3.1 - Tabela de Vida

A tabela de vida ou método atuarial é uma das mais antigas técnicas estatísticas utilizadas para estimar características associadas à distribuição dos tempos de falha. A tabela de vida é essencialmente uma extensão do histograma para o caso de dados censurados. Veremos a seguir como se constrói uma tabela de vida. Dados os pontos

$$0 = t_0~\textless~t_1~\textless~t_2~\textless~\cdots~\textless~t_k~\textless~t_{k+1} = \infty$$

dividimos o eixo do tempo $ [0, \infty) $ em k+1 intervalos $ [0,t_{1}), \ldots, [t_{k-1}, t_{k}), [t_{k}, +\infty). $ Para cada intervalo Ij = [tj-1, tj) considere as seguintes probabilidades

$$p_j = P\{T~\textgreater~t_j |~T~\textgreater~t_{j-1}\},$$

$$q_j = P\{T~\textless~t_j |~T~\textgreater~t_{j-1}\} = 1 - p_j,$$

em que pj representa a probabilidade de um item sobreviver além do intervalo Ij (depois de tj), dado que ele não falhou até o início do intervalo Ij (tempo tj-1) e qj representa a probabilidade de um item falhar no intervalo no intervalo Ij (entre tj-1 e tj) dado que ele não falhou até o início do intervalo Ij (tempo tj-1), j = 1, ..., k+1.

Além disso, observe que

$$p_j = P\{T~\textgreater~t_j |~T~\textgreater~t_{j-1}\}$$

$$ = \dfrac{P\{T~\textgreater~t_{j},~T~\textgreater~t_{j-1}\}}{P\{T~\textgreater~t_{j-1}\}}$$

$$ = \dfrac{R(t_j)}{R(t_{j-1})}~~~~~~~~~~~~(3.1.1)$$

para j = 1, ..., k + 1. Note que pk+1 = 0, pois R(tk+1) = 0. Portanto, da equação (3.1.1) temos que

$$R(t_j) = p_j R(t_{j-1}),~~~~~~~~j = 1, \ldots, k+1~~~~~~~~~~~~(3.1.2)$$

Com isso, concluímos que

$$R(t_j) = p_j \times p_{j-1} \times \cdots \times p_1, ~~~~~~~~j = 1,\ldots, k+1~~~~~~~~~~~~(3.1.3)$$

Como qj = 1 - pj, podemos reescrever as equações (3.1.2) e (3.1.3) como

$$R(t_j) = (1 - q_j)R(t_{j-1})~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3.1.4)$$

$$R(t_j) = (1 - q_j)\times \cdots \times(1-q_1)~~~~~~~j = 1, \ldots, k + 1~~~~~~~~~~~~(3.1.5)$$

Observe que R(t0) = 1 e R(tk+1)= 0.

Com isso, podemos obter uma estimativa para a confiabilidade em tj a partir de uma estimativa para a probabilidade qj. Uma estimativa intuitiva para qj é dada por

$$\widehat{q}_j = \dfrac{\mbox{nº de itens que falharam em }[t_{j-1},t_j)}{\mbox{nº de itens em risco em } t_{j-1} - \dfrac{\mbox{nº de censuras em } [t_{j-1}, t_j)}{2}}~~~~~~~~~~~~(3.1.6)$$

em que um item é considerado em risco em tj se ainda não falhou nem foi censurado até esse tempo, j = 1, ..., k+1.

A explicação para o segundo termo do denominador da expressão (3.1.6) é que produtos para os quais a censura ocorreu no intervalo [tj-1, tj) são tratados com se estivessem sob risco durante a metade do intervalo considerado. Em muitos dos estudos de durabilidade as censuras ocorrem somente no último intervalo de tempo, fazendo com que essa correção não venha ser utilizada. Esse é os caso dos conjuntos de dados de confiabilidade com mecanismos de censura do tipo I e II.

