3.4 - Estimando o MTTF ou MTBF

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Em estudos de durabilidade frequentemente estamos interessados em saber o tempo médio até a falha, denotado por MTTF ou MTBF (siglas do inglês, Mean Time to Failure e Mean Time Between Failure, respectivamente). Entretanto, estas quantidades nem sempre são bem estimadas na presença de censuras, usando estimadores não-paramétricos. Pode-se mostrar que o MTTF é igual a área (integral) sob a função de confiabilidade. Portanto, uma estimativa para o MTTF pode ser obtida calculando a área sob a curva de confiabilidade estimada pelo método de Kaplan-Meier. Como esta curva é uma função escada, esta área é simplesmente a soma da áreas de retângulos. Pode-se mostrar que o MTTF é igual a área (integral) sob a função de confiabilidade. Usando o estimador de Kaplan-Meier com os tempos ordenados de falha $ t_1~\textless~t_2~\textless~\cdots~\textless~t_k, $ a estimativa do MTTF é dada por

$$\widehat{MTTF}= t_1\times 1 + (t_2 - t_1)\times \widehat{R}(t_1^+) + \cdots + (t_k - t_{k-1}) \times \widehat{R}(t_{k-1}^+).$$

Um problema surge se o maior tempo observado é uma censura. Isto acontece com frequência em testes de durabilidade. Neste caso, a função de confiabilidade estimada não atinge o valor zero e o valor do MTTF fica subestimado. Nestes casos, tal estimativa deve ser interpretada com bastante cuidado ou até mesmo evitada. Uma outra medida de posição, a mediana, pode ser usada no seu lugar. A mediana é o tempo para o qual a probabilidade de uma unidade falhar antes de atingir este tempo é de 50%, ou seja, a mediana é o quantil 50%. Ambas as medidas são de tendência central, representando um valor típico da distribuição do tempo de vida do produto. No entanto, a estimativa da mediana pode ser facilmente calculada a partir da função de confiabilidade estimada.

No caso do Exemplo 2.1, o número de ciclos mediano das válvulas é facilmente estimado usando o método Kaplan-Meier, cujo valor é de 39.580 ciclos. A mediana só não é estimada se o número de censuras for maior que o de falhas. Uma outra forma de estimar o MTTF será apresentada nas seções seguintes com o uso de modelos probabilísticos paramétricos para o tempo de vida.

 

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