Aplicação 5 - Comparação de rações em cães

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Uma empresa deseja testar a diferença entre dois tipos de ração para cães. 24 animais seguiram a dieta e foram avaliados durante 6 dias. Nos primeiros 3 dias foi oferecido um tipo de ração e nos últimos 3 dias outro tipo. 

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Animal Raçao Sequencia Período Consumido
1 1 AB 1 99,65
2 1 AB 1 43,97
3 1 AB 1 68,65
4 1 AB 1 77,50
5 1 AB 1 100,00
6 1 AB 1 100,00
7 1 AB 1 97,47
8 1 AB 1 29,58
9 1 AB 1 100,00
10 1 AB 1 100,00
11 1 AB 1 100,00
12 1 AB 1 31,62
13 2 BA 1 100,00
14 2 BA 1 45,73
15 2 BA 1 61,56
16 2 BA 1 99,40
17 2 BA 1 36,77
18 2 BA 1 100,00
19 2 BA 1 100,00
20 2 BA 1 100,00
21 2 BA 1 89,78
22 2 BA 1 74,10
23 2 BA 1 37,09
24 2 BA 1 36,08
1 2 AB 2 100,00
2 2 AB 2 0,00
3 2 AB 2 44,97
4 2 AB 2 43,15
5 2 AB 2 100,00
6 2 AB 2 100,00
7 2 AB 2 100,00
8 2 AB 2 16,49
9 2 AB 2 100,00
10 2 AB 2 100,00
11 2 AB 2 100,00
12 2 AB 2 19,10
13 1 BA 2 0,00
14 1 BA 2 80,80
15 1 BA 2 66,98
16 1 BA 2 100,00
17 1 BA 2 16,94
18 1 BA 2 100,00
19 1 BA 2 100,00
20 1 BA 2 100,00
21 1 BA 2 100,00
22 1 BA 2 75,09
23 1 BA 2 28,18
24 1 BA 2 13,07

O modelo estatístico para este planejamento é 

$$y_{ijk} = \mu + S_{ik} + \pi_j + \tau_d{}_{[i,j]} +\lambda_d{}_{[i,j-1]}~+~ \varepsilon_{ijk} ~~~~~\left\{\begin{array}{c}i = 1, \cdots, s~~\mbox{(Sequência)} \\j = 1, \cdots, p~~\mbox{(Período)} \\k = 1, \cdots,n_i~~\mbox{(Indivíduo)}\end{array} \right.$$

Em que:

$ y_{ijk} $ representa a resposta do k-ésimo indivíduo na i-ésima sequência no j-ésimo período;

$ \mu $ é uma média geral;

$ S_{ik} $ é o efeito aleatório do k-ésimo indivíduo na sequência $ i $;

$ \pi_j $ é o efeito do período $ j $, com $ \sum_{j=1}^{p}\pi_j=0 $;

$ \tau_d{}_{[i,j]} $ é o efeito direto do tratamento administrado no período $ j $ da sequência $ i $ (Efeito da Ração), com $ \sum\tau_d{}_{[i,j]}=0 $;

$ \lambda_d{}_{[i,j-1]} $ é o efeito direto do tratamento administrado no período $ j-1 $ da sequência $ i $ (Efeito Carry-over), com $ \sum \tau_d{}_{[i,j-1]}=0 $;

$ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório para o k-ésimo indivíduo no j-ésimo período na i-ésima sequência.

Estamos interessados emverificar se duas rações desenvolvidas para cães se diferem em relação ao consumo. Dessa forma, a partir do modelo proposto, definimos as hipóteses como:  

F_A \neq F_B\end{array}\right.~~~~\mbox{Para testar o efeito da ração}$$

 

Considerando o modelo e as hipóteses apresentadas calculamos: 

$$SQ_{\mbox{carry-over}}=\frac{2*12*12}{(12+12)}\left(73,84-69,23\right)^2=255,02$$


$$SQ_{\mbox{inter}}=291538,4-245888,8=45649,6$$


$$SQ_{\mbox{ração}}=\frac{12*12}{2(12+12)}\left(79,04-68,64-73,38+65,09\right)^2=13,31$$


$$SQ_{\mbox{período}}=\frac{12*12}{2(12+12)}\left(79,04-68,64+73,38-65,09\right)^2=1047,01$$


$$SQ_{\mbox{intra}}=299726-291538,4-13,31-1047,01=7127,332$$

 


$$QM_{\mbox{carry-over}}=\frac{255,02}{1}=255,02$$


$$QM_{\mbox{inter}}=\frac{45649,6}{12+12-2}=2074,98$$


$$QM_{\mbox{ração}}=\frac{13,31}{1}=13,31$$


$$QM_{\mbox{período}}=\frac{1047,01}{1}=1047,01$$


$$QM_{\mbox{intra}}=\frac{7127,332}{12+12-2}=323,96$$

 


$$F_0=\frac{255,02}{2074,98}=0,1229$$


$$F_0=\frac{13,31}{323,96}=0,0410$$


$$F_0=\frac{1047,01}{323,96}=3,2318$$

Substituindo os resultados encontrados na tabela da ANOVA, temos:

Fator

Graus de Liberdade

Soma de Quadrados Quadrados Médios F

entre

carry-over

inter

 

$ 1 $

$ 22 $

 

$ 255,02 $

$ 45649,6 $

 

$ 255,02 $

$ 2074,98 $

 

$ 0,12 $

dentro

ração

período

intra

 

$ 1 $

$ 1 $

$ 22 $

 

$ 13,31 $

$ 1047,01 $

$ 7127,33 $

 

$ 13,31 $

$ 1047,01 $

$ 323,96 $

 

$ 0,04 $

$ 3,23 $

Total $ 47 $      
 

Calculamos o intervalo de confiança para $ \mu_l $.

Para $ l = A, B $ temos que:

  • Para $ \mu_A $.

 Sabemos que $ \bar{y}_A=72,06 $,$ n_1=12 $,$ n_2=12 $,$ QM_{\mbox{intra}}=323,96 $ e para $ \alpha=5\% $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074 $. Então, o intervalo é

$$\left(64,44;79,68\right)$$

  •  Para $ \mu_T $.

 Sabemos que $ \bar{y}_T=71,01 $,$ n_1=12 $,$ n_2=12 $,$ QM_{\mbox{intra}}=323,96 $ e para $ \alpha=5\% $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074 $. Então, o intervalo é

$$\left(63,39;78,63\right)$$

Agora calculamos o intervalo de confiança para $ (F_A-F_B) $

Sabemos que $ \bar{y}_A=72,06 $,$ \bar{y}_B=71,01 $,$ n_1=12 $,$ n_2=12 $,$ QM_{\mbox{intra}}=323,96 $ e para $ \alpha=5\% $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074 $. Então, o intervalo é

$$\left(-6,57;8,67\right)$$

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ANOVA

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