BA 1 37,09
24 2 BA 1 36,08
1 2 AB 2 100,00
2 2 AB 2 0,00
3 2 AB 2 44,97
4 2 AB 2 43,15
5 2 AB 2 100,00
6 2 AB 2 100,00
7 2 AB 2 100,00
8 2 AB 2 16,49
9 2 AB 2 100,00
10 2 AB 2 100,00
11 2 AB 2 100,00
12 2 AB 2 19,10
13 1 BA 2 0,00
14 1 BA 2 80,80
15 1 BA 2 66,98
16 1 BA 2 100,00
17 1 BA 2 16,94
18 1 BA 2 100,00
19 1 BA 2 100,00
20 1 BA 2 100,00
21 1 BA 2 100,00
22 1 BA 2 75,09
23 1 BA 2 28,18
24 1 BA 2 13,07

O modelo estatístico para este planejamento é $$y_{ijk} = \mu + S_{ik} + \pi_j + \tau_d{}_{[i,j]} +\lambda_d{}_{[i,j-1]}~+~ \varepsilon_{ijk} ~~~~~\left\{\begin{array}{c}i = 1, \cdots, s~~\mbox{(Sequência)} \\j = 1, \cdots, p~~\mbox{(Período)} \\k = 1, \cdots,n_i~~\mbox{(Indivíduo)}\end{array} \right.$$Em que:

$y_{ijk}$ representa a resposta do k-ésimo indivíduo na i-ésima sequência no j-ésimo período;

$\mu$ é uma média geral;

$S_{ik}$ é o efeito aleatório do k-ésimo indivíduo na sequência $i$;

$\pi_j$ é o efeito do período $j$, com $\sum_{j=1}^{p}\pi_j=0$;

$\tau_d{}_{[i,j]}$ é o efeito direto do tratamento administrado no período $j$ da sequência $i$ (Efeito da Ração), com $\sum\tau_d{}_{[i,j]}=0$;

$\lambda_d{}_{[i,j-1]}$ é o efeito direto do tratamento administrado no período $j-1$ da sequência $i$ (Efeito Carry-over), com $\sum \tau_d{}_{[i,j-1]}=0$;

$\varepsilon_{ijk}$ é o erro aleatório para o k-ésimo indivíduo no j-ésimo período na i-ésima sequência.

Estamos interessados emverificar se duas rações desenvolvidas para cães se diferem em relação ao consumo. Dessa forma, a partir do modelo proposto, definimos as hipóteses como:  $$\left\{\begin{array}{ll}\mbox{H}_{0}:F_A = F_B \\ \mbox {H}_{1}:F_A \neq F_B\end{array}\right.~~~~\mbox{Para testar o efeito da ração}$$  

Considerando o modelo e as hipóteses apresentadas calculamos: $$SQ_{\mbox{carry-over}}=\frac{2*12*12}{(12+12)}\left(73,84-69,23\right)^2=255,02$$

$$SQ_{\mbox{inter}}=291538,4-245888,8=45649,6$$

$$SQ_{\mbox{ração}}=\frac{12*12}{2(12+12)}\left(79,04-68,64-73,38+65,09\right)^2=13,31$$

$$SQ_{\mbox{período}}=\frac{12*12}{2(12+12)}\left(79,04-68,64+73,38-65,09\right)^2=1047,01$$

$$SQ_{\mbox{intra}}=299726-291538,4-13,31-1047,01=7127,332$$

 

$$QM_{\mbox{carry-over}}=\frac{255,02}{1}=255,02$$

$$QM_{\mbox{inter}}=\frac{45649,6}{12+12-2}=2074,98$$

$$QM_{\mbox{ração}}=\frac{13,31}{1}=13,31$$

$$QM_{\mbox{período}}=\frac{1047,01}{1}=1047,01$$

$$QM_{\mbox{intra}}=\frac{7127,332}{12+12-2}=323,96$$

 

$$F_0=\frac{255,02}{2074,98}=0,1229$$

$$F_0=\frac{13,31}{323,96}=0,0410$$

$$F_0=\frac{1047,01}{323,96}=3,2318$$

Substituindo os resultados encontrados na tabela da ANOVA, temos:

Fator

Graus de Liberdade

Soma de Quadrados Quadrados Médios F

entre

carry-over

inter

 

$1$

$22$

 

$255,02$

$45649,6$

 

$255,02$

$2074,98$

 

$0,12$

dentro

ração

período

intra

 

$1$

$1$

$22$

 

$13,31$

$1047,01$

$7127,33$

 

$13,31$

$1047,01$

$323,96$

 

$0,04$

$3,23$

Total $47$      
 

Calculamos o intervalo de confiança para $\mu_l$.

Para $l = A, B$ temos que:

  • Para $\mu_A$.

 Sabemos que $\bar{y}_A=72,06$,$n_1=12$,$n_2=12$,$QM_{\mbox{intra}}=323,96$ e para $\alpha=5\%$ temos que $t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074$. Então, o intervalo é $$\left(64,44;79,68\right)$$

  •  Para $\mu_T$.

 Sabemos que $\bar{y}_T=71,01$,$n_1=12$,$n_2=12$,$QM_{\mbox{intra}}=323,96$ e para $\alpha=5\%$ temos que $t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074$. Então, o intervalo é $$\left(63,39;78,63\right)$$

Agora calculamos o intervalo de confiança para $(F_A-F_B)$. 

Sabemos que $\bar{y}_A=72,06$,$\bar{y}_B=71,01$,$n_1=12$,$n_2=12$,$QM_{\mbox{intra}}=323,96$ e para $\alpha=5\%$ temos que $t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074$. Então, o intervalo é$$\left(-6,57;8,67\right)$$

ANOVA

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