Com as estimativas de $ \widehat{q}_j $ obtidas em (3.1.6), podemos reescrever as equações (3.1.4) e (3.1.5) obtendo as seguintes formas equivalentes para a estimativa da confiabilidade R(tj) no tempo tj

$$\widehat{R}(t_j) = (1 - \widehat{q}_j)\widehat{R}(t_{j-1})~~~~~~~~~~~~(3.1.7)$$

$$\widehat{R}(t_j) = (1 - \widehat{q}_j)\times \cdots \times (1 -\widehat{q}_1),~~~~~~~ j = 1, \ldots, k + 1~~~~~~~~~~~~(3.1.8)$$

No entanto, para a construção da tabela de vida é mais conveniente a utilização da forma recursiva dada em (3.1.7).

Uma estimativa gráfica para a função de confiabilidade é uma função escada, com valor constante para cada intervalo de tempo. A função de confiabilidade estimada no primeiro intervalo, [0, t1), é igual a 1. Por outro lado, a função de confiabilidade estimada no último intervalo, [tk, ), é zero, se o maior tempo observado for uma falha, e não atingirá o zero se for uma censura.

Exemplo 3.1.1: 

Voltando ao Exemplo 2.1. Considerando o número de ciclos das válvulas até a falha e dividindo o tempo em 6 intervalos temos: [0, 10), [10, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50) e [50, ), com uma unidade correspondendo a 10.000 ciclos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

No intervalo [0, 10) houve 1 falha e 0 censuras, sendo que 30 itens estavam em risco no início do intervalo. Portanto,

$$\widehat{q}_1=\dfrac{1}{30-\frac{0}{2}}=\dfrac{1}{30}=0,033.$$

Logo, pela expressão (3.1.7) temos que

$$\widehat{R}(t_1)=(1-\widehat{q}_1)=1-0,033=0,967.$$

No intervalo [10, 20) houve 5 falhas e 0 censuras, sendo que 29 itens estavam em risco no início do intervalo. Portanto,

$$\widehat{q}_2=\dfrac{5}{29-\frac{0}{2}}=\dfrac{5}{29}=0,172.$$

Assim, pela expressão (3.1.7) obtemos

$$\widehat{R}(t_2)=(1-\widehat{q}_2)\widehat{R}(t_1)=(1-0,172)\times 0,967=0,800.$$

Procedendo da mesma maneira para os demais intervalos construímos a Tabela  3.1.1, a qual é chamada tabela de vida. O gráfico da estimativa para a função de confiabilidade obtida a partir da tabela de vida é apresentado na Figura 3.1.1.

Tabela 3.1.1: Estimativas de Confiabilidade para dados sobre o tempo de vida de válvulas.

Intervalo

Ij=[tj-1, tj)

N° em risco N° de falhas $ \widehat{q}_j $ (%)

Confiabilidade

$ \widehat{R}(t_{j}) $ (%)

[0, 10) 30 1 3,3 96,7
[10, 20) 29 5 17,2 80,0
[20, 30) 24 5 20,8 63,3
[30, 40) 19 4 21,1 50,0
[40, 50) 15 3 20 40,0
[50, +∞) 12 12 100 0

Pela análise da Tabela 3.1.1 ou da Figura ?, podemos notar que a probabilidade de um mecanismo de acionamento manual falhar com mais de 40.000 ciclos de uso é de 50%, enquanto que a probabilidade do mecanismo falhar com mais de 50.000 ciclos é de 40%.

Figura 3.1.1: Estimativa da função de confiabilidade usando a tabela de vida.

Estimadores associados à tabelas de vida, apesar de bastante utilizados, têm algumas desvantagens. O número e a amplitude dos intervalos de tempo são escolhidos de forma arbitrária. O uso de poucos intervalos nos dá uma aproximação muito grosseira da verdadeira função de confiabilidade e da função da taxa de falha. Sendo assim, uma outra forma de estimarmos a função de confiabilidade minimizando esses problemas é usar o estimador de Kaplan-Meier, discutido no tópico a seguir.

 

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