3.3 - Usando as estimativas da Função de Confiabilidade R(t)

Você está aqui

A partir dos resultados apresentados na Tabela 3.2.1, obtidos a partir do método de Kaplan-Meier, é possível responder às questões 2 e 3 do Exemplo 2.1, estabelecido no início do tópico Análise do Tempo de Falha. Entretanto, antes de respondermos a estas perguntas vamos discutir uma dificuldade associada aos estimadores não-paramétricos. O estimador de Kaplan-Meier é constante em intervalos e decresce aos saltos em pontos específicos, conforme observamos nas Figuras 3.3.1 e 3.3.2. Essa característica traz dificuldades na determinação dos percentis e dos valores da função de confiabilidade por esses métodos.

Por exemplo, considere o problema de estimar o percentil 10% do tempo de vida de um certo produto, isto é, determinar o tempo $ \hat{t}_{0,1} $ para o qual a confiabilidade estimada $ \widehat{R}(\hat{t}_{0,1}) $ é igual a 0,90. Para a função de confiabilidade (a) da Figura 3.3.1, existem inúmeros valores possíveis para $ \hat{t}_{0,1} $ que satisfazem $ \widehat{R}(\hat{t}_{0,1}) = 0,9 $ (intervalo (10, 20]). Considerando agora a função de confiabilidade (b) da Figura 3.3.2, não existe nenhum valor de $ \hat{t}_{0,1} $ para o qual $ \widehat{R}(\hat{t}_{0,1}) = 0,9. $

Figura 3.3.1: Função de confiabilidade (a).

Figura 3.3.2: Função de confiabilidade (b).

Para o caso da função de confiabilidade (b), Figura 3.3.2, uma solução prática para encontrar o valor de $ \hat{t}_{0,1} $ é fazer uma interpolação linear entre os dois pontos mais "próximos", como mostra a Figura 3.3.3. Este método consiste em aproximar a função de confiabilidade pela função obtida pela reta pontilhada.

Figura 3.3.3: Interpolação linear.

No caso do problema dado anteriormente, devemos encontrar $ \hat{t}_{0,1} $ para o qual a reta pontilhada tenha valor igual a 0,90. Considere o valor da reta pontilhada no ponto x como sendo y(x). Observe que o valor da reta pontilhada no ponto 0 vale 1 e no ponto 10 vale 0,80, isto é,

$$y(0) = 1~~~~~~~~~~y(10) = 0,80$$

Portanto, como $ \hat{t}_{0,1} $ deve ser tal que $ y(\hat{t}_{0,1}) = 0,90 $, temos que a inclinação da reta pontilhada é obtida a partir da equação

$$\dfrac{y(10) - y(0)}{10 - 0} = \dfrac{y(\hat{t}_{0,1}) - y(0)}{\hat{t}_{0,1} - 0}~\Longrightarrow~\dfrac{0,8 - 1}{10 - 0} = \dfrac{0,9 - 1}{\hat{t}_{0,1} - 0}$$

que nos dá como resultado $ \hat{t}_{0,1} = 5. $

Exemplo 3.3.1:

A questão 2 do Exemplo 2.1 indaga sobre a fração de defeituosos esperada antes que se atinja o tempo de garantia, que é de dois anos ou de 6.000 ciclos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Podemos notar pela Figura 3.1.1, do Exemplo 3.1.1, que o valor da confiabilidade no tempo 6.000 é igual a 1. Essa estimativa não é realista, pois é esperado que exista uma chance de uma peça falhar antes de 6.000 ciclos. Neste caso, podemos aplicar novamente uma interpolação linear.

Ainda, pelos cálculos temos que $ \widehat{R}(0) = 1 $ e $ \widehat{R}(10.000) = 0,967. $ Queremos encontrar o valor de $ \widehat{R}(6). $ Para isso, basta resolver a equação

$$\dfrac{0,967-1}{10-0} = \dfrac{\widehat{R}(6)-1}{6-0}$$

o que nos leva a $ \widehat{R}(6) = 0,9802. $ Portanto, concluímos que em um lote com 1.000 itens, espera-se que aproximadamente 20 itens (2%) apresentem defeitos nos dois primeiros anos de vida.

