2.1 - Rendimento

Com os princípios da teoria de contagem e probabilidade, vamos apresentar a primeira métrica para qualidade. Aqui, vamos analisar o rendimento de um produto através do número de defeitos associado aos seus componentes. Paralelamente, introduziremos as ideias fundamentais para a análise do redimendo de um processo, utilizando as informações provenientes das estapas que o compõem.

Definimos

  • "Rendimento de um produto" como a probabilidade de não-ocorrência de defeito em um produto composto por um ou mais componentes;
  • "Rendimento de processo" como a probabilidade de não-ocorrência de defeito em um produto que é produzido através de processo composto por uma ou mais etapas.

 

Dois outros indicadores, que se relcionam com o rendimento e que serão trabalhados dentro dessa seção, são definidos a seguir:

  • "Defeitos por unidade (DPU)" é a taxa de ocorrência de falha dentro de uma unida de medida;
  • "Partes por milhão (PPM)" é o número esperado de peças defeituosa dentro de um lote de tamanho um milhão.

 

Agora, considere um produto dividido em diversos componentes, ou ainda, um processo dividido em diversas etapas. A figura 1, exemplifica a estratégia de inspeção utilizada dentro de cada componente/etapa para avaliação do rendimento clássico.

FIgura 1: Gráfico do Redimendo Clássico

 

Note que, para cada componente/etapa, quando uma peça é considerada fora das especificações, a mesma é retrabalhada e pode ser utilizada novamente na operação. Isto significa que ao observarmos o número falhas em um componente/etapa mais de uma dessas falhas podem estar relacionada com a mesma peça. Por essa razão, utilizaremos os seguintes modelos de probabilidades:

Modelo para o rendimento de um produto:

Considere um produto composto por $ n $ componentes e seja $ X_i $ a variável aleatória que representa o "número de falhas em uma unidade do i-ésimo componente". Assumiremos que $ X_i $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda_i $. Assim, 

$$R_i=\text{Rendimento do i-ésimo componente}=P[\text{obter uma unidade do i-ésimo componente sem defeito }]=$$

$$~~=P(X_i=0)=e^{-\lambda_i}~~(1).$$

Neste caso, o parâmetro $ \lambda_i $ indica a taxa de falha por unidade de medida do i-ésimo componente. Como estamos analisando a probabilidade de obtermos produtos defeituosos em uma linha de produção, o EMV para a distribuição de poisson coincidirá com o indicador de Defeitos Por Unidades (DPU) do i-ésimo componente. Isto é

$$R_i=e^{-DPU_i}~~(2)$$

Desde que cada componente falhe independentemente de qualquer outro (hipótese) e que o produto é não-defeituoso se todos seus componetes também não o forem. A probabilidade de fabricar um produto livre de deifeitos, isto é, o rendimento do produto, pode ser calculada utilizando a seguinte estratégia: 

$$R=\hbox{Rendimento do produto}=P[X_1=0, X_2=0,\dots , X_n=0]\overset{\text{hip}}{=}P[X_1=0]\times P[X_2=0] \times \dots \times P[X_n=0]\overset{(1)}{=}$$

$$R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n \overset{(2)}{=} e^{-\sum_{i=1}^{n} DPU_i} ~~ (3)$$

ou seja, sobre a hipótese de independência, podemos calcular o rendimento do produto final através do produtório dos rendimentos de seus componentes. 

Note também, que podemos calcular o indicador de Defeitos por Unidade (DPU) para o produto final utilizando a seguinte relação

$$R=e^{-DPU} \Longrightarrow DPU=-\ln(R)$$

 

em que $ R $ é dado pela equação (3).

Outra relação intereressante é entre o rendimento e PPM. Sabemos que

$$PPM=10^6 \times P(\mbox{Deifeito}) \overset{(4)}{=} 10^6 \times (1-R)$$

em que a igualdade (3) se deve ao fato da propriedade de probabilidade de eventos complementares

Uma estratégia para auxiliar nos cálculos, é construir a seguinte tabela:

 

Componentes

Unidades Defeitos DPU Rendimento
1 $ U_1 $ $ D_1 $ $ D_1/U_1 $ $ R_1=e^{-DPU_1} $
$$\vdots$$

$$\vdots$$

$$\vdots$$

$$\vdots$$

$$\vdots$$

n $ U_n $ $ D_n $ $ D_n/U_n $ $ R_n=e^{-DPU_n} $
Somas

Somas de

Unidades

Somas de

Defeitos

Soma de DPU $ R=\prod_{i=1}^{n} R_i $
Médias Média da soma de unidades Média de defeitos Média de DPU $ DPU=-ln(R) $

Tabela 1: Resumo dos dados.