A questão 3 diz respeito ao quantil 10%, ou seja, o valor t0,1 tal que a confiabilidade R(t0,1) = 0,9. Considerando ainda os resultados obtidos no Exemplo 3.1.1, vamos usar uma interpolação linear para encontrar uma estimativa $ \hat{t}_{0,1} $ de t0,1. Sabendo que $ \widehat{R}(10.000) = 0,967 $ e $ \widehat{R}(20.000) = 0,8, $ o valor $ \hat{t}_{0,1} $ tal que $ \widehat{R}(\hat{t}_{0,1}) = 0,9 $ deve estar entre 10.000 e 20.000 ciclos. Usando uma interpolação linear, temos que o valor de $ \hat{t}_{0,1} $ é obtido a partir da equação

$$\dfrac{\widehat{R}(20.000)-\widehat{R}(10.000)}{20.000-10.000}=\dfrac{\widehat{R}(\hat{t}_{0,1}) -\widehat{R}(10.000)}{t_{0,1}-10.000}$$

$$\dfrac{0,8-0,967}{20.000-10.000} = \dfrac{0,9-0,967}{t_{0,1}-10.000}$$

que leva a solução $ \hat{t}_{0,1} = 14.036 $ ou 15.000 ciclos, isto é, espera-se que 10% das válvulas falhem antes de atingir 14.036 ciclos.

Considerando agora o estimador de Kaplan-Meier, podemos ver pelos resultados da Tabela 3.2.1 (sem usar interpolação) que $ \hat{t}_{0,1} = 12.128 . $ Para este estimador (Kaplan-Meier) desejamos construir um intervalo de confiança para o quantil t0,1 e para isso devemos conhecer a variância de $ \hat{t}_{0,1}. $

Dessa forma, consideremos o caso geral em que tp é o quantil (100×p)% e $ \hat{t}_{p} $ o estimador para tp, $ 0~\textless~p~\textless~1 $, obtido a partir do método descrito acima. A variância para grandes amostras de $ \hat{t}_{p} $ é dada por

$$Var(\hat{t}_{p})=\dfrac{Var(\widehat{R}(\hat{t}_{p}))}{f^{2}(\hat{t}_{p})}~~~~~~~~~~~~(3.3.1)$$

em que

$$f(\hat{t}_{p})=\dfrac{\widehat{R}(\hat{s}_{p})-\widehat{R}(\hat{i}_{p})}{\hat{i}_{p}-\hat{s}_{p}}$$

~\widehat{R}(t_{j})~\textgreater~p,~ \}$$

~\widehat{R}(t_{j})~\textless~p,~ \}$$

Portanto, um intervalo de confiança 95% para tp é dado por

$$\hat{t}_p \pm 1,96 \ast \sqrt{Var(\hat{t}_p)}$$

Voltando ao nosso exemplo, temos que $ \hat{t}_{0,1}=12.128,~\hat{s}_{0,1}=11.223,~\hat{i}_{0,1}=13.566. $ Logo, 

$$f(\hat{t}_{0,1})=\dfrac{0,933-0,867}{13.566-11.223}=0,0000282$$

Portanto, pela equação (3.3.1) temos que

$$Var(\hat{t}_{0,1})=\dfrac{(0,0547723)^2}{(0,0000282)^2}$$

O intervalo de 95% para t0,1 tem como limites os valores

$$LI = 12.128-1,96\times\left(\dfrac{0,0547723}{0,0000282}\right) = 8.321,131$$

$$LS = 12.128+1,96\times\left(\dfrac{0,0547723}{0,0000282}\right) = 15.934,87$$

Portanto, o intervalo de confiança 95% para o quantil 10%, t0,1, da distribuição do tempo de vida de válvulas é dado por [8.321; 15.935].

 

Confiabilidade

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]