 

Modelo para o rendimento de um processo:

Agora, consideraremos um produto que é produzido via um processo composto por n etapas. Definimos $ X_i $ a variável aleatória que representa o "número de defeitos de um produto dentro da i-ésima etapa". Novamente, assumimos que $ X_i \sim \hbox{Poisson} (\lambda_i) $. Assim

$$R_i=\hbox{Rendimento da i-ésima etapa}=P[\hbox{obter um produto sem defeito dentro da i-ésima etapa}]=$$

$$~~~~=P(X_i=0)=e^{-\lambda_i}~~(1).$$

Aqui, como no cálculo do rendimento de um produto, o EMV coincide com o indicador Defeitos Por Unidades (DPU), com isso 

$$R_i=e^{-DPU_i}~~(2)$$

em que $ DPU_i $ é o indicador de Defeitos por unidade da i-ésima etapa do processo.

Desde que cada produto falhe independentemente da  etapa do processo de produção (hipótese) e que o produto é não-defeituoso se não falhar em nenhuma etapa, o rendimento do processo é dado por:

$$\text{Rendimento}=P[X_1 = 0, X_2=0, \dots, X_n=0]=P[X_1=0] \times P[X_2=0] \times \dots \times P[X_n=0]\overset{\text{hip e (1)}}{=} R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n.$$

Portanto, o rendimento do processo será calculado através da multiplicação dos rendimentosde cada etapa, ou seja

$$R=\hbox{Rendimento do processo}\overset{2}{=}e^{\sum_{i}^{n} DPU_i}.$$

Pelas relações

$$DPU=\hbox[Defeitos por unidade do processo]=-\ln(R).$$

 

Aqui, novamente

$$PPM=10^6 \times P(\mbox{Deifeito}) = 10^6 \times (1-R)$$

Analogamente, podemos construir a seguinte tabela:

 

Etapa

Unidades Defeitos DPU Rendimento
1 $ U_1 $ $ D_1 $ $ D_1/U_1 $ $ R_1=e^{-DPU_1} $
$$\vdots$$

$$\vdots$$

$$\vdots$$

$$\vdots$$

$$\vdots$$

n $ U_n $ $ D_n $ $ D_n/U_n $ $ R_n=e^{-DPU_n} $
Somas

Somas de

Unidades

Somas de

Defeitos

Soma de DPU $ R=\prod_{i=1}^{n} R_i $
Médias Média da soma de unidades Média de defeitos Média de DPU $ DPU=-ln(R) $

Tabela 2: Resumo dos dados.

 

Aplicação

Considere uma máquina colheitadeira de cana onde vamos verificar a cabine da máquina. Na Tabela estão relacionados os tipos de defeitos, unidades fabricadas e número de oportunidades por defeito. Vamos encontrar intervalos de confiança para o produto cabine e também para cada um de seus componentes.

Componentes Unid Defeito Oport
Tacômetro 57 49 2
Mangueira 59 29 2
Vedação 57 18 2
Ar Condicionado 57 14 1
Portas 57 10 2
Caixa de Controle 57 6 1
Sistema Elétrico no Painel 57 5  
Cabo de Controle 57 3 2
Instrumento 57 2 2
Ventilação 57 2 1
Coluna 57 1 1

Tabela 3: Colheitadeira de cana.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Estamos interessados em avaliar o rendimento da cabine. Vamos avaliar via o modelo proposto para produto que, neste caso, é composto por 11 componentes. Utilizaremos a função DPU da ferramenta Action Stat para auxiliar nos cálculos (para mais detalhes sobre esta função consulte o manual do usuário). Utilizando a função DPU do Action Stat, obtemos a seguinte saída:

Através da primeira tabela:

Observamos um "rendimento total" de aproximamente 0,087 para o produto cabine. Ele nos indica a necessidade de melhorias na produção. Esta indicação é reforçada pelo fato da "probabilidade de deifeito total" que está em torno de 0,92716732, implicando em um PPM de aproximadamente 912.717, isto significa que ao montarmos 1.000.000 de cabines, esperamos que 912.717 destas sejam defeituosas. Através desses dados, observamos que o produto esta com baixíssima taxa de aproveitação e necessita de melhorias. O último indicador, denominado por "Métrica Sigma" será tratado no capítulo "Métrica da Qualidade: Sigma". 

Através da segunda tabela e gráfico:

A segunda tabela e o gráfico apresentam informações pertinentes aos componentes individualmente. Uma grande vantagem do Action Stat é que ele ordena o resultado partindo do componente com menor redimento, isto é, começando pelo componente mais "crítico". Podemos observar, por exemplo, que o rendimendo do "Tacômetro" está próximo de 0,42, implicando que a probabilidade de produzir uma unidade desse componente sem defeitos é de aproximadamente 0,58%. Além disso, pela tabela e pelo gráfico, observamos que o DPU do mesmo é de aproximadamente 0,86, isto é, em média, a taxa de defeito de cada unidade produzida de 0,86, indicando que este compente muitas percas e retrabalho. Uma vez que a cabine depende deste, um primeiro passo para a melhoria do produto final seria diminuir a taxa de deifeitos desse componente. Podemos avaliar as outras componentes de maneira similar.  

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